2.3　定性立體模型的構造化

2.3.1　問題提出

定性立體表達方法不僅應能夠表達單個簡單的機械零件形體，而且也應能夠表達具有復雜形狀的機械零件或者由多個機械零件組成的裝配體，即復雜形體。直接用領域網絡來表現復雜形體，將會不可避免地遇到若干問題。

（1）領域網絡規模大大增加。由于通常由n個領域組成的領域網絡擁有n×（n-1）/2根連接枝，因此連接枝的數目以領域數目的平方的程度增加。1000個領域的領域網絡有499500根連接枝。

（2）單純的領域網絡無助于機械產品特征的有效表達。如果單純考慮機械產品的形狀，無疑應將其形體分割成若干個領域，把形體表述為領域網絡是可以接受的。大多數機械零件的部分形體具有特殊的意義，即構成零件的形狀特征，比如槽、通孔、盲孔、階梯等。單純的領域網絡難以突出特征。對于機械裝配體而言，如果用單純的領域網絡表現，則無法明確地區分哪幾個領域構成某一個零件，更無法表現機械產品的模塊關系和層次關系。這些關系是產品形狀模型必須包含的，是用于完成產品功能分析或可制造性分析的重要信息。

（3）定性立體模型構建和修改的效率低。增添新的領域或者對定性立體模型進行修改時，按照定性立體模型直接構建方法，必須先求得新領域和其他既有領域的關系，然后將其加入領域網絡。

為了提高定性立體模型構建效率和表現能力，提出了定性立體模型構造化方法。

2.3.2　定性立體模型構造化原理

定性立體模型構造化的中心思想：第一，將已有的定性立體模型（領域網絡）進行處理或簡化，以保證定性立體表達方法能夠適用于較復雜形體；第二，通過對領域網絡中的領域和相關的領域關系進行重新組織，使所得結果能夠明確表達機械產品具有特殊意義的特征。

本章提出的定性立體模型構造化方法是在綜合考慮領域網絡的信息量和計算量的基礎上，減小領域網絡的規模。

2.3.2.1　領域網絡相關概念

引入若干領域網絡的概念。

定義2.5　由代表構成三維形體的所有領域的節點以及所有代表領域之間關系的連接枝組成的領域網絡被稱為完全領域網絡。

定義2.6　刪除完全領域網絡中的部分連接枝所得的領域網絡被稱為簡化領域網絡。

定義2.7　恢復簡化領域網絡中被刪除的連接枝所得的領域網絡被稱為恢復領域網絡。

定義2.8　由代表構成三維形體的一部分領域的節點以及代表這些領域間的所有領域關系的連接枝所組成的領域網絡被稱為局域領域網絡。

定義2.9　將某個完全領域網絡劃分成若干局域領域網絡，并將分屬各局域領域網絡的一部分領域指定為相應局域領域網絡的參照領域。由所有參照領域以及代表分屬不同局域領域網絡的參照領域之間的領域關系所構成的領域網絡被稱為參照領域網絡。

定性立體模型構造化相關的幾種領域網絡如圖2-8所示。圖2-8（a）表示一個由8個領域構成的完全領域網絡。該完全領域網絡擁有28根連接枝。將8個領域分成兩組，每組4個領域，得到圖2-8（b）所示的兩個局域領域網絡。局域領域網絡雖然相對于原來的完全領域網絡是局部的，但其本身又是完全的，因為它們包括所有組成該局域領域網絡的領域間的關系。圖2-8（b）中填黑的節點代表被選定的參照領域（下同）。圖2-8（c）表示由參照領域構成的參照領域網絡。參照領域網絡可以看成連接局域領域網絡的橋梁，它們不包括任何同屬一個局域領域網絡的領域之間的關系。圖2-8（d）表示根據局域領域和參照領域網絡構建的簡化領域網絡。簡化領域網絡可以看成從完全領域網絡中刪除不屬于圖2-8（b）和圖2-8（c）的連接枝之后得到的結果，也可以看成局域網絡和參照領域網絡合成的結果。重新恢復簡化領域網絡中被刪除的連接枝而得到的領域網絡即為如圖2-8（e）所示的恢復領域網絡。

2.3.2.2　定性立體模型構造化流程

定性立體模型構造化流程如圖2-9所示。首先，以已知的完全領域網絡作為輸入，將其中的領域分成若干組，并從完全領域網絡中取出各組所有的領域關系，從而構成若干個局域領域網絡。然后，為了能夠求取分屬不同局域領域網絡的領域之間的關系，應先確定每個局域領域網絡中的一個或一個以上的領域作為參照領域，接著從完全領域網絡中取出連接分屬不同局域領域網絡的參照領域的連接枝，從而構建參照領域網絡。最后，合成局域領域網絡和參照領域網絡，便得到重構的簡化領域網絡。

步驟1　構建局域領域網絡。構建局域領域網絡主要由用戶選擇各局域領域網絡的構成領域而完成。首先，用戶指明需要構建的局域領域網絡的數目，然后指定各局域領域網絡的組成領域。用戶需要考慮以下事項：同一領域不能同屬于兩個或兩個以上的局域領域網絡；一個領域必須屬于某個局域領域網絡；如果完全領域網絡所表現的形體是單一機械零件，則盡可能將表現零件上的孔、槽或者零件上的階梯等形狀特征的領域組成一個局域領域網絡；如果完全領域網絡所表現的形體是裝配體或完整產品，則將構成該裝配體的零件或部件的領域歸屬于同一個局域領域網絡。

步驟2　構建簡化領域網絡。定性立體模型構造化的本質是領域網絡的簡化，其核心是刪除領域網絡的連接枝，關鍵是參照領域的選擇。刪除連接枝意味著領域網絡可能的信息丟失。如何使得領域網絡簡化與領域網絡信息保護統一成為一個重要的問題。可以將參照領域的選擇看作一個優化問題，見式（2-6）。也就是說，參照領域選擇問題是以如何使領域網絡的規模最小化為目標函數的問題，而該問題的優化變量為各局域領域網絡的參照領域集合（rdsi），約束條件是參照領域的數目（約束條件C1）、領域網絡的信息量（約束條件C2）和計算量（約束條件C3）。這里涉及定性立體模型構造化效果評價問題。首先，領域網絡的規模將是衡量定性立體模型構造化效果的一個重要指標。其次，盲目刪除領域網絡中的連接枝顯然是不合適的，因為還需要考慮必要時可能又需要恢復被刪除的連接枝。被刪除的連接枝越多，反過來用于恢復領域網絡的計算量也會越大。因此，恢復領域網絡所需的計算量是作為衡量定性立體模型構造化效果的重要指標。最后，由于定性立體模型構造化常常伴隨領域網絡所含信息的丟失，恢復領域網絡的信息量是衡量定性立體模型構造化效果的第三個重要指標。

優化參數：rdsi，第i個局域領域網絡中的參照領域集合。

約束條件C1：rdsi?第i個局域領域網絡的領域集合。

約束條件C2：I≤α（最小信息量≤α≤1）。

約束條件C3：C≤β（0≤β≤最大計算量）。

領域網絡的規模、信息量和計算量的計算方法如下。

1）領域網絡的規模

領域網絡連接枝的數目即領域網絡的規模。完全領域網絡的規模是其構成領域兩兩組合的組合數。因此，這里重點考慮如何計算簡化領域網絡的規模。假設簡化領域網絡中的局域領域網絡的總數為L、第i個局域領域網絡中的領域總數為Di、第i個局域領域網絡中的參照領域數為Ri、參照領域的總數為R，則簡化領域網絡規模的計算式見式（2-7）。其中，C2·為組合數的計算式。式（2-7）等式右邊的第一項為所有局域領域網絡連接枝的總數，第二項為所有連接任意兩個參照領域連接枝的總數。由于第一項與第二項同時包含連接屬于相同局域領域網絡參照領域的連接枝，所以必須減去第三項，即連接屬于相同局域領域網絡參照領域連接枝的總數。后兩項的差為參照領域網絡中所包括連接枝的總數。

其中，Di≥Ri≥1。

2）領域網絡的信息量

領域網絡的信息量實際上代表領域網絡的確定程度。信息量越小，領域網絡越確定。首先考慮連接枝的信息量。當連接枝所表示領域關系的三個方向（X、Y、Z軸）關系分量唯一確定，即各分量均有確定的唯一值時，該連接枝具有最大的信息量。當三個方向分量都取13個可能的值時，該連接枝具有最小的信息量。任意連接枝的信息量見式（2-8）。

其中，Nx、Ny、Nz分別代表X、Y、Z方向的領域關系分量可能值的數目。假設有這樣一條連接枝SR（A B）=（（RmRb）（Ro）（RsRsiRoRd）），其信息量為1/（2×1×4）=1/8，連接枝的最大信息量為1，則該連接枝是完全確定的，連接枝的最小信息量為1/（13×13×13）=1/2197。

接著考慮領域網絡的信息量。這里主要考慮恢復領域網絡的信息量，因為恢復領域網絡是推導出來的，常常存在不確定性。領域網絡的信息量按照式（2-9）計算，是所有連接枝信息量的乘積。由N個領域構成的領域網絡的信息量最小為2/（N×（N-1）×133）。領域網絡的信息量用來定量評價由于定性立體模型構造化而產生的信息損失程度。由簡化領域網絡推導出來的恢復領域網絡的信息量可以用來表示簡化領域網絡與完全領域網絡之間的差異。

其中，N為領域總數；Ii為某個連接枝的信息量。

3）恢復簡化領域網絡所需計算量

因此從簡化領域網絡構造恢復領域網絡需要多次運用領域關系傳遞律，所以領域關系傳遞律的使用總次數可以用來代表恢復簡化領域網絡所需的計算量。首先，考慮恢復只有兩個局域領域網絡簡化領域網絡的情況。假定這兩個局域領域網絡為局域領域網絡i和局域領域網絡j，記為LDNi和LDNj（LDN為英文Local Domain Network的縮寫）。而且，假定兩個局域領域網絡分別擁有Di、Dj個領域，Ri、Rj個參照領域，Ni、Nj個非參照領域。需要的計算量可用如圖2-10所示的方法算出。

（1）圖2-10（a）（b）表示借助于局域領域網絡LDNi的參照領域，恢復局域領域網絡LDNi的非參照領域與局域領域網絡LDNj的參照領域的連接枝的步驟。圖中，虛線箭頭表示已有的并且用于恢復原來的連接枝的連接枝，粗實線箭頭代表被恢復的連接枝，細實線代表其他已有連接枝。如果局域領域網絡LDNi有N個參照領域，那么為了恢復連接局域領域網絡LDNi的某一個非參照領域與局域領域網絡LDNj的某一個參照領域的連接枝，可考慮相同的N條可能的關系傳播路徑。由于沿著某一條傳播路徑，利用領域關系傳遞律導出的領域關系一般不是唯一的，所以需要對所有（N條）可能的傳播路徑應用領域關系傳遞律，提取對應軸（X軸、Y軸、Z軸）方向的領域關系分量的共同項，得到最終的領域關系。因此，需要計算應用領域關系傳遞律的次數。式（2-10）等式右邊第一項表示恢復連接局域領域網絡LDNi的所有非參照領域與局域領域網絡LDNj的所有參照領域的連接枝所需的計算量。

（2）圖2-10（c）表示借助局域領域網絡LDNj的參照領域，恢復連接局域領域網絡LDNi的非參照領域與局域領域網絡LDNj的非參照領域的連接枝的步驟。式（2-10）等式右邊的第二項表示所需的計算量。

（3）圖2-10（d）（e）（f）表示借助局域領域網絡LDNj的參照領域，恢復連接局域領域網絡LDNi的參照領域與局域領域網絡LDNj的非參照領域的連接枝的步驟。式（2-10）等式右邊的第三項表示所需的計算量。

式（2-10）給出從局域領域網絡LDNi到局域領域網絡LDNj恢復所有被刪除的連接枝所需的計算量。反過來，從局域領域網絡LDNj到局域領域網絡LDNi恢復所有被刪除的連接枝所需的計算量見式（2-11）。比較兩式可知，兩種步驟所需的計算量并不一定相同，取決于局域領域網絡參照領域的數目。

基于上述討論，可以得到恢復由L個局域領域網絡組成的簡化領域網絡所需的總計算量，見式（2-12）。由L個局域領域網絡可以組合成L×（L-1）/2個局域領域網絡對，而將每對局域領域網絡（A和B）恢復為部分簡化領域網絡時，由于A到B和B到A的傳播路徑不同，所以簡化領域網絡恢復需要的計算量也不同，可能會有2L×（L-1）/2種結果。其中，包含一個最大值和一個最小值。

表2-3描述實現參照領域選擇的算法（領域弱和演算）。用戶預先作為要求設定最小允許信息量α和最大允許計算量β。從每個局域領域網絡取不少于1個領域（最多可以是該網絡的所有領域）作為參照領域，構建所有可能的簡化領域網絡。然后，利用式（2-7）、式（2-9）、式（2-12）計算簡化領域網絡的規模、信息量和計算量。如果算出的最小信息量大于最小允許信息量，而且最大計算量小于最大允許計算量，那么所對應的簡化領域網絡滿足用戶要求。當滿足要求的簡化領域網絡不止一個時，可選取最小規模的簡化領域網絡或者由用戶選擇簡化領域網絡。如果沒有一個簡化領域網絡滿足要求，那么用戶可以修正要求，重新進行參照領域的選擇。

2.3.3　定性立體模型的多層次構造化

對完全領域網絡構造化，可以得到由若干個局域領域網絡組成的簡化領域網絡。而對于更復雜的形體而言，這些局域領域網絡的規模有時仍然較大。如果再將每個局域領域網絡看成新的完全領域網絡，則對它們繼續進行構造化處理，便可以得到多層次的定性立體模型，從而進一步簡化定性立體模型。

假設最初的完全領域網絡為第0級領域網絡，隨著構造化的深入，領域網絡的級別也相應增加。圖2-11為多層次構造的定性立體模型，表示一個三層次的定性立體模型。最初的完全領域網絡經過構造化處理簡化成由兩個局域領域網絡組成的簡化領域網絡，接著第1級的各個局域領域網絡通過構造化處理又分別簡化成各由兩個第2級局域領域網絡組成的簡化領域網絡。最初的完全領域網絡被最終簡化成由四個局域領域網絡和各級參照領域網絡組成的多層次簡化領域網絡。

為了描述多層次的定性立體模型，需要保存以下信息。局域領域網絡表是定性立體模型構造化的最初（LDN0）、中間（LDN11和LDN12）以及最后（LDN21、LDN22、LDN23、LDN24）的所有局域領域網絡的集合。該表的要素包括級別號、參照領域表以及非參照領域表。最初的局域領域網絡代表最初的完全領域網絡，其級別號為0，參照領域表為空集，而非參照領域表包括所有領域。剩余連接枝表包括兩個表，其中一個表為屬于各級參照領域網絡的連接枝表，另一個表為最后的局域領域網絡的所有連接枝表。

2.3.4　構造化定性立體模型的復原

定性立體模型的構造化主要考慮如何在表達復雜形體時更節省空間。根據設計過程的進展，恢復構造化的定性立體模型也是必要的。對模型中連接枝（包括已被刪除的連接枝）的查詢也是必不可少的，查詢中主要考慮以下三種情況。

（1）兩個領域同屬一個最后的局域領域網絡。例如，圖2-11中領域D1和D2之間的連接枝可以從最后的局域領域網絡的連接枝表中檢索獲得。

（2）兩個領域分別為同一局域領域網絡的下一級不同局域領域網絡的參照領域。例如，圖2-11中領域D3和D4、D5和D6的連接枝可以直接從參照領域網絡的連接枝表中檢索獲得。

（3）兩個領域屬于不同的最后的局域領域網絡。例如，圖2-11中領域D1和D7的連接枝。首先，從定性立體模型的局域領域網絡表中檢索出同時擁有兩個領域的最低級的局域領域網絡（本例為LDN0）。然后，同樣從局域領域網絡表中檢索出將LDN0構造化而得到的兩個局域領域網絡（LDN11和LDN12）。接著，從最后的局域領域網絡（LDN21和LDN22、LDN23和LDN24）中恢復LDN11和LDN12。最后，算出LDN11和LDN12的關系。

2.3.5　示例

本節介紹一個相對簡單但足以說明定性立體模型多層次構造化思想的裝配體示例。裝配件是由插座（圖2-12（a1））和插頭（圖2-12（a2））組成的部件（見圖2-12（d1））。圖2-12（b1）和圖2-12（b2）分別為插座和插頭的領域復合體。圖2-12（c1）和圖2-12（c2）分別為插座和插頭的定性立體模型的內容。圖2-12（d2）則給出了組成插座和組成插頭的領域之間的關系，描述了插座與插頭的裝配關系。裝配件定性立體模型的內容包括如圖2-12（c1）、圖2-12（c2）和圖2-12（d2）所示的所有內容。裝配件的完全領域網絡共擁有8個領域和28根連接枝。

以裝配體的完全領域網絡作為第0級局域領域網絡，以表示插座和插頭的領域網絡作為第1級局域領域網絡，共有217個可能的簡化領域網絡，最大計算量為24，最小信息量為1/184548。定性立體模型的構造化如圖2-13所示。

假設最小允許信息量為1/50000，最大允許計算量為23，得到滿足要求的簡化領域網絡共有56個。圖2-13（a）給出了其中的兩個。第一個簡化領域網絡的連接枝保留17根，比最初的完全領域網絡少11根。該簡化領域網絡的最小信息量為1/225，最大信息量為1/135。第8個簡化領域網絡保留了21根連接枝，最小信息量為1/25，信息的損失極少，所需的計算量也少于第一個簡化領域網絡。圖2-13（b）給出選擇上述第一個簡化領域網絡作為構造化的結果，保存在局域領域網絡表以及剩余連接枝表中的內容。

對表示插座和插頭的第1級局域領域網絡再進行一次構造化，得到的三層次定性立體模型見圖2-13（c）。此時，定性立體模型中連接枝的數目已經減少到14根，即其規模只是最初完全領域網絡規模的一半。圖2-13（d）是最終的多層次定性立體模型。在第0級、第1級中裝配零件的層次關系得以體現。圖2-13（e）給出定性立體模型領域關系查詢的若干結果。