3.1　受攝二體問(wèn)題的數(shù)學(xué)處理

首先考慮無(wú)攝運(yùn)動(dòng)（即二體問(wèn)題），此時(shí)，相應(yīng)的運(yùn)動(dòng)方程為

第2章已給出該問(wèn)題的解，可歸結(jié)為下列形式：

其中

六個(gè)積分常數(shù)c1，c2，…，c6即六個(gè)軌道根數(shù)，對(duì)于橢圓運(yùn)動(dòng)，即a，e，i，Ω，ω，τ。第六個(gè)根數(shù)τ為運(yùn)動(dòng)天體過(guò)近星點(diǎn)的時(shí)刻，若用平近點(diǎn)角M代替τ，則解（3.4）和（3.5）中將不顯含t，但這些解并不是直接以M的形式出現(xiàn)，而是以真近點(diǎn)角f或偏近點(diǎn)角E的形式出現(xiàn)。

回到方程（3.1），，解（3.4）和（3.5）式當(dāng)然不滿足該方程。如果要使這一無(wú)攝運(yùn)動(dòng)解的形式仍滿足受攝運(yùn)動(dòng)方程（3.1），則c1，c2，…，c6不再是常數(shù)，應(yīng)為t的函數(shù)，這就是常微分方程求解中的常數(shù)變易法。根據(jù)這一原理導(dǎo)出的原積分常數(shù)cj（j＝1，2，…，6）所滿足的微分方程，就稱為通常所指的“攝動(dòng)運(yùn)動(dòng)方程”。盡管本書(shū)主要是為讀者提供相應(yīng)問(wèn)題的算法，但為了使讀者深入了解軌道力學(xué)領(lǐng)域中這一最重要的基本原理，有助于對(duì)算法的準(zhǔn)確理解，有必要對(duì)攝動(dòng)運(yùn)動(dòng)方程建立過(guò)程中如何引用常數(shù)變易原理作必要的闡述，簡(jiǎn)述如下：

（3.4）式對(duì)t求導(dǎo)數(shù)得

由于要求（3.5）式亦滿足受攝運(yùn)動(dòng)方程，故應(yīng)有

此式再對(duì)t求一次導(dǎo)數(shù)，并讓其滿足受攝運(yùn)動(dòng)方程（3.1），即

而，由此可知，常數(shù)變易的兩個(gè)條件應(yīng)為

這是關(guān)于的代數(shù)方程組，其系數(shù)和都是cj和t的已知函數(shù)，這些偏導(dǎo)數(shù)在第2章中均已給出。原則上可由這一方程組導(dǎo)出dcj/dt的顯形式：

此即所需要的攝動(dòng)運(yùn)動(dòng)方程。但上述關(guān)于dcj/dt的線性代數(shù)方程組（3.10）的系數(shù)和比較繁雜，直接推導(dǎo)很麻煩，在一些天體力學(xué)書(shū)籍[1]～[2]中有詳細(xì)的推導(dǎo)過(guò)程，推導(dǎo)方法大致可分為兩類，一類是針對(duì)保守力以攝動(dòng)函數(shù)R的偏導(dǎo)數(shù)形式代替攝動(dòng)加速度進(jìn)行推導(dǎo)，另一類則是直接以攝動(dòng)加速度的三個(gè)分量形式（如徑向、橫向和軌道面法向分量）進(jìn)行推導(dǎo)。作者曾在本章參考文獻(xiàn)[3]和[4]中給出了后一類形式的簡(jiǎn)單推導(dǎo)方法，讀者如有需要，可閱讀這兩篇文獻(xiàn)之一中的有關(guān)內(nèi)容，下一節(jié)將直接列出結(jié)果。

在列出受攝運(yùn)動(dòng)方程的具體形式之前，有一個(gè)重要概念問(wèn)題必須作一闡明。關(guān)于常數(shù)變易的含義及其在求解受攝運(yùn)動(dòng)方程中的作用，其最主要的一點(diǎn)是：無(wú)攝運(yùn)動(dòng)解的表達(dá)形式（3.4）和（3.5），即第2章中的表達(dá)式（2.33）和（2.42），仍適用于受攝運(yùn)動(dòng)，它是受攝運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)根數(shù)與位置矢量和速度矢量之間的一個(gè)嚴(yán)格關(guān)系式，所不同的只是無(wú)攝運(yùn)動(dòng)中cj（j＝1，2，…，6）是常數(shù)，而在受攝運(yùn)動(dòng)中，cj＝cj（t）是時(shí)間t的函數(shù)。既然如此，受攝運(yùn)動(dòng)的軌道即可看成一個(gè)變化的橢圓（或二次圓錐曲線），第2章中給出的橢圓運(yùn)動(dòng)的各種幾何關(guān)系和偏導(dǎo)數(shù)關(guān)系，在受攝運(yùn)動(dòng)中全部成立。但要注意，對(duì)時(shí)間t的導(dǎo)數(shù)卻不再成立，特別是面積積分的形式應(yīng)正確地理解為

只是在無(wú)攝運(yùn)動(dòng)中，該積分才退化為二體問(wèn)題中的表達(dá)形式（2.26）：