3.2　雙饋風力發電機在三相靜止坐標系下的數學模型

3.1節從雙饋風力發電機的穩態等效電路以及功率流向的角度分析了雙饋風力發電機的工作原理，但這對于控制來說遠遠不夠，本節將從數學模型的角度來分析雙饋風力發電機，為下一步的控制做準備。

雙饋風力發電機的數學模型與三相繞線式感應電機相似，是一個高階、非線性、強耦合的多變量系統。為了建立數學模型，一般作如3.1.3節所作的假設。

在建立基本方程之前，有幾點必須說明：

（1）要選定好磁鏈、電流和電壓的正方向。圖3-8所示為雙饋風力發電機的物理模型和結構示意圖。圖中，定子三相繞組軸線A、B、C在空間上是固定，a、b、c為轉子軸線并且隨轉子旋轉，θr為轉子a軸和定子A軸之間的電角度。它與轉子的機械角位移θm的關系為θm＝θr/np，np為極對數。各軸線正方向取為對應繞組磁鏈的正方向。定子電壓、電流正方向按照發電機慣例標示，正值電流產生負值磁鏈；轉子電壓、電流正方向按照電動機慣例標示，正值電流產生正值磁鏈。

（2）為了簡單起見，在下面的分析過程中，假設轉子各繞組各個參數已經折算到定子側，折算后定子、轉子每相繞組匝數相等。

雙饋風力發電機的數學模型包括電壓方程、磁鏈方程、運動方程、電磁轉矩方程等。

3.2.1　電壓方程

選取下標s表示定子側參數，下標r表示轉子側參數。定子各相繞組的電阻均取值為Rs，轉子各相繞組的電阻均取值為Rr。

交流勵磁發電機定子繞組電壓方程為

轉子電壓方程為

可用矩陣表示為

3.2.2　磁鏈方程

定轉子各繞組的合成磁鏈是由各繞組自感磁鏈與其他繞組的互感磁鏈組成，按照上面的磁鏈正方向，磁鏈方程式為

電感L是6×6的矩陣，主對角線元素是與下標對應的繞組的自感，其他元素是與下標對應的兩繞組間的互感。

由于各相繞組的對稱性，可認為定子各相漏感相等，轉子各相漏感也相等，定義定子繞組每相漏感為Lls，定子繞組每相主電感為Lms（表示與主磁通對應的定子一相繞組交鏈的最大互感磁通所對應的定子互感值）；轉子繞組每相漏感為Llr，轉子繞組每相主電感為Lmr（表示與主磁通對應的轉子一相繞組交鏈的最大互感磁通所對應的轉子互感值），由于折算后定子、轉子繞組匝數相等，且各繞組間互感磁通都通過氣隙，磁阻相等，故可認為Lms＝Lmr。

定子各相自感為

轉子各相自感為

兩相繞組之間只有互感。互感可分為兩類：①定子三相繞組彼此之間和轉子三相繞組彼此之間的位置是固定的，故互感為常值；②定子任一相和轉子任一相繞組之間的位置是變化的，互感是θr的函數。

第一類互感由于三相繞組的軸線在空間的相位差是120°，在假設氣隙磁通為正弦分布的條件下，忽略氣隙磁場的高次諧波，互感為

于是

當忽略氣隙磁場的高次諧波，第二類定子、轉子間的互感可近似認為是定子、轉子繞組軸線電角度θr的余弦函數。當兩套繞組恰好在同一軸線上時，互感有最大值Lsr（互感系數），于是

代入磁鏈方程，就可以得到更進一步的磁鏈方程。為方便起見將其寫成分塊矩陣的形式

其中

Lrs和Lsr兩個分塊矩陣互為轉置，即且與轉角位置θr有關，他們的元素是變參數，這是系統非線性的一個根源。為了把變參數轉化為常參數，需要進行坐標變換，這將在后面討論。

需要注意的是：

（1）定子側的磁鏈正方向與電流正方向關系是正值電流產生負值磁鏈，不同于一般的電動機慣例，所以式（3-18）中出現了負號“-”。

（2）折算前，根據電感的基本定義有

則

（3）轉子繞組經過匝數比變換折算到定子側后，定子、轉子繞組匝數相等，且各繞組間互感磁通都通過氣隙，磁阻相同，故可以認為轉子繞組主電感、定子繞組主電感與定子、轉子繞組間互感系數都相等，即Lms＝Lmr＝Lsr。

3.2.3　運動方程

交流勵磁電機內部電磁關系的建立離不開輸入的機械轉矩和由此產生的電磁轉矩之間的平衡關系。為簡單起見，忽略電機轉動部件之間的摩擦，則轉矩之間的平衡關系為

根據機電能量轉換原理，在線性電感條件下，磁場的儲能Wm和磁共能W′m為

電磁轉矩等于機械角位移變化時磁共能的變化率（電流約束為常值），且機械角位移θm＝θ/np，于是

將式（3-27）代入式（3-28），并考慮到電感的分塊矩陣關系式，得

又考慮到，則得出電磁轉矩方程為

應該指出，上述公式是在磁路為線性、磁場在空間按正弦分布的假定條件下得出的，但對定子、轉子的電流波形沒有任何假定，它們都是任意的。因此，上述電磁轉矩公式對于研究由變頻器供電的三相轉子繞組很有實用意義。

上述公式構成了交流勵磁發電機在三相靜止軸系上的數學模型。可以看出，該數學模型即是一個多輸入多輸出的高階系統，又是一個非線性、強耦合的系統。分析和求解這組方程式非常困難，即使繪制一個清晰的結構圖也并非易事。為了使交流勵磁發電機具有可控性、可觀性，必須對其進行簡化、解耦，使其成為一個線性、解耦的系統。其中矢量坐標變換是一種有效方法。