2.7 戴維南定理與諾頓定理

戴維南定理和諾頓定理是線性含源二端（單端口）網絡的一個重要定理和特性。如果將有源二端網絡等效成電壓源形式，應用的就是戴維南定理；如果將有源二端電路等效成電流源形式，應用的就是諾頓定理。利用這兩個定理，能夠比較容易地計算復雜電路中某一支路的電流和電壓。戴維南定理與諾頓定理又稱為等效電源定理。

2.7.1 戴維南定理

戴維南定理可陳述如下：任一線性含獨立電源的二端電路對外電路而言，總可以等效為一個理想電壓源與電阻串聯構成的實際電源的電壓源模型，此實際電源的理想電壓源參數等于原二端網絡端口處的開路電壓，其串聯電阻（內阻）等于原二端網絡去掉內部獨立電源之后，從端口處得到的等效電阻。戴維南定理描述用圖如圖2-33所示。

圖2-33中U_oc稱為開路電壓，R_o稱為戴維南等效電阻，N網絡為含獨立電源二端網絡，N_o為N網絡去掉獨立電源之后所得到的二端網絡。

可以由如下方法證明戴維南定理：設一線性有源二端網絡N與外電路相聯，如圖2-34a所示，端口ab處的電壓為U，電流為I。現在來尋求對外電路而言N網絡的最等效電路。首先，應用替代定理，將外電路用一個電流源I_S=I代替，如圖2-34b所示。

根據疊加定理，N網絡端口處的電壓U可以看作是由網絡內部電源及網絡外部電流源I_s共同作用的結果，即

式（2-12）中第一項U′是當網絡內部電源作用、去掉外部電流源（將電流源開路）時的端電壓，即含獨立電源的二端網絡N的開路電壓，即

式（2-12）的第二項U″是當外部電流源單獨作用、N網絡內部獨立源置零（電壓源短路，電流源開路）時的端口電壓，此時的N網絡變成相應的內部不含獨立電源的N_o網絡，N_o網絡對外可等效為一個內阻R_o，由圖2-34c所示可得

由式（2-13）和式（2-14）得

根據式（2-15）畫出的電路正好是一個電壓源串聯電阻支路，如圖2-34d所示，電壓源的電壓等于含獨立源二端網絡的開路電壓U_oc，串聯電阻等于將N網絡內部所有獨立電源置零后得到的N_o網絡從端口看進去的輸入電阻R_o，這就證明了戴維南定理。

應用戴維南定理的關鍵是求含源二端網絡的戴維南等效電路參數U_oc和R_o。

U_oc的求法一般有兩種：一種是將外電路去掉，將端口ab處開路，由N網絡計算開路電壓U_oc；另一種是實驗測量的辦法，將ab端口開路，測量開路處的電壓U_oc，從而使R_o的求法也分為測量法和計算法。測量法是在測得U_oc的基礎上，再將ab端口短接，測得短接處的短路電流I_Sc，則

R_o=U_oc/I_Sc

計算R_o的方法又可分成以下3種：

1）在計算ab端口開路電壓U_oc之后，將ab端口短接，求短接處的短路電流I_Sc，從而R_o=U_oc/I_Sc。

2）去掉N網絡內部的獨立電源，用串并聯化簡和Y-△變換等辦法計算從ab端口看進去的等效電阻R_o。

3）去掉N網絡內部的獨立電源，在ab端口處加電壓源U，求端口處電流I，則R_o=U/I，或是端口加電流源I，求端口處電壓U從而求得R_o。

值得指出的是，對含受控源的電路求戴維南等效電路的R_o時，只能用上述1）和3）兩種方法；且同疊加定理一樣，受控源要同電阻一樣看待，當去掉獨立源時受控源同電阻一樣保留。

【例2-21】 在圖2-35a所示電路中，當R分別為1Ω、3Ω、5Ω時，求相應R支路的電流。

解：求R以左的二端網絡的戴維南等效電路。由圖2-35b所示經電源的等效變換可知，開路電壓為

注意到圖2-35b中，因為電路端口開路，所以端口電流為零。在此電路中無受控源，去掉電源后，經電阻串并聯化簡可求得

圖2-35c所示是R以右的二端網絡，由此電路可求得開路電壓為

輸入端內阻為

R_o2=2Ω

再將上述兩戴維南等效電路與R相接得圖2-35d所示的電路，由此，可求得

當R=1Ω時，

當R=3Ω時，

當R=5Ω時，

【例2-22】 求圖2-36a所示電路的戴維南等效電路。

解：將受控電流源作電源變換如圖2-36b所示，由此求開路電壓為

解得

U_oc=U_o=-1.5V

求輸入電阻R_o，利用去掉內部獨立電源、端口加電壓U求端口電流的方法，如圖2-36c所示。求得

R_o=U/I=-0.6Ω

最后，求得本題的戴維南等效電路如圖2-36d所示。本例中出現負電阻是含受控源電路時可能出現的情況。

2.7.2 諾頓定理

諾頓定理可陳述如下：任一線性含源二端網絡，對外而言，可化簡為一實際電源的電流源模型，此實際電源的理想電流源參數等于原端口網絡端口處短路時的短路電流，其內電導等于原單端口網絡去掉內部獨立源后，從端口處得到的等效電導。

可見，對于同一線性二端網絡，其戴維南等效電路與諾頓等效電路之間，滿足電源變換的要求。諾頓等效電路的短路電流和內電導的求取辦法也類似于戴維南等效電路。

【例2-23】 用諾頓定理求圖2-37a所示電路中的電流I。

解：由圖2-37b所示求短路電流

由圖2-37c所示求得等效內電導為

做出ab以左電路的諾頓等效電路，并連接6Ω電阻得圖2-37d所示的電路，由分流公式可得