4.2 定解條件

4.2.1 初始條件

模型初始條件是數學模型中所有與計算有關的、需要在計算初始時刻明確賦值的量。

模型要求的初始條件可分為計算初始時刻的地形條件、水流條件與工程條件。地形條件包括河底高程與糙率。初始水流條件分為兩個部分，有水流流動的計算網格可根據實測資料或經過資料分析等給出水位、流速，也可按進出口水位線性插值給出水位，并令流速為0；沒有水流流動的部分，即干河床部位可直接賦水位為河床高程，流速為0。

如果模型已進行過模擬，且模擬初始時刻已有模擬結果，則模型的初始水位與流速為起始計算時刻的上一次計算結果。對于用戶來講，設置初始流速和初始水位時假設模型計算的啟動方式為冷啟動；如果進行模型計算時選擇熱啟動，用戶設置初始計算時間后，模型軟件將從上一次的模型計算輸出結果中選擇時間最接近的輸出結果，并自動將其流速和水位設置為模型計算的初始流速和初始水位，然后進行模型計算。

對于泥沙沖淤、溫度場及濃度場的計算，可令初始時刻含沙量、溫升、濃度為0。

4.2.2 進出口邊界條件

數值邊界條件的給定，一方面要符合流動的物理性態，且在數學上和控制方程相容；另一方面，數值邊界條件的規定不應使所確定的輸入特征變量和未規定的邊界點流動要素不合理或有較大誤差。

邊界處理合適與否決定數值模擬的成敗。若單元某邊也是區域邊界，該處給定了邊界條件，則需求解邊界黎曼問題。此時，q_L由域內已知解確定，q_R即邊界處的解，可根據當地流態（緩流或急流）選擇輸出特征的相容關系，并利用給定的物理邊界條件加以確定。這相當于應用邊界特征差分格式，不需引入冗余的數值邊界條件。

邊界條件的形式主要有三種：①給定水位過程；②給定流量過程；③給定水位流量關系。

在理論上，根據具體問題選用水位或流量均可，但從數值計算角度最好是上下游給定不同的變量，且對緩流可能以上游給定流量、下游給定水位為最佳組合。如上下游同時給定水位（或流量），結果中另一因變量可能有明顯的誤差，甚至所得恒定流解可能不唯一。對于河道恒定流模擬，一般進口給定流量，出口給定水位；對非恒定流，一般進出口均給定潮位過程。在急流入流點唯一的選擇是同時給定水位和流量，在出流控制斷面（閘堰、跌檻等）有固定水位流量關系時，宜規定為邊界條件。

當進口給定流量或含沙量過程時，需對進口斷面的流速分布和含沙量分布進行劃分。

進口斷面流速分布按假定的斷面流速分布公式給出，模型采用以下流速分布公式：

式中，k為流速分布系數，由進口流量反求。

進口斷面含沙量分布，按挾沙能力公式分配：

式中：S_l為進口第l組泥沙含沙量；S_j，l為進口斷面第j點第l組泥沙含沙量；Q為進口流量；Q_j為進口斷面第j點的流量；H_j為第j點的水深；U_j為第j點的流速；ω_l為第l組泥沙沉速；n為進口斷面上節點總數。

對于溫排水的計算，排水口邊界給出排水流量、溫升值（考慮熱回歸影響），陸地邊界按絕熱條件考慮。

對于污染物濃度場的計算，排污口邊界給出排水流量、污染物濃度值，陸地邊界按偏導數為0考慮。

4.2.3 固壁邊界

模型中令固壁邊界法線方向流速為0，具體處理如下：

如圖4.1所示，對于岸邊界節點i，設N為岸邊界法線方向，T為固壁邊界切線方向，θ為點i相鄰的前后兩點連線與x軸的夾角，u₁、v₁為在迭代過程中的前一次流速計算值，則其法向流速分量U_N和法向流速分量U_T分別為

令U_N=0，則下一次迭代的流速分量u₂、v₂分別為

4.2.4 動邊界處理

1.目前常用的處理方法

目前對動邊界的處理方法很多，常用的有漫水法、水邊界步進法、開挖法、凍結法、切削法、窄縫法和線邊界法，各種方法各有其局限性。

（1）漫水法。漫水法既考慮了處理問題的復雜性和適應性，又考慮了使數學模型計算方法上不至過于復雜，并滿足流動中泥沙與水流物質守恒。在漫水法中，對于給定的網格單元，考慮水流脫離流動和恢復流動兩種模式，對于當前處于流動狀態的計算網格點，當計算水深小于某一臨界值時，該網格脫離流動區域成為陸地邊界不再參加計算，對于當前處于非流動狀態的陸地網格點i，每一計算時段循環時，逐一檢查周圍網格點的計算狀態，周圍網格點上如果有流動計算點，則將其流動水面與當地網格點的河床床面比較，如該臨近網格點水面高程高于當地網格點河床床面時，設其網格點序號為j，則網格i與j之間存在流動，這樣，一個新的流動網格點參與整個流場計算及沖淤計算，該網格點的水位假定與周圍所有流動網格點的平均水位相同，其水量來自于各參與流動的周圍網格點、各自的貢獻由相應的相對水深加權平均給出。由于模型各網格計算起算水深很小，因此一個網格從靜到動時，對周圍附近區域的流動產生的影響是很小的。

（2）水邊界步進法。水邊界步進法是處理動邊界的一種常用方法?；驹硎牵涸谒蛔儎舆^程中，以淺灘水邊線最接近的網格節點作為邊界點，因為水邊線是活動的，作為邊界的網格節點也是變化的。如圖4.2所示，建立邊界網格節點的判別式為：

當z_s≤（z_a+z_b）/2時，邊界網格節點應選在較低的a點；

當z_s>（z_a+z_b）/2時，邊界網格節點應選在較高的b點。

其中，z_s為水邊線的豎向坐標值；z_a鄰近水邊線的較低網格節點的豎向坐標值；z_b鄰近水邊線的較高網格節點的豎向坐標值。

（3）開挖法。開挖法（周發毅，1995）將灘地開挖至可能出現的最低水位之下（見圖4.3）。為使水量平衡，將岸邊界向水邊界移動，并增大開挖部分的糙率以求得動量上的平衡。這種方法一般只適用于潮灘問題，而且灘地面積占整個計算海區較小的情況，而對于水位變化小、坡度較緩的地形，這種處理則易失真。

（4）凍結法。凍結法（程文輝等，1988；魏文禮等，1994）根據水深判斷網格單元是否露出水面，對露灘單元取糙率系數為一接近無窮大的正數，這時糙率和潮位都布置在網格中心點上，使單元四周的流速為一趨于零的無窮小量，這樣處理的結果相當于使該單元的潮位在計算過程中被“凍結”不變（見圖4.4）。這種方法適用于寬淺、坡度較平坦的露灘問題，而對潮灘相間的海岸河口水域，則因水量和動量的過分“凍結”而失真。方春明（1991）在計算河道平面二維恒定水流運動方程時采用凍結法處理岸邊界。

（5）切削法。切削法（夏云峰，1993）對露灘單元并不“凍結”水位，而是引入一個富裕水深（相當于岸灘上存在很薄的水層）以保證計算過程的完整，相當于將原始地形切削降低，而一旦判斷實際水深大于富裕水深時，即恢復原始地形。該法也有開挖法類似的局限性。辛文杰（1993）針對這種限制，提出了一種修正措施，有一定的效果，但這種修正較繁且帶有一定的經驗性。

（6）窄縫法。窄縫法（何少苓等，1986）假想在岸灘的每個網格上存在一條很窄的縫隙，它的深度與岸灘前的水深一致。根據水量平衡原理將窄縫內的水量平鋪到岸灘上，相當于將岸灘前的水域延伸到岸灘內，從而可以把計算網格點設在岸灘上。這種方法只適用于岸邊灘的露灘問題，對水域內淺灘的顯露則不適用，而且連續方程的形式需作一定的修正。

（7）線邊界法。線邊界法（林琿等，2000）為一種新方法，也是一種較先進的動邊界技術。該方法不像傳統方法以網格（面）為考慮對象，而以網格的邊線為對象進行露灘處理，這在物理上更為真實。而且還涵蓋了網格陸露的現象和工程邊界的處理（潛堤、潛壩時的邊界問題），具有較廣的適用性。

以上方法在數值模擬中都取得了一定的計算效果，但在模擬潰壩后干河床洪水演進過程中，直接采用上述處理方法有一定的局限性。如“切削法”中，由于方程中存在水位的偏導項且初始時刻水位一般取為與河床高程相同，因此當河道地形起伏時，對于洪水還沒有傳播到的位置會因水位偏導項不為0而產生水流虛假流動；“凍結法”中，對于下游為干河床時，會引起水流的停滯不動；“窄縫法”中窄縫的寬度難以確定，在模擬干河床洪水演進中計算誤差較大等。

2.本書提出的新方法

目前，關于干濕邊界的處理，目前已提出許多的方法，如“漫水法”、“切削法”、“凍結法”、“最小水深法”等，但各種方法均有其局限性。為此，本書提出了一種適合于干濕邊界處理的新方法，并在計算中取得了較好的模擬效果。其主要思路為：首先采用最小水深法區分干濕節點；然后對干節點周圍進行查找，若有濕節點且濕節點水位大于該干節點河床高程，即認為該干節點為“潛在”濕節點，可參與運算，否則為實際干節點，不參與運算。

與傳統的“最小水深法”不同，本方法設置兩個“最小水深”，即h_dry和h_wet，若某節點水深h<h_dry，將周圍節點的水位減去本節點的河底高程，得到周圍各點相對本節點的水深h′_i。若h′_i均小于h_dry，則表示該節點周圍均為干河床，則該節點干出，即h=h_dry，該節點作凍結處理；若至少有一個節點h′_i＞h_wet，則令h=h_wet，即該節點為潛在的濕節點，可參與運算。在通常情況，可取h_dry=0.005m，h_wet=0.05～0.1m，如圖4.5所示。

以上處理方法的優點在于對于洪水流經區域及水陸交接干節點可直接參與計算，而對于洪水還沒有流到的干河床，由于采用了“凍結”處理，在計算過程中不會因為地形起伏而產生水流虛假流動。

3.概化潰壩模型檢驗

（1）部分潰壩模型實驗。實際潰壩水流實測資料一般難以得到，因此本書引用Fraccrollo等進行的潰壩物理模型實驗成果對模型進行檢驗。

物理模型為1m×2m的矩形容器，在矩形容器的長邊中央有一個寬0.4m缺口，并用一矩形擋板擋住。該擋板能夠在極短時間內開啟，構成一個對稱型部分潰壩模型（見圖4.6），從而瞬間形成向下游推進的正波和向上游傳播的負波。

在擋板上下游分別布置若干測點，分別采用壓力表和波高計測量各點水位過程。

（2）數學模型計算條件：

計算域及網格劃分：選擇擋板上下游長3m、寬2m的區域作為數學模型計算區域，劃分為75×50個正方形網格，網格邊長為0.04m。

初始條件：初始時上游水深為0.6m，根據經驗下游水深不能為0，計算中取為0.001m，初始時整個流場流速為0。

邊界條件：擋板下游三面為開邊界，容器內除擋板處為開邊界外，其余為閉邊界，容器內水量一定。

主要參系數：計算時間步長為1ms，不計底坡和底部阻尼。

（3）數學模型計算結果分析。圖4.7給出潰壩初期（t=0.1s）和潰壩一定時間（t=0.6s）水位三維演示圖。從計算成果來看，潰壩發生后約0.6s時水流到達計算域左右開邊界，1.2s左右到達計算域最下游開邊界，與物理模型實驗觀測結果一致，由此從定性說明數學模型計算結果較好反映了實際潰壩水流演進情況。

限于篇幅，圖4.8給出了部分典型測點計算水位過程與實驗結果對比情況。從中可見，計算和實測水位過程除在口門流動梯度變化較大的區域（如測點0）有一定的誤差外，其他區域吻合較好，說明該模型能較好模擬潰壩波的演進過程。從中還可看出，隨著上游容器內水流體積減少，壩上游水位不斷下降，壩下游水位先升高后降低，且離口門越遠，水位波動越小。

從計算與實驗結果相比較可知，在潰口初期，數值計算成果與模型實驗結果存在一定誤差，尤其是在口門附近。主要原因是二維模型代替三維模型時淺水方程的靜水壓力假定，計算時忽略實際存在的底部摩阻、采用小水深以及實驗時擋板開啟方式和時間等綜合因素不可避免帶來的差異，但總體而言該模型能較好模擬潰壩波的運動特性。

4.天然干河床洪水演進檢驗

為反映模型對天然河道干河床的適應性，選取一天然河道進行洪水演進模擬計算。計算河段長約18km，采用矩形網格進行劃分，網格邊長為100m，時間步長取為1s。進口給定流量和水位，假定下游為干河床。圖4.9給出了不同時刻洪水演進圖（dt=600s），從中可見，模型能較好模擬洪水在干河床上的演進過程，說明提出了干河床及動邊界的處理方法，能較好適應洪水演進過程中干濕邊界的調整。

4.2.5 內部邊界

在模型中水工建筑物處的質量和動量計算，也可在有限體積法的框架之下進行的，但法矢量的計算方法并非利用一般的差分格式。

內部邊界處的質量通量計算一般采用水工建筑物過水經驗公式。一般的水工建筑物為閘、堰、橋孔、管道、堤等。邊界為堰，則采用相應的堰流經驗公式；邊界為閘門式溢洪道和橋，則視流態的不同采用相應堰流或孔流經驗公式。邊界為堤，但水位低于堤頂時，作為固壁邊界處理；如水位高于堤頂時，則采用堰流經驗公式計算流量，此時堰的寬度為堤長。

涵閘的存在，使本來連續的天然水流改變了走勢，也改變了天然河網的水力連接。過閘水流有三種情況：關閘、自由出流、淹沒出流。對于關閘的情況，閘上、閘下河道不再聯系，Q=0；該條件可作為這兩條河道的邊界條件計算。開閘時，通過以下的計算可求得過閘流量。因為閘沒有容積，即流入和流出的流量相等。在進行水量平衡計算時，該流量即為與閘相連的斷面之流量。對于閘上、閘下的河道，是通過閘聯系起來的。淹沒出流和自由出流在任何時刻均可以發生，亦可以相互轉換，由該時刻的水力條件決定。

過閘流量的計算：

開閘時，根據閘的上、下游水位，可能有自由出流和淹沒出流兩種情況，由水力學知識，其判別條件為閘后水深與閘前水深的比值，大于0.8時為淹沒出流，否則為自由出流。其自由出流和淹沒出流過閘流量Q可按寬頂堰公式計算：

或

上二式中：Q為過閘流量，m³/s；m為自由出流系數，一般取0.32～0.385；φ為淹沒出流系數，一般取1.0～1.18；B為閘門開啟總寬度，m；H₀為閘上水深，m；z_u為閘上游水位，m；z_d為閘下游水位，m。

式（4.21）適用于自由出流，式（4.22）適用于淹沒出流。為了計算方便及兩種出流之間的銜接連續，將自由出流公式寫成與淹沒出流公式統一的形式：

當δ≤σ時

當δ≥σ時

其中

式中，為判斷流態的標準，可根據自由出流系數m與淹沒出流系數φ求得。設臨界流時的下游檻頂以上水深為σH₀，臨界流時用式（4.21）或式（4.22）計算的流量相等，故

內部邊界處的動量通量，可用下式計算：

式中：h為水深；u_n、v_t分別為邊界法向和切向方向的流速，其中u_n=ucosφ+vsinφ；v_t=vcosφ-usinφ，u、v分別為x和y方向的流速。

4.2.6 工程邊界

在河道數值模擬中，有時對某些萎縮河道進行封堵處理，枯水為堤，大水為堰。另外，隨著經濟的發展，在河道中修建了大量的橋梁、碼頭工程和航道整治工程（如丁壩、順壩、潛壩、護灘帶等）。往往許多結構物的尺寸小于網格尺度，不能作為網格單元進行簡單概化。

以攔河壩為例，在已往的模型研究中，不得不以攔河壩為界分成壩上和壩下兩個模型進行研究。為在同一個模型中模擬結構物的影響，首先需根據結構物上下游的水位條件進行結構物的水力學計算，然后將下泄流量提供給結構物下游河段進行水動力學計算。

下面以寬頂堰為例，介紹結構物與河道水流的嵌套計算。寬頂堰布置在河道中影響到的單元界面如圖4.10（a）所示，不同水位下堰頂的寬度如圖4.10（b）所示。

對于受影響的單元，需補充堰流方程，采用線性化公式表示為

式中：φ為流速系數；B為堰寬；H₁、H₂分別為上下游水位與堰頂之差；z_u、z_d分別為上下游水位。