1.5 基爾霍夫定律

在前面討論的電阻元件電路中，電阻元件的歐姆定律反映的是電路中元件的約束關系，而在一個電路中各處的電壓和電流不但受元件類型和參數的影響，而且取決于電路的結構，基爾霍夫定律反映的就是電路的結構約束關系。

1.5.1 基本概念

在介紹基爾霍夫定律之前，先介紹一下有關電路的幾個概念。

1）支路。通常情況下，電路中的每一分支稱為支路，同一支路上的元件流過同一電流。具有3條支路的電路如圖1-16所示。其中兩條含電源的支路acb、adb稱為有源支路。不含電源的支路ab稱為無源支路。

2）節點。電路中3條或3條以上支路的連接點稱為節點，圖1-16中有兩個節點a、b。

3）回路。電路中任一閉合路徑稱為回路，圖1-16中有adba、abca和adbca3個回路。

4）網孔。當回路內不含交叉支路時，該回路也被稱為網孔。在平面電路里，網孔就是自然孔，見圖1-16中的adba、abca兩個網孔。

5）網絡。一般把包含較多元器件的電路稱為網絡。實際上，網絡就是電路，兩個名詞可以通用。

6）二端網絡。與外部連接只有兩個端點的電路稱為二端網絡，也稱為一端口網絡，二端網絡如圖1-17所示。實際上，每一個二端元件，如電阻、電感、電容等，就是一個最簡單的二端網絡。

7）等效二端網絡。當兩個二端網絡對外電路的作用效果相同、具有相同的外特性時，這兩個二端網絡等效。圖1-18所示的兩個二端網絡N₁與N₂，當它們接相同的外電路時，產生的非零電壓、電流對應相等，即u₁=u₂，i₁=i₂，則N₁與N₂互為等效二端網絡。

需要指出的是，等效網絡指的是對外等效，對內一般是不相等的，即內部電路結構可以不同，但對外部電路的作用（影響）是完全相同的。

1.5.2 基爾霍夫電流定律

基爾霍夫電流定律（Kirchhoff 's Current Law，KCL）敘述如下：在電路中對任一節點，在任一時刻流進該節點的電流之和等于流出該節點的電流之和，即

∑i_入=∑i_出

對于圖1-16中的節點a有

如果假設流入節點的電流為負，流出節點的電流為正，那么基爾霍夫電流定律就可敘述為：在電路中任何時刻，對任一節點所有支路電流的代數和等于零，即

對于圖1-16中的節點a有

式（1-5）和式（1-7）是等價的，兩種說法含義相同。

對節點b應用基爾霍夫電流定律有

式（1-8）兩邊乘負號就變換成式（1-7），所以兩個方程互相不獨立，即在兩個節點的電路中，只有一個獨立的電流方程，在兩個節點的電路中只有一個獨立節點。可證明，當電路中有n個節點時，有n-1個節點是獨立的。

【例1-4】 在圖1-19所示電路中，各支路電流的參考方向如圖所示，其中I₁=7A，I₂=-5A，I₄=2A，I₅=3A，試求電流I₃的值。

解：根據基爾霍夫定律有

I₁-I₂+I₃-I₄+I₅=0

I₃=-I₁+I₂+I₄-I₅

=[-7+（-5）+2-3]A

=-13A

從基爾霍夫電流定律可以推出以下兩個推論。

推論1：任一時刻，穿過任一假設閉合面的電流代數和恒為零，圖1-20a所示的點畫線框內為廣義節點。

推論2：若兩個電路網絡之間只有一根導線連接，則該連接導線中的電流為0，如圖1-20b所示。

例如，在圖1-20a中，對節點a有 -i₁-i₆+i₄=0

對節點b有 -i₂-i₄+i₅=0

對節點c有 -i₃-i₅+i₆=0

把上面3個方程式相加，得 i₁+i₂+i₃=0

即在圖1-20a中，點畫線所包圍的封閉面電流的代數和為零。

在圖1-20b中，網絡1與網絡2之間只有一根導線連接，設網絡1流進網絡2的電流為I，但無網絡2流進網絡1的電流，根據KCL，則I=0。

【例1-5】 電路如圖1-21a所示，已知I₁=3A，I₂=4A，I₃=8A，求恒流源的電流I_S。

解：把圖1-21中的R₁、R₂所在支路看成閉合面，見圖1-21b中的點畫線部分。根據基爾霍夫電流定律的推論列方程有

I₁-I₂+I₃-I_S=0

解得

I_S=I₁-I₂+I₃

=（3-4+8）A

=7A

1.5.3 基爾霍夫電壓定律

基爾霍夫電壓定律（Kirchhoff 's Voltage Law，KVL）是反映電路中對組成任一回路的所有支路的電壓之間的相互約束關系。表述如下：

在電路中任何時刻，沿任一閉合回路的各段電壓的代數和恒等于零，當電壓的方向與繞行方向一致時，取正；與繞行方向相反，取負。表達式為

∑u=0

在回路中，若有電壓源存在，則電源電勢升與繞行方向一致取正，相反取負。基爾霍夫電壓定律還可以敘述為在電路中任何時刻，沿任一閉合回路的所有電勢升之和等于電壓降之和。表達式為

∑u_s=∑u

【例1-6】 根據基爾霍夫電壓定律，分別對如圖1-16所示的各回路列方程。

解：對各個回路選定繞行方向，如圖1-22所示。

對回路1有 U_R1+U_R3-U_S1=0

或者 U_S1=U_R1+U_R3

對回路2有 U_R2+U_R3-U_S2=0

或者 U_S2=U_R2+U_R3

對大回路3有 U_R1-U_R2+U_S2-U_S1=0

或者 U_S1-U_S2=U_R1-U_R2

基爾霍夫電壓定律不但適用于閉合回路，而且可推廣應用于不閉合電路。假想電路是通過某元件閉合的，圖1-23所示為部分電路的KVL，右側可以是一個元件或者電路網絡。在這種情況下，基爾霍夫電壓定律仍成立，并且兩點間電壓是定值，與計算時所沿路徑無關，表示為

U_S=U+U₁

【例1-7】 電路如圖1-24a所示，試求圖中的電壓U₄和E、B兩點間的電壓U_EB以及A、D兩點間的電壓U_AD。

解：1）在回路中選定繞行方向如圖1-24b虛線1所示，根據KVL

U₁-U₂+U₃-U₄-U₅=0

U₄=U₁-U₂+U₃-U₅=5V

2）選繞行方向如圖1-24b虛線2所示，根據KVL

U_EB-U₁+U₅=0

U_EB=1V

3）選繞行方向如圖1-24b虛線3所示，根據KVL

U_AD-U₄-U₅=0

U_AD=7V

【例1-8】 求圖1-25a所示電路的開路電壓U_ab。

解：先把圖1-25a改畫成圖1-25b，求電流I。

在回路1中，有12-2+3I-6+3I+2+2I=0，則I=-3/4A

根據基爾霍夫電壓定律，在回路2中，得

U_ab=[-2×1-3×（-3/4）-2+6+0-2]V=9/4V