周髀算經卷上（一）

甲〔1〕 　商高篇：古典數學

一、周公問商高

（一）勾股圓方術

昔者周公〔2〕 問于商高〔3〕 曰：“竊聞乎大夫善數也，周公，姓姬名旦，武王之弟。商高，周時賢大夫，善算者也。周公位居冢宰，德則至圣，尚卑己以自牧，下學而上達，況其凡乎？ 請問古者包犧〔4〕 立周天歷度〔5〕 。包犧，三皇之一，始畫八卦。以商高善數，能通乎微妙，達乎無方，無大不綜，無幽不顯，聞包犧立周天歷度，建章蔀之法 〔6〕 。《易》曰：“古者包犧氏之王天下也，仰則觀象于天，俯則觀法于地。 ”此之謂也。 夫天不可階而升，地不可得尺寸而度，邈 〔7〕 乎懸廣，無階可升；蕩 〔8〕 乎遐遠，無度可量。 請問數安從出？”心昧其機，請問其目。 商高曰：“數之法出于圓方〔9〕 ，圓徑一而周三，方徑一而匝四。伸圓之周而為勾，展方之匝而為股，共結一角，邪適弦五。此圓方邪徑相通之率，故曰“數之法出于圓方”。圓方者，天地之形，陰陽之數。然則周公所問天地也，是以商高陳圓方之形，以見其象；因奇耦之數，以制其法。所謂言約旨遠，微妙幽通矣。 圓出于方〔10〕 ，方出于矩〔11〕 ，圓規之數，理之以方。方，周匝也。方正之物，出之以矩。矩，廣長也。 矩出于九九八十一〔12〕 。推圓方之率，通廣長之數，當須乘除以計之。九九者，乘除之原也。 故折矩〔13〕 ，故者，申事之辭也。將為勾股之率，故曰折矩也。 以為勾廣三〔14〕 ，應圓之周，橫者謂之廣，勾亦廣。廣，短也。 股修四，應方之匝，從者謂之修，股亦修。修，長也。 徑隅五〔15〕 ，自然相應之率。徑，直；隅，角也。亦謂之弦。 既方之外〔16〕 ，半其一矩〔17〕 。勾股之法，先知二數然后推一。見勾、股然后求弦：先各自乘成其實，實成勢化，爾乃變通 〔18〕 ，故曰“既方之外 〔19〕 ”。或并勾、股之實以求弦實，之中乃求勾股之分并，實不正等，更相取與，互有所得 〔20〕 ，故曰“半其一矩”。其術：勾、股各自乘，三三如九，四四一十六，并為弦自乘之實二十五；減勾于弦，為股之實一十六；減股于弦，為勾之實九。 環而共盤〔21〕 ，得成三四五〔22〕 。盤，讀如盤桓之盤。言取而并減之積，環屈而共盤之謂。開方除之，其一面。故曰“得成三四五”也。 兩矩共長二十有五〔23〕 ，是謂積矩〔24〕 。兩矩者，勾、股各自乘之實。共長者，并實之數。將以施于萬事，而此先陳其率也。 故禹之所以治天下者，此數之所生也。〔25〕 ”禹治洪水，決流江河。望山川之形，定高下之勢。除滔天之災，釋昏墊 〔26〕 之厄，使東注于海，而無浸逆。乃勾股之所由生也。

【注釋】

〔1〕此節周公商高問答應該是先秦流傳下來的《周髀》中最早的經文，敘述周公商高時代的數學成就和在觀測天地上的應用。其內容可以歸納為三點，即：1. 勾股定理和積矩推導法；2. 方圓法和“毀方而為圓，破圓而為方”推算近似圓面積及圓周率的理論和步驟；3. 方圓數學與矩在觀測天地上的應用。文中“昔者”一詞說明此文寫作年代晚于周公商高時代，而其內容，我們和一些學者認為應該產生于西周初期，是由靈臺工作人員口耳相傳或著于竹帛。因此，此文的寫作年代要遠遠早于《周髀算經》的編輯年代。又，“商高篇：古典數學”和“周公問商高”及“（一）勾股圓方術”、“（二）用矩之道”等標題為筆者所加。

〔2〕周公：姓姬，名旦。周武王之弟，周成王之叔。武王死后，成王年幼，周公攝政，多有建樹。他創制了禮樂制度，周朝文物因而完備。

〔3〕商高：生平未詳。趙爽注：“商高，周時賢大夫，善算者也。”此注沒有說明來源，也許是趙爽研讀《周髀算經》時的合理推論。在疑古思潮影響下，有些科學史學者懷疑商高是假托的人物，失之主觀。李淳風《晉書·天文志》論蓋天說：“其本庖犧氏立周天歷度，其所傳，則周公受于殷高，周人志之，故曰‘周髀’。”李淳風稱商高為殷高。李繼閔認為“商高生平早見載于明末以前州志大概是不成問題的。……周代已有方志一類史籍，商高事跡因此而流傳后世亦屬可能。”（參閱李繼閔《商高定理辯證》）可備一說。《中國方志叢書·商南縣志》卷八“人物志”曰：“［周］商高，黃帝之昆孫。以地得姓。周初封子男于商。精數學，《周髀》衍其說為算經。”這類記載源于古代早期方志還是后代編方志者據《周髀》推衍，姑且存疑。值得注意的是，《商南縣志》指出“《周髀》衍其說為算經”，與現代多數學者認為《周髀算經》是分階段逐漸形成的相合。

〔4〕包犧：傳說中遠古的三皇之一，也寫作伏羲、庖犧。《易·系辭下》：“古者包犧氏之王天下也，仰則觀象于天，俯則觀法于地。”相傳八卦由他所創。2006年5月河南省淮陽縣平糧臺龍山文化城址發現了一件半圓形黑衣陶紡輪，其上有陰刻符號——八卦中的 （離）卦。由于這件黑衣陶紡輪屬于龍山文化器物，當地又是傳說中伏羲的都城“太昊之墟”，當有助于進一步探索伏羲和八卦起源。（參閱張志華、梁長海、張體鴿《河南平糧臺龍山文化城址發現刻符陶紡輪》，《文物》2007年第3期。）

〔5〕立周天歷度：建立周天測量度數。一周天為 度。本書中用“度”表示這一古代單位。現代一圓周等于360°，本書中用符號“°”表示現代度的單位。

〔6〕章蔀之法：指古代歷法。漢初所傳的六種古代歷法均是四分歷。四分歷：一種以 日為回歸年長度調整年、月、日周期的歷法。以十九年為一章，一章有七閏，四章為一蔀，二十蔀為一遂（紀），三遂（紀）為一首（元）。冬至與月朔同日為章首，冬至在年初為蔀首。

〔7〕邈：邈邈，遠。

〔8〕蕩：蕩蕩，空曠廣遠。

〔9〕數之法出于圓方：數學的方法出于圓和方的數理特性。這是商高對周公“數安從出”的總括回答。在中國古代生產、生活實踐及宗教、科學活動和哲學思維中，圓和方被認為是兩個基本的圖形元素，它們相互對立、可以相互轉換。故劉徽注《九章算術》“圓田術”時稱：“凡物類形象，不圓則方。”

〔10〕圓出于方：求圓的方法可由方的數理特性推導。趙爽注：“方，周匝也。”引申為多邊形的周長。商高時代中國古代數學已創建出一個推算圓面積的方法，商高稱此法為“方圓法”。其步驟是“毀方而為圓，破圓而為方”，即變圓內接正方形為圓內接多邊形以近似圓面積，由圓面積推算得圓周率π。圓周率：圓的周長與直徑之比。

〔11〕方出于矩：方的運算方法可由矩的數理直角特性推導。古文“方”指正方、長方且有直角的含義。矩的本義，是兩條邊呈直角的曲尺。在兩條邊上可按用途取相等或不等之值。短邊稱為勾，長邊稱為股。山東嘉祥武梁祠東漢畫像石有伏羲女媧規矩圖，圖中伏羲手執之器即矩，女媧手持之物即規（見圖一）。在此“方出于矩”的“矩”已超出僅是工具的含義。正如上句“圓出于方”敘述圓與方的數理關系，“方出于矩”敘述方與矩的數理關系。“矩”在商高時代已有多種含義。除了曲尺、直角之外，矩也指正方形和長方形的面積。商高指出“合矩以為方”，明示矩與矩形的相互關系。《墨子》稱“方”為“矩見交也”，用兩矩相遇給方面積下定義，正說明矩與矩形在概念上的連帶關系。《墨子》：墨子及墨家學派的代表作。墨子（約前468—前376）：名翟，春秋戰國之際的思想家，墨家學派的創始人。墨家注重自然科學和邏輯，在力學、聲學、光學上有卓越的成就。

〔12〕矩出于九九八十一：矩的數理原理出于乘法運算。古代常用特例作名，譬如稱乘法表為九九表。在此“九九八十一”指乘法運算，也是以特例為名。“數之法出于圓方，圓出于方，方出于矩，矩出于九九八十一”，商高在這23個字的回答中，說明了數學的通類性。商高認為數學的新知識可利用已知數學知識來啟發和幫助推理演導。“通類推導思維”是中國古代的重要思維特色。

〔13〕折矩：將矩形對角一折為二，得兩個相等直角三角形。

〔14〕以為勾廣三：即“令勾廣為三”。據《漢語大字典》“以”有“使，令”之義。

〔15〕以為勾廣三，股修四，徑隅五：若設折矩所得直角三角形的勾為三［單位］，股為四［單位］，那么徑得五［單位］。徑隅五：趙爽注：“徑，直。隅，角也。亦謂之弦。”徑：演示長方形的對角線，也即直角三角形的斜邊。商高時代這一數學術語尚與圓徑之徑共用，從中也體現出方和圓之間的相互關系。不過當時尚未稱“弦”。直角三角形斜邊的平方也尚無“弦實”之名。五：五個單位長度；此數不是設值，而是隨上文的勾廣、股修之值而定（圖二·商高勾股圖左）。修：長。

〔16〕既方之外：在勾股形之外以徑（斜邊）為邊作正方形。既方：以徑（斜邊）為邊作正方形（參見圖二·商高勾股圖中）。之外：勾股形之外。底本、胡刻本作“既方之外”，戴校本和錢校本改為“既方其外”，兩通，故不改。

〔17〕半其一矩：取半個長方形。

〔18〕實成勢化，爾乃變通：有了這些面積就有了變換的基礎，就可實行各種變換。

〔19〕既方之外：原作“既方其外”，但與經文不同，今統一。

〔20〕更相取與，互有所得：交替取勾或股的數值，都可得對應的股或勾的數值。

〔21〕環而共盤：環繞正方形一周，共同組成一方盤，見圖二·商高勾股圖右。如此所得之大方弦圖，正是趙爽弦圖的外弦圖，見圖十·趙爽勾股圖（參閱程貞一《商高的解剖證明法》（英文），刊于Science and Technology in Chinese Civilization， 1987年，第35—44頁和圖6）。

〔22〕得成三四五：得以推導成立勾股定理。得成：得以推導成立；三四五：直角三角形勾、股和徑（即弦）的數理關系，即現稱的勾股定理，這是商高篇中以特例為名的又一實例。

〔23〕兩矩共長二十有五：趙爽注：“兩矩者，勾股各自乘之實，共長者，并實之數。”由此理解，“兩矩共長二十有五”即勾方和股方兩個矩形面積之和二十有五［單位］，也就是徑方的面積。以近代數學符號表示，即

a 2 +b 2 =c 2 。（1-1-1）

這正是上文“得成三四五”數理關系的具體表述。商高利用“折矩”所得的直角三角形設勾三和股四為例，然后根據“既方之外”作徑方，而得一方四半矩的方盤。由此可見，“矩”和“方”兩字在原文中的應用，有不同的含義。故“兩矩”指的“矩”也可能是“折矩”的“矩”。由構圖得，減兩矩于方盤得中方，面積共長二十有五［單位］。以近代數學符號表示，即

（a +b ）2 -2ab =c 2 ? c 2 =a 2 +b 2 。（1-1-2）

這正是上文“得成三四五”數理關系推導的具體表述。這段文字因簡潔，出現對“兩矩”的不同理解，何為商高原意？待考。但是這兩種理解都確定，這段文字所敘述的是勾股定理c 2 =a 2 +b 2 的推導。

〔24〕是謂積矩：以上“積聚成矩”的推導法就是所謂的“積矩”法。正如其名所示，積矩法利用矩的總面積與其組合面積之間的關系，來建立數學原理。在此，商高利用的總面積是大方（即方盤），組合面積是四個在大方四角的直角三角和其中間的正方，由分析這總面積與組合面積之間的關系（見公式1-1-2）得成勾股定理。這種推導法符合邏輯，是古代中國在數學上的一大成就，首見于商高的工作。后人稱趙爽和劉徽的推導法為出入相補法，實與商高積矩法一脈相承。古代中國數學的特征是以推導為基礎，主要數學原理是以推導得成。這與古代希臘數學家以證明為基礎的思路有所不同，但這兩種思路都建立在邏輯上。當積矩法后來出現于西方時，取名為解剖證明法（dissection proof）。那就是把以組合面積積聚成總面積的步驟反視為把總面積分割為組合面積的步驟，這兩觀點當然等價。以西方公理化的觀點來分析積矩法（或出入相補法），可體會到這種推導證明法的內在邏輯是建立在“整體為其部分的總和”的公理上。（參閱程貞一《勾股，重差和積矩法》，編入吳文俊主編《劉徽研究》，1993年。）積矩：積聚成矩。

〔25〕故禹之所以治天下者，此數之所生也：大禹治水是中國遠古的一件大事，其成功的要旨是疏導。為此必須“望山川之形，定高下之勢”（見趙爽注）。在測量的實踐中，大禹時代的人，也許大禹本人，已積累了不少數學的知識和用矩的經驗，為發現矩的勾股弦三條邊的關系打下了基礎，促進了數學的發展。

〔26〕昏墊：迷惘沉溺，指困于水災。

【譯文】

從前，周公問算數于商高說：“我早已聽說大夫您是位擅長于數學的人。周公姓姬名旦，是周武王的弟弟。商高是周代杰出的大夫，擅長于數學的人士。周公身居宰相之位，德行堪比卓絕的圣人，尚且屈尊降貴嚴格要求自己，不恥下問而求透徹了解，何況平常人呢？ 請問古時伏羲建立周天測量度數，伏羲是三皇之一，八卦的創始人。以商高杰出的數學造詣，既能通達微妙之處，也能通達無邊無際，可說是宏大到沒有不能包括的，幽深到沒有不能彰顯的，知曉伏羲建立周天測量度數，建立古代歷法。《易經》說：“古代伏羲氏統領天下的時候，抬頭仰觀天象，低頭俯察地形。 ”說的就是這個。 可是天沒有臺階可供攀登，地也不適合以尺去度量尺寸，天邈邈極其遙遠寬廣，沒有臺階可供攀登；地蕩蕩極其遐遠，沒有尺度可去度量。 請問這些數是從何處得來的？”心中不明它的關鍵，請教來龍去脈。 商高說：“數學的方法出于圓和方的數理特性。圓的直徑為一則周長為三，正方形的邊長為一則周長為四。伸展圓的周長作為勾，伸展正方形的周長作為股，兩端相連成為一直角三角形，斜邊正好等于弦五。這是圓方斜徑彼此相通之關系，所以說“數之法出于圓方”。圓和方這兩樣東西，隱含天地之形、陰陽之數。所以周公所問的是天地，而商高以圓方之形解釋，用以寫意其形象；用奇耦之數來解釋，用以說明其變化。這正是用言簡約而旨意深遠，無論大小深遠都能講通了。 圓可由方的數理特性推導，方可由矩的直角數理特性推導，圓規之數，是以方推理而來。方，指多邊形的周長。長方形，是以矩作出的。矩，長和寬的曲尺也。 矩的數理原理出于乘除法則。推算圓方之間、長寬之間的數學關系，必須以乘除來計算。九九表，是乘除法的根本。 所以將矩形對角一折為二得兩個相等直角三角形，故，是說明某事的開頭語。將設勾股的比率，所以稱折矩。 假設折矩所得直角三角形的勾（即短邊）等于三［單位］，與圓的周長相應，橫的叫做廣，勾也是廣。廣，就是短。 股（即長邊）等于四［單位］，與方的周長相應，縱的叫做修，股也是修。修，就是長。 那么徑（即弦，斜邊之長）就等于五［單位］。按自然規律得出的比率。徑，直接距離；隅，就是角。徑隅也叫做弦。 在直角三角形之外，以徑（斜邊）為邊作正方形，取半個長方形。勾股之法，先知二數然后推算另一數。有了勾、股然后求弦：勾、股先各自平方成其面積，有了這些面積就有了變換的基礎，就可實行各種變換，所以說“既方之外”。若將勾平方和股平方相加可以求弦平方；如果從弦平方求勾股之間的分配，勾平方、股平方面積不一定相等，交替取勾或股的數值，都可得對應的股或勾的數值；所以叫“半其一矩”。其方法是：勾、股各自平方，根據三四五特例，即三三得九，四四一十六，加起來等于弦平方的面積二十五；從弦平方減去勾平方，得股平方一十六；從弦平方減去股平方，得勾平方九。 環繞正方形一周，共同形成一方盤。由此推導，得以成立三四五數理關系（今稱為勾股定理），盤，讀若盤桓的盤。指取其加減的面積，環繞而共同形成一方盤。開方求解，得其一邊。所以說“得成三四五”數理關系也。 ［因為由構圖得中方面積為方盤面積減兩矩面積，從而推導得徑方面積等于］勾方和股方兩個正方形的面積，共長二十有五［單位］。這種推導法就是所謂的‘積矩’法。兩矩，勾、股各自平方的面積。共長，指的是此面積之和。此推導法及數理關系（即勾股定理）可應用于許許多多場合，故在此先作勾股定理的簡明表述。 所以大禹治天下洪水，積累了不少數學的知識和用矩的經驗，促進此數學的發展。”禹治洪水，導引江河水流。觀察山川之形，測定高低之勢。解救滔天之災，解除水災的苦難，使江河東注于海，而不會淹沒倒灌。這是勾股術的來源。

（二）用矩之道

周公曰：“大哉言數，心達數術之意，故發“大哉”之嘆。 請問用矩之道？”謂用表之宜，測望之法。 商高曰：“平矩以正繩〔1〕 ，以水繩之正，定平懸之體，將欲慎毫厘之差，防千里之失。 偃矩以望高〔2〕 ，覆矩以測深〔3〕 ，臥矩以知遠〔4〕 ，言施用無方 〔5〕 ，曲從其事 〔6〕 ，術在《九章》 〔7〕 。環矩以為圓〔8〕 ，合矩以為方〔9〕 。既以追尋情理，又可造制圓方。言矩之于物，無所不至。 方屬地，圓屬天，天圓地方〔10〕 。物有圓方，數有奇耦 〔11〕 。天動為圓，其數奇；地靜為方，其數耦。此配陰陽之義，非實天地之體也。天不可窮而見，地不可盡而觀，豈能定其圓方乎？又曰：“北極之下高人所居六萬里，滂沲四 而下。天之中央亦高四旁六萬里。 ”〔12〕 是為形狀同歸而不殊途 〔13〕 ，隆高齊軌而易以陳 〔14〕 。故曰“天似蓋笠，地法覆槃” 〔15〕 。方數為典，以方出圓〔16〕 。夫體方則度影正，形圓則審實難。蓋方者有常，而圓者多變，故當制法而理之。理之法者：半周、半徑相乘則得圓矣 〔17〕 ；又可周、徑相乘，四而一 〔18〕 ；又可徑自乘，三之，四而一 〔19〕 ；又可周自乘，十二而一 〔20〕 ；故“圓出于方”。 笠以寫天〔21〕 ，笠亦如蓋，其形正圓，戴之所以象天。寫，猶象也。言笠之體象天之形。《詩》云“何蓑何笠 〔22〕 ”，此之義也。 天青黑，地黃赤。天數之為笠也〔23〕 ，青黑為表，丹黃為里，以象天地之位〔24〕 。既象其形，又法其位。言相方類 〔25〕 ，不亦似乎 ？是故，知地者智，知天者圣。言天之高大，地之廣遠，自非圣智，其孰能與于此乎 ？智出于勾〔26〕 ，勾亦影也。察勾之損益，知物之高遠，故曰“智出于勾”。 勾出于矩〔27〕 。矩謂之表。表不移，亦為勾。為勾將正 〔28〕 ，故曰“勾出于矩”焉。 夫矩之于數，其裁制〔29〕 萬物，惟所為耳。”言包含幾微，轉通旋還 〔30〕 也。 周公曰：“善哉！”善 哉，言明曉之意。所謂問一事而萬事達。

【注釋】

〔1〕平矩以正繩：利用矩的直角以鉛垂繩校正水平線。這是測量必須預備的實際條件。《周髀算經》有兩處提到“平矩”。另一處在卷下“立二十八宿以周天歷度之法”中，稱“令其平矩以水正”。這兩個“平矩”的意義相同。正繩：以鉛垂繩之正校定水平線。

〔2〕偃矩以望高：把矩仰立放，可測高度。偃：仰。（圖三·偃矩以望高）

〔3〕覆矩以測深：把矩倒置，可測深度PQ 。將圖三上下翻轉180°，就是圖四·覆矩以測深。

〔4〕臥矩以知遠：把矩臥放與地面平行，可測兩點的水平距離PQ 或斜距AP 。如地面兩地間由于阻隔，不能直接測量水平距離或斜距，可利用相似直角三角形的比例關系求得。（圖五·臥矩以知遠）

〔5〕無方：無方向限制，各方向均可測量。

〔6〕曲從其事：謂根據需要，靈活應用。

〔7〕《九章》：《九章算術》。《九章算術》是集先秦至西漢數學知識之大成的著作，共分九章：方田、粟米、衰分、少廣、商功、均輸、盈不足、方程、勾股。勾股章討論了用勾股定理解應用題，勾股容圓和勾股容方問題，以及勾股測量問題。

〔8〕環矩以為圓：把矩當圓規，環旋一周，可以得到圓形。其義有兩解：有些學者（如陳遵媯）理解為以矩的一端為樞，旋轉另一端，可以成圓（參見圖六左）；有些學者（如李儼、梁宗巨等）理解為把矩的斜邊固定，使兩直角邊變化，但保持頂角為直角，則頂角的軌跡是圓（參見圖六右），即商高先于古希臘的泰勒斯已發現立于直徑上的圓周角為直角這一定理。泰勒斯（Thales，約公元前七世紀至前六世紀）：古希臘自然哲學家、天文學家、數學家，希臘最早的哲學學派——米利都學派的創始人。他引入了命題證明的思想，將不少平面幾何學的定理整理成一般性的命題，論證了它們的嚴格性。

〔9〕合矩以為方：將兩矩相合，可得長方形，如矩之勾股相等則得正方形。

〔10〕方屬地，圓屬天，天圓地方：謂觀測地的數理來自方，觀測天的數理來自圓，所以說“天圓地方”。有些學者把商高這句話視為是敘述天地模型，并猜測良渚文化的玉琮或許是體現這一概念的實物。這看法應商榷，不僅是因為商高所說的“天圓地方”不是指天地之形，而且“地方”概念的文字記載出現得非常遲。趙爽為“天圓地方”作出如下評論：“此配陰陽之義，非實天地之體也。天不可窮而見，地不可盡而觀，豈能定其圓方乎？”由此可見，趙爽反對當時學者對“天圓地方”的理解和看法。他認為“天圓地方”是形而上陰陽學派的論調，不合商高之意。早在趙爽之前，曾參對“天圓地方”有下列批駁：“如誠天圓而地方，則四角之不揜也……參嘗聞之夫子曰：‘天道曰圓，地道曰方’”（《大戴禮記·曾子·天圓》）。曾參所言與商高之言相符合。商高所言是回答周公問數學在觀測天地上的應用后，對觀測天地的數學來源作一總結，不是在談地之形為方。

〔11〕耦：偶數。

〔12〕北極之下高人所居六萬里，滂沲四 而下。天之中央亦高四旁六萬里：這是趙爽所引《周髀算經》的原文，詳見《周髀算經》卷下“蓋天天地模型”。

〔13〕形狀同歸而不殊途：天地形狀結構相似，形成的機制也相同。

〔14〕隆高齊軌而易以陳：中央隆起的高度整齊劃一而不同者只是上下位置。隆高：中央隆起的高度。齊軌：象軌道般整齊。易：變易。陳：陳列，布置。

〔15〕天似蓋笠，地法覆槃：趙爽在此所引八字與《周髀算經》的原文略有不同，《周髀算經》的原文為“天象蓋笠，地法覆槃”，詳見《周髀算經》卷下“蓋天天地模型”。

〔16〕方數為典，以方出圓：以方之數理為基礎，借鑒處理方的辦法推導出圓之數理。這是商高為其“或毀方而為圓，或破圓而為方”之法所作的原理概述。

〔17〕半周、半徑相乘則得圓矣：趙爽在此給出求圓面積的一個正確公式，以現代符號表達即πR 2 （R 為半徑，πR 為半周，π為圓周率）。在商高時代取約值3為圓周率，得3R 2 。這是當時認可的圓面積（見“商高篇二、勾股圓方圖”之注〔3〕和注〔4〕）。傳本此趙注誤為“半周、半徑相乘則得方矣”，趙爽在注中不僅多次用3R 2 為圓面積而且用4R 2 為其外切正方形的面積，故改注中“得方矣”為“得圓矣”。

〔18〕又可周、徑相乘，四而一：又可以將周2πR 、徑2R 相乘得4πR 2 ，除以4得πR 2 。取約值3為圓周率，得3R 2 。

〔19〕又可徑自乘，三之，四而一：又可以將徑2R 自乘得4R 2 ，乘以圓周率約值3得12R 2 ，除以4得3R 2 。

〔20〕又可周自乘，十二而一：又可以將周2πR 自乘得4（πR ）2 除以12得 （πR ）2 。取約值3為圓周率，得3R 2 。

〔21〕笠以寫天：以笠寫意天。在此“寫天”的含義不僅只是以笠描繪天的形態特征圓，笠也當寫意商高時代對天所理解的其他特征。譬如天的包蓋功能，蓋天說是由此功能而得名。笠：斗笠；寫：寫意，重在表達意境而不拘泥于形態。

〔22〕何蓑何笠：出自《詩·小雅·無羊》：“爾牧來思，何蓑何笠，或負其糇。”底本作“何蓑何苙”，此據胡刻本改。

〔23〕天數之為笠也：以笠來表現天之數理特質。從“笠以寫天”到“天數之為笠也”，商高將“笠”從日常的“斗笠”升華為周髀家的科學術語。那就是說周髀的“笠”不僅意味著天體自行運行之形狀，而且也指天蓋的結構和功能。值得注意的是：古代希臘天文學家把天看成是多層晶體、每層粘有天體，天體運行是由晶體旋轉所帶動；古代印度宇宙論以為天上有著一系列的同軸天輪，天神靠風力推動天輪攜帶著各種天體繞北極星旋轉；而古代中國周髀家的天是一個可讓天體在其中自行運行的天，不是一個硬而實心的固體天。如《呂氏春秋·季春紀·圜道》說：“何以說天道之圜也？精氣一上一下，圜周復雜，無所稽留，故曰天道圜。”由于“笠”的高度概括，商高以后的學者以笠的形狀對古代天體形態作出多種探討和猜測。譬如，《太平御覽》引祖暅《天文錄》云：“蓋天之說，又有三體：一云天如車蓋，游乎八極之中；一云天形如笠，中央高而四邊下；一云天如倚車蓋，南高北下。”天數：天道之數，天體運行的數理特質。

〔24〕青黑為表，丹黃為里，以象天地之位：以天色青黑為其外表，以地色黃赤為其里面，用來象征天地方位。商高在此敘述如何利用天色和地色給“寫天”之笠定方位。

〔25〕相方類：相仿、相類似。

〔26〕智出于勾：智出自善于設勾測量的才華。

〔27〕勾出于矩：把矩固定作表，可以測量出勾影。

〔28〕為勾將正：以表為矩可得正勾（表影）。

〔29〕裁制：測算制作。

〔30〕轉通旋還：各種各樣的變換。

【譯文】

周公說：“討論數的問題，意義重大！心中明白數術的意義，所以發出“大哉”的感嘆。 請問用矩的方法。”指用矩作表的事宜，測望的方法。 商高答道：“利用矩的直角邊和重垂線，可確定水平面。以水平和懸繩之正，確定水平和垂直的物體，這是為了慎防差之毫厘，失之千里。 把矩仰立放，可測高度。把矩倒置，可測深度。把矩臥放與地面平行，可測水平距離的長度。這是說施用無方向限制，可隨目標物的變化來應用，其方法載在《九章算術 》。把矩環旋一周，可以得到圓形。將兩矩相合，可得方形。既可以追尋情理，又可以造制圓和方。講矩對于各種事物的應用，無所不至。 方的數理應用于觀測地，圓的數理應用于觀測天，所以稱天圓地方。物有圓、方，數有奇、耦。天動為圓，其數是奇數；地靜為方，其數是偶數。這是為了配合陰陽之義，不是對天地實體的定義。看天不可能窮盡，觀地不可能窮盡，豈能確定它們是圓是方？又說：“北極之下高人所居六萬里，滂沲四 而下。天之中央亦高四旁六萬里。 ”這說明天上地下形狀結構均相似，中央隆起的高度整齊劃一而不同者只是上下位置。所以說“天似蓋笠，地法覆槃”。 以方的數理為基礎，以處理方的方法推導出圓之數理。方的物體，測影正確；圓形的物體，面積都難算。其原因是方者縱橫有序，而圓者多變難算，所以要研制法則來處理它。處理的法則：半周、半徑相乘則得圓面積了 ；又可周、徑相乘，除以四；又可徑自乘，乘以三，除以四；又可周自乘，除以十二 ；（均得圓面積，）所以說“圓出于方”。 笠可用來寫意天的功能與表現天的形態，笠也如圓蓋，其形狀正圓，戴在地上面所以象天。寫，象的意思。說笠之形體象天的形狀。《詩經》說“何蓑何笠 ”，就是這個意思。 天色青黑，地色黃赤。以笠來寫意天的數理特質，天色青黑為其外表，地色黃赤為其里面，以此象征天地方位。既顯示其形態，又表明其位置。用類似之物作比喻，能說不相似嗎 ？所以說，通曉地上事物的是智者，理解天上事物的是圣人。說以天之高大，地之廣遠，除了圣人智者，誰能達到這個水平 ？智出自善于設勾測量的才華，勾即表影。觀察勾（表影）的增減，可知目標物之高遠，所以說“智出于勾”。 把矩固定作表，可以測量出勾影。矩用作表。將表固定，亦得勾（表影 ）。以表為矩可得正勾（表影 ），所以說“勾出于矩”也。 矩對于算數應用的重要性，在于測算制作萬物，用起來得心應手。”講矩包含精妙的機制，可作各種各樣的變換。 周公說：“好極了！”善載：謂清楚理解后，表示贊同。這是所謂舉一反三，問明一事而萬事皆已明曉。