第4章 二維水沙水質模型及離散求解

4.1 模型基本方程

4.1.1 平面二維淺水方程的導出

天然河道水流及其輸移物質的運動一般都屬于三維流動，數學模型最終應以三維形式模擬水動力過程，才能全面地反映其特征。但由于三維水流運動比較復雜，對許多工程問題的研究，則常常可以將淺水流動進行適當的簡化，將運動要素沿水深方向平均，把三維問題轉化為平面二維問題。

1.淺水流動的力學意義

符合以下條件的均勻流體的流動稱為淺水流動：

（1）有自由表面。

（2）以重力為主要驅動力，以水流與固體邊界之間及水流內部的摩阻力為主要耗散力，有時還存在水面氣壓場、風壓力及地球自轉柯氏力等的作用。

（3）水平流速沿垂線近似均勻分布，不必考慮實際存在的對數或指數等形式的垂線流速分布。

（4）水平運動尺度遠大于垂直運動尺度，垂向流速及垂向加速度可忽略，從而水壓力接近靜壓分布。

2.實際問題中的淺水流動

能作為淺水流動處理的有自由表面的實際水流，通常出現在下列情況：

（1）水深相對較淺。深淺不是根據水深的絕對值，而是根據水深h與波長L之比來區分。通常當h/L<0.4時稱為淺水長波，可作為淺水處理。即使是水深很大的陸架邊緣，因風場、氣壓場和潮汐波的波長甚大，仍常可作為淺水處理。風浪、涌浪及地轉力產生的Ekman流場占相當比重的情況（波長小于水深，或水深大于Ekman深度），水平流速沿水深有顯著差異，則不能作為淺水處理。

（2）水底坡度較緩。設底坡傾角為α，判斷緩坡的條件是：α≈sinα≈tanα。此時，可以忽略底坡引起的垂直速度和垂直環流，也不必考慮垂直加速度及由此產生的動水壓力。在計算中對沿底坡的流速和水平流速可以不加區分。當底坡較陡時（如陡槽、潛壩溢流）及水底突然升降引起的上升流和下切流等，垂直速度引起的動水壓力將改變流動的性質，水壓分布不同于靜壓分布。

（3）水面漸變且坡度較緩。即使滿足上述兩個條件，在特定情況下，由于受到天然或人工控制，有時水面比降仍很大，如小河突發性洪水，閘門突然啟閉泄流，水躍、涌潮，及潰壩、決堤與滑坡引起的洪水等。水深沿程變化很大的急變流，水壓力不能用靜壓分布來近似。當過渡段相對很短時（如水躍、涌潮），在數學上常概化為間斷，過渡段以外的區域仍可作為淺水流動來處理。

（4）無明顯垂直環流。對湖泊、水庫等相對封閉水域的淺水流動，因這種風作用驅動下的淺水流動的流速垂直結構不符合對數或指數等分布形式，同樣在河灣水流運動中也會出現橫向環流，這些流動在嚴格意義上也不能作為淺水處理。可見，風生流、河流彎曲及灘槽交換等因素在垂直平面內產生次生環流，會給淺水方程模擬帶來一定誤差。

綜上所述，淺水流動指在重力作用下密度均勻、具有自由表面、流動近似水平的長波傳播現象。它是一種特殊形式的三維流動。

在笛卡爾坐標系下，在基本假定與近似條件下，對雷諾時均方程沿水深積分并取平均，略去運動要素參數沿垂直方向的變化小量，即得二維淺水方程。

平面二維淺水方程按照水深h放在動量方程偏導數里面和外面，可分為守恒形式和一般形式，以下對不同形式的模型方程進行介紹。

4.1.2 一般形式方程

（1）水流連續和運動方程：

式中：u和v分別為垂線平均流速在x和y方向上的分量；z和h為水位和水深；g為重力加速度；υ_t為水流紊動黏性系數；n為糙率；f為地球自轉柯氏力系數；q為單位面積上水流的源匯強度；u₀和v₀分別為源匯流速沿x和y方向的分量。

（2）泥沙方程：

懸移質泥沙擴散方程：

推移質輸沙率用長江科學院提出的推移質輸沙經驗曲線求得。輸沙曲線的關系式為

由懸移質引起的河床變形方程為

由推移質引起的河床變形方程為

以上式中：S和S_*分別為垂線平均含沙量和挾沙力；z_b為河底高程；ε_s為泥沙紊動擴散系數；ω為泥沙沉速；γ′為床沙干容重；α為懸移質泥沙恢復飽和系數；U_d為近床面流速；q_s為單寬推移質輸沙率；q_sx和q_sy分別為沿x和y方向的單寬推移質輸沙率。

起動流速公式采用張瑞謹公式：

式中：γ_s和γ分別為泥沙和水的密度；d為泥沙顆粒直徑；U_c為泥沙起動流速。

（3）熱量方程：

式中：ΔT為垂線平均溫升；D為熱擴散系數；k為水面綜合散熱系數；ρ為水密度；C_ρ為水比熱；T₀為熱源處溫升。

（4）物質輸運方程。物質輸運（包括泥沙輸運、溫度擴散）的本質是濃度場問題，其基本方程如下：

式中：C為污染物濃度；E為擴散系數；K為污染物分解率。

4.1.3 守恒形式方程

（1）水流連續和運動方程：

（2）懸移質泥沙方程：

（3）熱量方程：

（4）物質輸運方程：