1.3　相關領域研究進展

網電空間是信息技術的衍生物，相依網絡是隨著信息技術的發展在近幾年才提出的新概念。本書的研究是一個多學科交叉的新課題，涉及系統科學、復雜網絡建模、軍事學、滲流理論等多個方面的知識。近年來，相關領域的研究人員分別從不同角度對健壯性相關問題進行了卓有成效的研究，開始研究之前有必要對已有成果進行總結分析，借鑒其在網電空間相依性分析、相依網絡建模、失效分析、網電空間健壯性等方面的成果，以更有針對性地開展研究。

1.3.1　基本概念

在介紹相依網絡和網電空間研究現狀之前，本節首先對研究涉及的幾個概念——相依性、滲流理論與相變過程、網絡健壯性加以明確。

1. 無處不在的相依性

在現代社會中，各種網絡化基礎設施影響著社會生活的每個領域，如能源生產和分配網絡、電力網絡、通信網絡、運輸網絡、供水網絡、銀行和金融網絡等。隨著科學技術的飛速發展，這些網絡化系統之間的相依關系也變得無處不在。如圖1.1所示為不同基礎設施網絡間相依關系示意圖。

圖1.1描述了現代社會生活中常見的供水系統、電力系統、能源系統、運輸系統及通信系統之間存在的多種多樣的相依關系。其中，電力網絡負責給供水網絡、通信網絡等供電，以維持其運行[10]；供水網絡為通信網絡、電力網絡、能源網絡等提供必要的冷卻水；通信網絡又為供水網絡、電力網絡、運輸網絡等的控制系統提供必要的通信資源，以保證其自動化運行。諸如此類的不同類型網絡間的相依關聯稱為網絡的相依性，正是由于相依性的存在，不同類型的網絡才得以作為一個更高層面的整體協同工作。

以2010年Buldyrev在Nature上發表的有關相依網絡的文章為標志，網絡相依性有關研究逐漸成為復雜網絡領域的一個研究熱點。從定義上講，相依網絡是由兩個或兩個以上組分間存在相互依賴關系的子網絡構成的同構或異構的整體系統。圖1.2給出了一個包含兩個子網絡的相依網絡模型：子網絡內部節點之間存在連接邊（Connectivity Link），表示同一個子網絡內的邏輯或物理聯系；不同子網絡間的某些節點由依賴邊（Dependency Link）連接，表示不同子網絡的相互依賴關系[11]。

值得注意的是，不同網絡間的相依關聯是一把雙刃劍。對于一個相依的整體來說，相依性維持著整個系統的正常運行，在提升系統運行效率的同時，也增加了系統在面臨少數節點故障時的大規模失效風險，極大地增加了整個相依關聯系統的脆弱性。以電力網絡故障為例，電力網絡作為現在生產生活中的基礎性設施，一旦發生失效，通信網絡將面臨中斷，運輸網絡也可能陷入癱瘓，城市的供水網絡也會因失去動力而停止運轉，能源生產和分配網絡也可能因為失去控制系統用電而受到影響。因此，理解和分析相依性的概念和影響，在通過相依關聯提升各系統效率的同時，避免小規模失效可能造成的大面積故障，具有極其重要的現實意義。

2. 滲流理論與相變過程

在研究復雜網絡和復雜系統的級聯失效過程和健壯性時，滲流理論與相變過程分析是常見的理論分析方法。

滲流理論（Percolation Theory）是由Broadbent和Hammersley[13]在1957年首先提出的，用來描述流體等在隨機介質中的運動、油或水在有孔介質中的逾滲、火災的擴散、疾病的傳播、介質和導體混合物的傳導特性等現象的理論方法。在復雜網絡研究領域，該理論最早被用來分析無限大二維正方形網格的連通性問題，包含點滲流和邊滲流兩種，如圖1.3所示。以概率p隨機選擇網格上的點（或邊），當兩個被選擇的點（邊）相鄰時，定義其為連通狀態，所有連通節點（邊）的集合稱為連通子圖[7]。滲流理論的核心內容是整個網絡中存在出現極大連通子圖P∞的臨界概率，即網絡具有臨界概率pc，當p≤pc時，網絡由許多孤立的節點集群組成；當p>pc時，極大連通子圖幾乎擴展到整個網絡[14]。目前，滲流理論是研究復雜網絡的容錯性、健壯性等性質，以及網絡中的傳播、擴散等動力學行為的重要理論工具。

本書采用點滲流的思想研究相關網絡的健壯性，以上滲流過程從另一個角度可以描述為：把網絡中節點被移除或受攻擊的概率看作滲流過程中的選擇概率p，網絡中失效結束后極大連通子圖P∞相對原始網絡的規模定義為S，此時滲流過程中的臨界概率pc可理解為使網絡完全崩潰的初始攻擊概率（可定義為滲流相變閾值或網絡的崩潰閾值），通過分析節點被移除或攻擊的概率與極大連通子圖規模的關系及崩潰閾值pc的大小即可分析網絡在不同條件下的健壯性。

相變是指物質在外部因素（如溫度、磁場、壓力等）作用下從一種相（態）轉變成另一種相（態），如冰的融化、水的蒸發等，相變是材料學、熱力學、氣象學等中的常見概念。相變過程分為一階相變、二階相變和混合相變。一階相變通常表現得比二階相變劇烈，如液體的相變過程；二階相變通常只有溫度等單一因素的變化，而一階相變除溫度等單一因素的變化之外，通常還伴隨體積的變化。在時序曲線上，二階相變一般表現為連續曲線，而一階相變則表現為不連續曲線，即在一個臨界值處會發生跳躍突變的現象[14]。

相變現象也可以推廣到復雜網絡的滲流過程中。復雜網絡中的滲流相變現象是指在節點被攻擊過程中，整個網絡連通性的變化情況。當沒有節點失效時，網絡處于連通態；當初始失效節點比例大于某個閾值時，整個網絡結構就會破碎成許多規模很小的簇，甚至表現出完全崩潰的狀態，該閾值對應的就是網絡崩潰態。相依網絡與單個網絡的不同健壯性表現可以通過相變時序曲線得到直觀的體現，如圖1.4所示。

3. 網絡健壯性

健壯性（Robustness）是網絡科學研究中的一個常見問題。網絡健壯性強調的是當網絡的部分結構（節點或邊）面臨攻擊或自然失效時，整個網絡依然能保持其原有拓撲結構或維持原有系統功能的能力。類似的概念還有網絡韌性（Resilience，又譯為網絡彈性）[15-17]、容錯性[18]、可靠性[19-21]、抗毀性[23-25]等，健壯性與這些概念的內涵基本一致，但側重點有所不同。網絡韌性指的是網絡在外來干擾下恢復原有功能的能力，強調的是系統的恢復能力[26, 27]；可靠性側重系統在特定條件下正常運行的可能性。抗毀性的概念與健壯性最接近，在相關研究中通常把這兩個概念看作等價的。

在網絡健壯性的相關研究中，常見指標包括以下幾種。

1）極大連通子圖規模S

該指標是網絡健壯性研究中最常用的指標，關注網絡在失效前后的拓撲變化情況，定義為失效前和失效后網絡中極大連通子圖規模的比值。失效后該指標越大，說明網絡抵御失效的能力越強，健壯性越好。

2）滲流相變閾值pc

上節已經對該指標進行了介紹，它表示在滲流過程中使網絡完全崩潰的最小節點初始攻擊比例，也稱崩潰閾值。該閾值越大說明使得網絡崩潰需要攻擊的節點越多，網絡的健壯性也越好。

3）網絡效率（Network Efficiency）[10]

該指標從網絡連通性的角度反映了網絡的全局效率，定義為網絡中所有節點間最短路徑倒數之和，即。其中，N表示網絡中的節點數量；dij表示節點i和節點j間的最短路徑長度，如果節點i和節點j之間沒有路徑連通，則dij=∞，相應地1/dij=0。該指標越小，說明網絡間的最短路徑長度越短，網絡的效率也越高。

4）失效曲線積分[28, 29]

該指標描述的是整個網絡在所有失效比例下（失效比例p從0到1）的失效特征，定義為。該值越大，說明系統的健壯性越好。

需要指出的是，由于網絡化系統功能的主要影響因素是內部組分間的拓撲結構[30]，因此本書的相依網絡健壯性研究主要關注拓撲健壯性，因此在接下來的研究中考慮采用極大連通子圖規模和滲流相變閾值兩個指標。具體就是對于網電空間存在的相依系統，從網絡拓撲的角度入手，分析通過相依關聯導致的級聯失效對整個系統拓撲造成的影響大小。

網絡健壯性研究有助于更深刻地理解網絡化系統的拓撲結構與系統功能間的關系，也有助于為相依系統提供有效的防護理論。目前，有關網絡健壯性的研究主要包括基于滲流等失效理論分析網絡組分失效后網絡拓撲的完整性、基于動力學的失效傳播、網絡拓撲結構的優化等。

1.3.2　相依網絡研究現狀

自相依網絡的概念被提出后，其健壯性研究引起了很多學者的關注。經過多年的研究這個領域取得了許多有意義的進展，本節就對這些成果進行系統的梳理。

目前進行相依網絡相關研究的主要國家有美國、中國、以色列、意大利、英國、加拿大等。從研究機構方面來看，國外的主要機構包括以色列巴伊蘭大學物理系、波士頓大學物理系、紐約葉史瓦大學物理系、麻省理工學院等；國內主要研究機構有江蘇大學非線性科學研究中心、上海交通大學自動化系、北京師范大學系統科學學院復雜性研究中心、西南交通大學、重慶師范大學等。有關相依網絡的研究和應用主要集中在科學技術和社會科學等領域，涵蓋了物理、計算機科學、數學、運籌學、管理學、生物化學、分子生物學、通信、神經科學等諸多研究方向；發表的文章集中在Nature、Nature Physics、Physical Review Letter、Physical Review E、Physical A、European Physical Letter、European Physical Journal B等高水平期刊上。目前國內該領域研究的主要方向在物理、計算機科學、通信、運籌學和經濟學等方面，也取得了許多成果[31]。

Buldyrev等人首先提出了如圖1.5所示相依網絡的級聯失效過程。在此類模型中存在兩種類型的連邊：一種是子網絡內部的連接邊；另一種為兩個子網絡節點之間存在的一一對應的雙向依賴邊，表示為Ai?Bj。存在相互依賴關系的節點對中一個節點失效，另一個節點也會因相依關聯而失效。假定只有處于極大連通子圖（Giant Connected Component）中的節點才能維持正常功能，初始時子網絡A中的一個節點被攻擊而失效，則子網絡A中所有與之相連的邊及子網絡B中的相依節點均失效，此時子網絡A被分成3個子圖a11、a12和a13。根據假設，只有極大連通子圖a13的節點才有效。由于相依關系的存在，子網絡B中相應節點失效后使其分解為4個子圖b21、b22、b23和b24，非極大連通子圖b22、b23和b24的節點也失效；反過來子網絡B中失效節點又導致子網絡A中的相依節點失效，如此反復迭代，直至穩定狀態時級聯失效過程停止，此時處于極大連通子圖內的節點就是整個相依網絡在級聯失效停止后的剩余有效節點[32]。

本書利用滲流理論研究發現，相依網絡滲流過程存在從二階連續轉變為一階跳變的現象，也就是說隨著失效節點的比例上升到某一閾值（滲流閾值），相依網絡的連通性急劇下降[7]；同時較寬的度分布會增加相依網絡的脆弱性[33]。

到目前為止，研究人員已經對相依網絡的健壯性和級聯毀傷進行了大量研究。在早期階段，研究人員主要以由兩個相依網絡組成的系統為例進行分析，建立了相關的理論體系和分析方法；之后在理論方法體系逐漸健全的情況下，研究人員的目光逐漸投向了更為復雜的情況——對由三個或者更多子網絡組成的相依網絡健壯性進行分析。下面我們從這兩個角度對相關研究進展進行總結。

1. 雙層相依網絡

影響相依網絡健壯性的因素分為內因和外因。內因主要是指相依網絡的結構，如子網絡間耦合邊類型、子網絡間的耦合強度、耦合方式、依賴邊方向、子網絡類型等；外因主要是指隨機攻擊和蓄意攻擊（根據某種指標表示的節點重要度選擇攻擊節點）等外部攻擊方式[34]。

1）耦合邊類型

相依網絡是耦合網絡中的一類。耦合網絡間存在的耦合邊類型分為連接邊和依賴邊兩類。連接邊的作用僅限于連接不同網絡的節點，使得多個耦合子網絡像一個網絡那樣協同工作；依賴邊表示某個節點的功能依賴于其他節點。據此可以把耦合網絡分為3類：①子網絡間只存在依賴邊；②子網絡間只存在連接邊；③子網絡間同時存在依賴邊和連接邊。其中，①和③屬于相依網絡的范疇。

（1）子網絡間只存在依賴邊的情況。Buldyrev等人研究了子網絡間只存在無向依賴邊且節點之間具有一一對應關系的情形；Wang等人[35]用解析方法分析了依賴邊在子網絡間的分布對相依網絡健壯性的影響；Shao等人[36]認為實際相依網絡中節點的依賴關系并不一定是一一對應的，也存在一對多或多對多依賴的情況，并基于此提出了具有多重相依關系的相依網絡模型，多重有向依賴邊的相依網絡級聯失效過程如圖1.6所示。通過研究這類相依網絡模型的滲流過程得出結論：兩個子網絡A、B之間依賴邊的平均度越大，該相依網絡模型的滲流過程就越趨于平滑；當平均度趨于無窮大時，其滲流過程表現與單層網絡中滲流過程相同。

（2）子網絡間只存在連接邊的情況。現實生活中由航空網、鐵路網、公路網構成的運輸網是這類網絡的代表，這些網絡之間的耦合邊就是連接邊，僅起連接網絡的作用，使各網絡既能單獨運行，也能作為一個更大的系統存在。不同網絡間的連接邊越多，表示交通網絡越完善，抵御大客流沖擊的能力就越強。Leicht等人[37]研究了不同子網絡之間只存在連接邊的關聯網絡的級聯失效過程。研究結果表明：增加子網絡中的連接邊可以有效降低滲流閾值，提高網絡的健壯性。這與只存在依賴邊的相依網絡中的結論剛好相反。

（3）子網絡間同時存在依賴邊和連接邊的情況。Hu和Zhou等人[38, 39]利用滲流理論研究了這種同時包含依賴邊和連接邊兩種類型的相依網絡性質，在級聯失效過程中觀察到了一階、二階混合的滲流相變現象。Bashan等人[40]研究了由兩個平均度都為〈k〉、節點規模都為s的ER隨機子網絡組成的、子網絡間同時包含依賴邊和連接邊的相依網絡的健壯性，分析得到初始階段比例為p的節點失效后，該相依網絡的剩余極大連通子圖所含節點比例為

2）耦合強度

相依網絡的耦合強度q指的是子網絡中有連接或者相依關系的節點所占的比例，q=0對應子網絡之間無耦合關系，q=1對應子網絡的全耦合狀態。Parshani等人[41]通過研究指出，當子網絡之間的耦合強度從0到1逐漸增加時，相依網絡的滲流相變過程會由連續的二階轉變為跳變的一階形式。Zhou等人[42]對由兩個度分布都為P（k）∝k?λ的無標度子網絡組成的相依系統進行了研究，以1?p表示初始時刻失效節點的比例，這類相依網絡中存在q1和q2兩個臨界值，把級聯失效結束后以p為參數的剩余極大連通子圖函數分為以下3個區域：

（1）當q≥q1、p=pc時，相依系統產生崩潰，即相依網絡的失效過程表現為一階相變。

（2）當q2<q<q1時，相依網絡級聯失效后的極大連通子圖規模的變化情況呈現一階和二階相變的混合狀態。

（3）當q≤q2時，相依網絡的失效過程表現為連續的二階相變。

除此之外，在孤立網絡中得到的當λ≤3時pc=0的結論對于部分相依的無標度網絡同樣成立。這意味著，對于度分布極不均勻的由無標度子網絡組成的相依網絡系統，即使一個節點的失效也可能導致整個相依網絡的完全崩潰。

3）耦合方式

子網絡之間的耦合方式是影響相依網絡健壯性的重要因素，是指按照某種重要度指標選擇特定耦合節點，現有研究大多基于各種節點重要度指標特別是節點重要度構建子網絡間的相依關聯[28, 43, 44]。文獻中常見的3種構建相依網絡耦合邊的方式包括隨機耦合（Random Coupling，RC）、同配耦合（Assortative Coupling，AC）和異配耦合（Disassortative Coupling，DC）。當然也存在利用其他節點重要度指標進行耦合的例子，目前常見的節點重要度指標有30多種[45]，可大致分為四大類，如表1.1所示。

4）依賴邊方向

相依網絡子網絡間的依賴邊方向也是影響相依網絡健壯性的一個重要因素。一般來說依賴邊有向的相依網絡健壯性比無向相依網絡的健壯性差[29]，原因是有向網絡中有更大的可能存在較長的相依鏈（Dependency Chain），相依鏈是指子網絡中具有反饋依賴關系的節點集合。例如，在由子網絡A、B組成的雙層相依網絡中，子網絡A中的節點u支持子網絡B中的節點v（節點v依賴于節點u），v反過來又支持子網絡A中的節點w（w≠u），如此往復形成的相依節點集合就是相依鏈。相依鏈中的節點故障會通過相依鏈在子網絡之間傳播，進一步擴散到與相依鏈相連的其他節點，造成故障的級聯效應，顯著降低相依系統的健壯性。有向系統中的相依鏈往往比無向系統中的更長，從而使得故障在網絡間的傳播更加有效，因此有向相依網絡的健壯性較差。此外，Marzieh等人[46]研究了有向相依網絡和無向相依網絡中引發系統完全崩潰的最小節點數目問題——如果依賴邊是雙向的，那么該問題的復雜度為多項式級別；但如果依賴邊是無向的，該問題就成了一個無法求解的難題。文獻[46]提出的一種啟發式方法得到了該問題的近似最優解，根據此結果就可以針對性地對網絡連接進行優化或對重要節點進行保護以提高系統的韌性。

5）子網絡類型

子網絡類型也是影響相依網絡性質的因素之一。組成相依網絡的常見子網絡類型有很多種，如ER（Erd?-Rényi）隨機網絡、RR隨機均勻（Random Regular）網絡、SF（Scale Free）無標度網絡、BA（Barabási-Albert）無標度網絡、WS（Watts-Strogatz）小世界網絡、NN最近鄰耦合網絡等。現有研究表明，在相同的相依度分布下，RR-RR型相依網絡的健壯性比ER-ER型相依網絡的健壯性好[40]，ER-ER型相依網絡的健壯性又比SF-SF型相依網絡的健壯性好[29]。這是由子網絡中節點度分布決定的，子網絡中節點度分布越均勻，相依網絡的健壯性越好[47]。例如，在面臨節點的隨機失效時，這幾種相依網絡的健壯性為RR-RR型相依網絡>ER-ER型相依網絡>SF-ER型相依網絡>SF-SF型相依網絡。

以上介紹的是影響相依網絡健壯性表現的內因。除此之外，相依網絡的健壯性表現還與外部的攻擊方式有關。外部的攻擊方式包括隨機攻擊和蓄意攻擊，蓄意攻擊又分為針對節點度較高的節點攻擊和針對節點度較低的節點攻擊兩種。攻擊方式對系統的影響是通過子網的度分布及子網絡相依時的度關聯（度相似的節點傾向于產生依賴關系）體現的。當面對隨機攻擊時，節點度分布不均勻的系統比節點度分布均勻的系統的健壯性表現好[48]。針對節點度較高的節點蓄意攻擊的情形，無標度網絡這類度分布不均勻的網絡，相依網絡會較為脆弱；但面對節點度較低的蓄意攻擊情形，無標度網絡這類度分布不均勻的網絡反而更加穩定。這是因為無標度網絡等度分布不均勻的網絡中存在少量度極高的節點極大地影響著網絡的健壯性，而大量度很低的節點對健壯性的影響卻不大[29, 49, 50]。對于有度?度關聯存在的相依網絡，蓄意攻擊比隨機攻擊造成的影響更大[51-53]。

除以上幾種影響相依網絡性質的因素外，還有人研究了具有洋蔥結構[54]、耦合格子網絡[55, 56]、富人俱樂部效應[57]、內部相似性[58]及存在功能沖突的節點對[59]等特點的相依網絡的健壯性。還有人研究了相依網絡的負載失效[60-63]、負載失效和相依失效的共同作用[64]、網絡不會產生一階崩潰所需的最小自治節點集[65]、引起網絡崩潰的最小節點集[66, 67]、聚類[68-71]、相依網絡動態增長[72, 73]和靜態情形下的滲流現象[21]、依賴邊比例對健壯性的影響[74]、相依網絡中的博弈[35, 75]等問題，取得了很多成果。特別地，Hernández等人[76]用拉普拉斯矩陣分析了分別由BA、RR、WS等不同類型的子網絡在特定耦合方式下構成的相依網絡滲流相變過程，Veremyev等人[67]用運籌學的方法求解了引起網絡完全失效的最小節點集，這些方法都從數學角度解析了相依網絡的諸多性質。近年來，也有人從局部攻擊[77, 78]及模糊信息攻擊[79]等角度對節點失效模式進行補充。

2. 多層相依網絡

為了更貼近實際系統的特點，有部分研究人員對相依網絡的規模和組合方式進行拓展，發展了多層相依網絡，又稱網絡的網絡（Network of Networks，NON）的健壯性理論分析框架，尤其以Gao[80]、Danziger等人[81]為代表的研究人員對近年來有關多層相依網絡的研究進行了總結。2014年，Springer出版社出版了論文集Networks of Networks：The Last Frontier of Complexity，論文集從理論體系、應用范圍、已有模型等方面系統總結了由不同類型子網絡組成的多層相依網絡健壯性的研究成果。

影響多層相依網絡健壯性表現的主要因素包括子網絡類型、子網絡組合方式和子網絡間的耦合強度等。目前研究較多的子網絡類型包括RR網絡和ER網絡，常見的組合方式包括鏈形、星形、樹形和環形[82]，如圖1.7所示。圖1.7中每個節點表示一個子網絡，邊表示子網絡之間的相依關聯，這種相依的邊可以是有向的，也可以是無向的。在相同條件下，RR子網絡組成的樹形多層相依網絡的健壯性比ER子網絡組成的樹形多層相依網絡的更好[83]。其他組合方式對多層相依網絡的影響也有人進行了探索，Buldyrev等人[84]研究了由n個ER子網絡組成、每個子網絡都依賴于其他m個子網絡的多層相依網絡（相當于由n個相依的ER子網絡組成的RR型多層相依網絡）的健壯性和滲流過程。

1）鏈形、星形多層相依網絡

對于由圖1.7（a）、圖1.7（b）所示的鏈形、星形組合方式構建的多層相依網絡，利用滲流理論分析其失效過程可知，在這兩種組合方式下，對于由n個平均度為〈k〉的子網絡構成的多層相依系統，當初始階段比例為p的節點隨機失效后，相依網絡的滲流閾值和極大連通子圖規模都相同，并且極大連通子圖規模可用式（1.2）表示，即

P∞=（1?p）[1?exp（?〈k〉 P∞）]n　（1.2）

對于由ER子網絡組成的星形多層相依網絡系統，存在一個耦合強度（子網絡間具有耦合關系的節點比例）的臨界值，即當耦合強度大于臨界值時多層相依網絡的滲流過程為一階相變，反之則為平滑的二階相變，并且級聯失效后的極大連通子圖規模取決于星形網絡的拓撲結構。

2）樹形多層相依網絡

根據子網絡的不同類型，Gao等人研究了兩種樹形多層相依網絡的滲流特性。對于以n個平均度為〈k〉的ER網絡為子網絡組成的多層相依網絡模型，比例為p的節點失效后剩余極大連通子圖規模見式（1.2）。

而對于由n個平均度都為〈k〉的RR子網絡組成的樹形NON，移除比例為p的節點后極大連通子圖規模為

對于樹形多層相依網絡，當子網絡個數n=1時（等價于單個網絡），在pc處的滲流相變為二階形式；而當n>1時，則為一階形式。此外，在相同條件下，由RR網絡組成的樹形多層相依網絡的健壯性比由ER子網絡組成的樹形多層相依網絡的更好，并且在ER型樹形相依網絡中子網絡的平均度〈k〉存在一個臨界閾值kmin（n）：當子網絡平均度〈k〉小于此臨界閾值時，即使只有一個節點失效也會導致整個NON完全崩潰。但在由RR子網絡構成的樹形多層相依網絡中不存在這樣的臨界閾值。

3）環形多層相依網絡

對于如圖1.7（d）所示的環形多層相依網絡，由n個平均度都為〈k〉的ER網絡組成，各子網絡的耦合強度（具有相依關系的節點比例）q都相同，且依賴邊的方向也一致。當對每個子網絡中都移除同樣比例為p的節點時，可以得到級聯失效結束后剩余極大連通子圖規模滿足式（1.4），即

P∞=（1?p）[1?exp（?〈k〉P∞）]（qP∞?q+1）　（1.4）

4）其他類型多層相依網絡

除以上幾種特殊方式外，也有學者對子網絡間的其他組合方式進行了一些探索。Buldyrev等人研究了由ER子網絡組成的RR型相依網絡（由n個ER子網絡組成，每個子網絡都依賴于其他m個子網絡）的滲流特性和健壯性。與環形組合方式分析過程類似，假定每個子網絡的初始失效節點比例都為p，子網絡間具有相依關系的節點比例q都相同，則這類相依網絡級聯失效后的極大連通子圖規模與構成相依網絡的子網絡個數無關，可表示為

對比以上幾種組合方式，可得到以下結論：如圖1.7所示的鏈形、星形和樹形多層相依網絡在級聯失效后極大連通子圖的存在概率與子網絡數量有關；并且在節點失效比例等初始條件相同的情況下，網絡的滲流閾值和級聯失效后存在極大連通子圖規模也相同；但環形及RR型多層相依網絡級聯失效后的極大連通子圖規模與子網絡數量無關。

除子網絡類型和組合方式外，耦合強度對多層相依網絡健壯性也有影響——耦合強度越高，即子網絡間依賴邊的比例越高，多層相依網絡的健壯性越差[85]。在極限情況下，子網絡間連邊全為依賴邊，多層相依網絡就變為全耦合網絡，此時系統的健壯性最差。Gao等人[86]研究了完全相依的多層相依網絡在級聯失效后的極大連通子圖規模。

很多學者在研究多層相依網絡健壯性的過程中綜合考慮了以上幾種因素，也取得了很多有意義的結論，豐富了相關研究的理論體系。例如，對于由RR子網絡組成的多層相依網絡，當耦合強度較大時系統的滲流過程表現為一階相變，當耦合強度較小時則表現為二階相變。對于由ER子網絡組成的多層相依網絡，滲流過程表現為二階相變狀態和崩潰狀態[81]。特別是由ER子網絡組成的星形多層相依網絡，存在一個耦合強度的臨界值——當耦合強度大于臨界值時，多層相依網絡的滲流過程為一階相變；反之則為平滑的二階相變[49, 87]，并且級聯失效后的極大連通子圖規模取決于星形網絡的拓撲結構；對于由ER子網絡組成的環形多層相依網絡，級聯失效后的極大連通子圖規模與子網絡數量無關[88]。

3. 理論應用

除以上總結的有關理論方面的研究之外，相依網絡理論的應用背景也得到了極大拓展，從單純研究網絡化基礎設施領域拓展到了很多領域，根據已有文獻可以總結出相依網絡理論應用主要集中于以下幾個方面。

1）基礎設施網絡

鐵路、公路、水運、航空、管道、電網、信息、物流等網絡化基礎設施是相依網絡最早也是最廣泛的應用領域，包括這些網絡化基礎設施的設計與優化[89-92]、相依化系統的安全操作規程[93]、網絡化基礎設施的控制[94]、能源網絡安全[95]、交通網絡優化[96]等場景。

2）金融和經濟網絡[97, 98]

由行為人、公司、銀行等參與者構成的金融和經濟網絡之間存在復雜的依賴關系，在特定情況下會發生級聯失效。例如，貨幣供應引發的經濟學問題、次貸危機爆發導致的全球金融危機、不同產業市場中風險的傳遞[99]都可以理解為相依網絡在這個領域的應用實例。

3）社會網絡

社會網絡中的信息傳播和擴散[100, 101]過程中也可以發現相依網絡的例子。例如，微博和微信賬號背后的個體可以看作兩個網絡的相依關聯，一個網絡中的信息就可以通過這樣的關聯向另一個網絡擴散。同樣地，流行病在不同社會群體中的傳播也有類似的過程[102-106]。

4）生物網絡

人體是一個典型的相依系統，在清醒狀態下，神經系統、消化系統、呼吸系統之間協調工作，支持著人體的各種生理活動。當人體轉入睡眠狀態時，神經系統又會給消化、呼吸等系統發出某種形式的信號，使得各類系統的主動性活動減弱。此外，在生態學的食物鏈網絡中，不同種群間也存在相互依賴關系[107, 108]。

5）氣象學

天氣和氣候變化模型[109]是一個復雜巨系統，在這個系統中，不同分系統相互影響。典型案例如“蝴蝶效應”，正是由于各分系統間存在復雜關聯關系，才有蝴蝶煽動一次翅膀這樣微觀的變化引發宏觀上的一場颶風這樣的現象存在。

盡管相依網絡理論在上述諸多領域得到了廣泛應用，但目前針對軍事背景的應用研究仍不多見，這也進一步體現了本書研究內容的必要性。

1.3.3　網電空間研究現狀

網電空間優勢有可能決定一場戰爭的走向，目前許多國家都加大了在網電空間頂層設計、信息化基礎設施建設和網電空間安全方面的投入。目前，國內外學術界對此的研究也很多，雖然國內對于其準確含義還存在爭議，但對網電空間在信息社會中基礎性、關鍵性的支撐作用及網電空間安全的意義都有一致的認識，相關研究可總結如下。

1. 概念內涵研究

自從網電空間的概念被提出以來，其內涵范圍的確定經歷了長期的爭論。在互聯技術發展的早期，網電空間的概念與互聯網類似，隨著時間的推移和技術的進步，這個概念的內涵也在不斷地補充外延，以下列舉了幾種比較有代表性的定義。

（1）最早提出網電空間概念的作家William Gibson對網電空間給出的定義是：由計算機網絡生成的，連接世界上所有人、信息系統及各種信息源的虛擬空間[110]。該定義強調的是網電空間的虛擬性。

（2）維基百科把網電空間描述為隨信息技術的發展而產生的，利用信息技術和電磁頻譜等手段對信息進行創建、修改和利用，以此影響和控制其他域的新的人類活動域，強調了網電空間作為“控域”對其他域的控制能力。

（3）進入21世紀以來，網電空間對國家社會、經濟、軍事各方面影響日益加深，美國2006年發布的《網電空間行動國家軍事戰略》就把網電空間定義為一個通過信息技術設施和相關信息系統，應用電子原理和電磁頻譜進行數據的生成、修改、使用的作戰域，強調網電空間在軍事領域的應用。

（4）2010年《美國陸軍網絡作戰能力概念能力規劃2016—2028》中的概念進一步拓展了網電空間的范疇。網電空間是一個全球范圍的信息環境域，由一些相互依賴的信息技術基礎設施網絡構成，這些網絡不僅包含互聯網、電信網及計算機網絡，還包括由工業部門的嵌入式處理器和控制器等組成的，依賴數字信號運行的各類網絡化系統[111]，如控制網絡、傳感器網絡等，這個概念在拓展網電空間范圍的同時也強調了網電空間內不同系統之間的相依特性。

總結來看，網電空間的概念經歷了從計算機網絡、網絡空間、泛網絡空間的發展歷程，從覆蓋范圍劃分可把相關定義分為狹義和廣義兩類。狹義網電空間的概念與網絡空間內涵相近，是指由網絡化信息技術設施及由存在于這些基礎設施上的計算機網絡、各種信息系統共同組成的無時空連續特征的信息環境，側重其網絡電磁和信息域特征。廣義網電空間不僅局限于傳統的計算機網絡和通信網絡，還包括生產、生活相關的金融網絡、電力網絡，軍事領域的指揮控制網、偵察探測網等依賴信息運行的各類泛網絡化系統[112]。

廣義網電空間有以下幾個特點。

（1）本質上是人類活動域。網電空間與陸地、海洋、天空一樣，人類可以在網電空間中借助電子技術手段進行活動。網電空間中的信息是以光速傳播的，信息在網電空間中的活動具有超時空特性。

（2）虛實結合。網電空間是人類創造的虛擬活動域，其中承載的信息、邏輯網絡結構看不見、摸不著，因此網電空間具有虛擬的特性。但同時虛擬的信息、網絡結構又依賴于網絡設施、信息處理設備等物理實體而存在。

（3）網絡化是主體。無論是虛擬空間的信息系統，還是現實世界中的電信基礎設施，網電空間內的組分總是以網絡化狀態存在的，孤立存在的組分在網電空間中是沒有意義的。紛繁復雜的網絡化系統構成更大規模的體系，共同支撐網電空間的存在。

（4）信息是核心。信息是各類網絡化結構之間的連接紐帶，也是網電空間得以存在和運行的靈魂。網電空間內的一切行動都是圍繞信息開展的，網電空間內作戰行動的最終目的是爭奪信息控制權。

2. 網電空間安全研究

21世紀初，美軍為檢驗其網電空間的安全性和應急反應能力，分別進行了3次代號為“網絡風暴”的演習。后來又兩次在代號為“施里弗”的太空作戰演習中考慮了網電空間因素，研究了太空作戰時網電空間的作用。2010年又專門針對網電空間開展了賽博閃電演習，測試太空部隊在網電空間中執行任務的能力。

近幾年又有研究人員提出賽博韌性[113]（Cyber Resilience）的概念，設計和構建韌性系統是網電空間發揮作用的基礎，這個背景也是網電空間與相依網絡理論研究相結合最多的應用場景。美國作為最早關注網電空間的國家，在2009年就發布了《網電空間政策評估：確保可信和具有恢復能力的信息和通信基礎設施》[112]。2017年年初，美國空軍按照《空軍網電空間行動計劃》成立了武器系統網電空間韌性辦公室，以增強空軍作戰系統的網電空間安全與防護能力。2017年2月，美國國防科學委員會網電空間威懾工作組在《賽博威懾報告》中把中國和俄羅斯作為戰略假想敵，明確指出要增強美軍網絡空間韌性；2018年3月，美國國防高級研究計劃局（DARPA）也啟動了相應的網電空間安全保障相關項目，以在項目層面保證網電空間韌性。

1.3.4　網電空間作戰研究現狀

網電空間的主要應用就是網電空間作戰，總結相關研究可以得到網電空間戰的概念、特點和作戰流程。

1. 網電空間戰的概念及特點

網電空間戰（Cyber Warfare）又譯為賽博戰，是指在網電空間實施的，以電磁頻譜、網絡系統等為媒介，以削弱敵方網電空間作戰能力，同時保護己方在該領域作戰能力為目的的作戰行動。這個概念是在網絡中心戰的概念上發展而來的，徹底顛覆了以武器平臺為中心的傳統作戰樣式。網電空間內作戰行動的主要樣式包括進攻、防御及作戰支持3類。

1）進攻。進攻是網電空間內作戰行動的主要樣式，是指以削弱、摧毀、控制敵方網電空間作戰能力為目的，以滲透、竊取、破壞、欺騙等網絡攻擊為手段，在敵方網絡化作戰設施及相關信息系統上實施的作戰行為。例如，無線注入、電磁干擾、邏輯炸彈、木馬病毒、數字大炮等。

（2）防御。防御是指為提高己方網電空間設施的作戰保障可靠性和健壯性，在敵方攻擊時對己方網絡化作戰設施及相關信息系統采取的發現、封堵和攔截攻擊行為，以及修補、維護等行動，如網絡拓撲弱點檢測、關鍵節點防護等。

（3）作戰支持。作戰支持是為了維護己方網電空間基礎設施和相關信息系統、通信鏈路的正常運行，以支持網絡空間作戰行動的順利進行。

在以上幾種作戰樣式中，相對傳統的動能作戰而言，網電空間內的作戰行動有以下突出特點。

（1）網絡化。網電空間作戰的主要表現形式是網絡攻擊，攻擊影響的產生和擴散都以網絡拓撲為最基本的依托。

（2）非接觸、軟殺傷。網電空間內的各類網絡存在許多依賴關系，想要攻擊某一類型的網絡，有時可以通過破壞其他類型的網絡來達到[114]。例如，起連通作用的通信網因受到攻擊而中斷，網電空間中的很多網絡就無法正常工作了。

（3）速度快、范圍廣。作戰手段是以光速進行傳播的，而且作戰范圍覆蓋軍事、政治、經濟、社會等多個領域，除了對敵方的用頻設備、軍用信息網絡進行打擊，還可以對一些事關國計民生的網絡化基礎設施實施破壞，如干擾正常的移動通信和電力供應[115]。

（4）作戰效能難以評估。網電空間內的失效一般難以像傳統作戰效果那樣直接通過偵察得到，這種作戰樣式下的作戰效能一般難以評估。

2. 作戰流程

認識網電空間作戰，還需要進一步分析其作戰流程。OODA循環是軍事作戰和指揮控制分析領域經常涉及的概念，最早由美國空軍上校John Boyd提出，用來描述空戰過程涉及的一種戰術策略。OODA是作戰過程中觀察（Observe）、判斷/調整（Orient）、決策（Decide）和行動（Act）4個階段的英文首字母，如圖1.8所示。

圖1.8中各階段內的主要作戰行動如下。

（1）觀察階段。利用各種網絡化探測設備、傳感器對作戰環境、戰場態勢、毀傷情況進行探測，為決策指揮提供信息源。

（2）判斷/調整階段。結合觀察階段獲取的信息，對戰場情況進行態勢評估或對己方的作戰行動進行毀傷評估。

（3）決策階段。根據態勢制訂合理的作戰方案或根據毀傷情況調整上一循環的作戰行動。

（4）行動階段。根據決策方案實施作戰行動，檢驗作戰效果，然后進入下一循環，再次根據行動效果決定下一步行動。

網電空間作戰流程中同樣存在OODA循環，如圖1.9所示。在網電空間作戰流程中包括信息流和指揮決策流兩個循環。周波[116]、李楠[117]等人分析了這兩類流程的作用：在網電空間背景下，信息流快速完成信息融合、存儲/管理、分析評估、可視化、共享/分發、應對等步驟，支撐多源信息融合、態勢評估、戰斗管理和作戰行動等一系列作戰指揮流程。相對傳統作戰樣式，網電空間作戰的優勢在于現代信息技術極大地加快了信息流的速度，甚至在分秒之間就可以完成一個循環。信息流的快速循環加快了指揮決策流的速度，這就為己方決策和行動的及時性、快速性提供了可能。

3. 作戰體系建設研究現狀

為搶占網電空間這個潛在的戰略制高點，各軍事強國都先后制定了網電空間發展戰略，研制了多種多樣的網電空間作戰裝備，積極進行網電空間戰場建設和作戰實踐，包括網電空間武器系統、安全評估體系及指揮控制體系等。

目前各軍事力量研究的網電空間武器系統包括兩類，一是攻擊性武器，如邏輯炸彈、惡意代碼、計算機病毒等，如美軍的舒特系統、震網病毒都已經過實際運用，取得了常規手段難以達到的作戰效果；二是物理殺傷性武器，如電磁脈沖炸彈、高能微波武器等對網電空間的基礎設施實施物理摧毀。電磁脈沖武器對網電空間中的通信和電力設施、各類電子系統的破壞性極大，其毀傷半徑根據爆炸高度的不同從數千米到數千千米不等，因此電磁脈沖炸彈又被稱為信息時代的“第二原子彈”。網電空間的防御和安全評估體系包括賽博靶場、賽博盾牌、演習等。美軍開展的施里弗演習和賽博閃電演習都是為了檢驗相關部隊任務能力而開展的。我國也建設了自己的網絡靶場（NCR），以提供研究所需的模擬戰場環境，從而加強網電空間安全防御體系建設。在網電空間作戰指揮體系方面，各國也都紛紛發力，美國、韓國等國家率先成立了賽博司令部，負責統籌網電空間內的一切軍事行動。

除了以上宏觀層面進展，還有許多學者從學術研究的角度對網電空間作戰問題進行了研究。張明智等人[118]從仿真建模的角度定性分析了網電空間作戰問題；劉海峰等人[119]研究了網電空間作戰對聯合作戰的影響；司光亞等人[120]也考慮了類似的問題，在戰略戰役兵器推演中研究了網電空間內的基礎設施對聯合作戰行動的影響；許相莉等人[121]構建了基于復雜網絡理論的網電空間作戰效能評估指標體系；胡鑫等人[122]研究了指揮模式對網電空間指揮控制效能的影響；J. H. Cho等人[123]利用時序網絡研究了網電空間作戰中的博弈問題。但是，這些研究的關注點大都是傳統的單層復雜網絡理論在網電空間作戰中的應用，沒有涉及相依網絡理論在網電空間作戰背景下應用的實例。