2 經典損傷理論的局限性

2.1 連續損傷力學與等效應變假設

宏觀連續損傷力學以連續介質力學和不可逆熱力學為基礎，把物體內存在的微缺陷理解為連續的變量場（即損傷場），把損傷過程視為滿足熱力學定理的能量耗散過程。1958年，Kachanov在研究金屬蠕變過程中首次提出用連續度的概念來描述材料的逐漸衰變，使得材料中復雜的、離散的劣化過程可以用一個連續變量來描述，成為損傷研究出現的里程碑；此后其學生Robotnov于1963年引入了重要的概念——損傷因子和有效應力。法國著名學者Lemaitre提出了“等效應變”假設，使得損傷力學更加貼近實用。他們的研究工作共同奠定了現代損傷力學宏觀唯象學方法的基礎，并分別對應于兩種損傷變量的定義形式。

（1）基于缺陷面積定義的損傷變量：

式中：為實際承載的有效面積，即扣除了由于微缺陷而不能承載的部分面積后得到的凈面積；A為名義面積（初始面積）。

損傷過程中，隨著微孔洞、微裂紋等微缺陷的萌生和擴展，有效面積減小，損傷變量D增大。損傷變量D的變化范圍為：0≤D≤1。

設σ為對應于名義面積的名義應力（Cauchy應力）；為對應于有效承載面積的有效應力，損傷變量可表示為

現在損傷力學中通常使用的損傷變量均采用上述概念，表示由于損傷而喪失承載能力的面積與初始無損時原面積之比。

（2）基于彈性模量定義的損傷變量。上面提到的基于缺陷面積的損傷變量定義方法物理意義十分明確，但對應的缺陷面積不能通過試驗直接獲得。為此，Lemaitre提出了“等效應變”假設，表述為：損傷材料（D≠0）在有效應力作用下產生的應變ε與同種材料無損（D=0）時產生的應變等效。根據這一原理，受損材料的任何應變本構關系可以從無損理想彈性材料的本構方程來導出，只要用損傷后的有效應力來取代無損材料本構關系中的名義應力σ，如圖2.1所示。

圖2.1 等效應變假設

對于一維問題，該原理用公式可表示為

式中：E為無損材料彈性模量；為損傷后的彈性模量。

由式（2.2）和式（2.3）可得損傷變量的另一種形式：

由此可知 “等效應變”假設認為，材料細觀損傷演化所引起的宏觀損傷效應中，“材料有效面積的減小”和“彈性模量的減小”是等效的。式（2.4）即為損傷理論中“彈性模量法”的定義和度量損傷的基本依據，以損傷前后材料彈性模量的變化來定義或量度損傷。

式（2.5）為基于“等效應變”假設得到的一維損傷本構方程的標準形式。

在連續損傷力學理論體系中，除“等效應變”假設外，還包括等效應力假設、等效能量假設等，通過這些假設建立起無損材料和損傷材料的關系。但是不可否認，基于“等效應變”假設而建立起來的以“彈性模量”作為損傷變量定義依據的連續損傷模型構成了目前應用最為廣泛、最為系統的宏觀損傷理論體系；“等效應變”假設可以認為是現代連續損傷力學的理論基礎。