2.2 微動的接觸力學理論

兩彈性體之間的接觸問題，最早是從Hertz的工作開始的。Hertz在研究兩個玻璃透鏡之間間隙的Newton光學干涉條紋時，注意到由于透鏡間的接觸壓力對透鏡表面彈性變形可能造成的影響，進而推測出彈性體接觸時的應力分布。他于1882年發表了第一篇有關接觸力學的論文，奠定了接觸力學的基礎。Hertz對彈性體接觸應力場的描述是經過若干簡化的：

（1）兩固體在接觸點附近的表面至少二階連續，即兩接觸表面可以用微分幾何來描述。

（2）接觸是非協調的。所謂“非協調接觸”，是指具有不相似外形（兩物體輪廓不貼合）的物體稱為非協調的，當它們無變形地接觸時，首先在一個點或一條線相碰，即所謂的“點接觸”及“線接觸”，如球面之間的接觸或圓柱面之間的接觸。

（3）接觸固體為各向同性的彈性體，變形為小變形，即保證接觸行為是線彈性的。

（4）接觸面間摩擦系數為零，即接觸面切線方向無摩擦力作用。

顯然，接觸固體間的摩擦系數不可能為零，且大多數情況下兩固體間會受到切向力的作用。Cattaneo于1938年首次提出了考慮摩擦并受到切向力作用的局部滑移問題，并給出了解答。1949年，Mindlin獨立地提出了該問題并給出了令人滿意的解析解。他們的工作拓展了接觸力學的應用范圍，使接觸力學的研究上升到一個新的高度，也為微動摩擦學的研究提供了理論基礎。進一步的，Nowell和Hills考慮了遠端力對接觸應力場分布的影響，對Mindlin的解進行了改進，得到了更普適的圓柱面與無限大半平面的接觸問題的解析解。他們的研究是目前流行的微動疲勞試驗的理論依據。至此，非協調表面的接觸問題得到了較完美的解決。然而協調接觸問題還沒有得到很好的解決。Clavarella等對有圓角的面-面接觸問題進行了研究，得到了其接觸應力場的近似解。Hills等也在協調接觸應力場分析方面進行了大量的工作，討論了面-面接觸、接觸面受力矩作用等更一般情況下的接觸行為和應力場分布問題，并提出了一套分析接觸區邊緣應力集中區域應力場分布的近似方法。

2.2.1 彈性接觸的Hertz理論

由于微動疲勞是連接件之間的接觸引起的，因此接觸力學的研究對明確微動區域的接觸行為是非常必要的。由于本書的篇幅和主題所限，本章只介紹工程實際中常見的兩圓柱體接觸和兩平面接觸的情況，其他情況以及具體推導過程請讀者參閱接觸力學的相關著作。

兩彈性體之間的接觸問題可用圖2.1加以描述。兩彈性體在線載荷P （單位：N/m）的作用下發生接觸，接觸半寬為a，此時，該問題為靜止接觸問題。當接觸體受到切向牽引力Q和/或遠端載荷σB的作用時，即變為初始滑動問題。

為了研究兩物體間的接觸問題，我們首先要定義能描述兩接觸物體幾何形狀的函數。如圖2.2所示，規定在無變形的情況下，兩物體相接觸的點為坐標原點O，上、下兩物體分別以下標1和2表示。選Oz軸為兩表面在O點處的公法線方向，因此得到xOy平面為兩表面的切平面。如果接觸的兩個面為軸線平行的圓柱面，則可規定y軸方向平行于圓柱面的軸線方向。在此坐標系中，兩表面的未變形形狀由以下函數確定：

因而，在加載之前它們間的間隔由下式給出：

Hertz接觸理論的基本假設之一為兩接觸表面在接觸點附近至少二階連續，于是可以用如下形式的表達式來近似地表示原點附近的曲面：

式中，A1, B1, C1, A2, B2, C2為常數。

在如圖2.2所示的坐標系下，兩曲面間的間隙由式（2.2）和式（2.3）可知

式中，A和B為正的常數，R′和R″為相對主曲率半徑。

當兩個圓柱由單位長度上的力P壓緊而接觸時，問題就變成二維問題。兩圓柱間加載前表面對應點之間的間隙變成

式中，R1, R2為兩接觸面的曲率半徑，定義等效曲率半徑R*為

如圖2.3所示，取兩表面上的對應點S1和S2，如果變形后兩點在接觸面內重合，則

利用式（2.5）可以得到兩圓柱接觸時彈性位移表達式

若S1和S2位于接觸區外時，兩點不發生接觸，則有

通過式（2.9）可以得到表面梯度的關系。于是

根據線載荷p(x)引起的表面梯度公式，可得

代入方程（2.10）得

式中，E*為兩彈性體的等效彈性模量。

式中，E1, E2為兩彈性體的彈性模量；ν1, ν2為兩彈性體的泊松比。

通過求解該方程，可得到兩圓柱面相接觸時接觸區半寬a的表達式

于是可得接觸區的接觸應力分布為

式中，p0為接觸區的最大壓力。

式中，pm為接觸區的平均壓力。

當接觸問題變為圓柱面與彈性半空間（平面）相接觸時，R*即圓柱半徑。其他參數不變，可以應用以上公式對這一問題進行求解。

2.2.2 非協調接觸的初始滑動問題

如圖2.4所示，圓柱體受到線載荷P的作用，隨后施加切向力Q（Q<μP）。由P引起的接觸寬度和壓力可由Hertz理論求出（假設接觸行為不受切向牽引力Q的影響）。假設接觸區不發生滑動，即在整個接觸窄帶-a≤ x≤ a上為滿足無滑動條件的“黏著”區，則接觸的兩彈性體的位移關系為

利用平面應變問題中彈性半空間的切向加載荷法向加載之間的相似性，可以得出切向力的分布為

由式（2.18）確定的切向力分布如圖2.4中曲線A所示?？梢姡诮佑|區邊緣，切向力趨于無窮大，要保持接觸區不滑動，就需要有無窮大的摩擦系數。顯然，真實情況是無法滿足該條件的。因此，在接觸區的邊緣必然存在局部的滑動，接觸區中心區域為“黏著”狀態。

如果切向牽引力Q增大到其極限μP，使物體處于滑動的瞬間，則切向力的分布為

從由Hertz法向壓力分布所產生的法向位移類推，可知在接觸區表面的位移是按拋物線分布的。如果在中間點x=0處不產生滑動，則有

對于另一個接觸表面，有一個符號相反的類似表達式。這些切向位移的分布只在原點處成立，在接觸區的其他位置，如應用以上假設，則必然存在滑動。

如存在一個附加切向力q″，其分布為

該力作用于窄帶-c≤ x≤ c（c<a）上，利用式（2.21）類似的方程得到由這個力所產生的切向位移為

如果將q′與q″疊加起來，則在中心窄帶-c≤x≤c內合成的位移是常數，如圖2.3所示。

并且在另一個接觸面上的對應點有

將ux1和ux2代入式（2.18）表明，在窄帶-c≤x≤c內滿足無滑動條件，且這個區域的切向力合力可以由下式確定：

該值處處小于μP，因此在接觸中心區域為“黏著”狀態。在接觸區的邊緣c≤| |x ≤a處，q(x)=μp(x)，為滑動區。黏著區的尺寸由如下切向力的值來確定：

因此有

按照如上分析可知，如果保持法向載荷P為常數，切向牽引力Q從零開始持續增加，微小滑動立即會在接觸區的兩個邊緣處產生，并且根據式（2.27）向中心擴展接觸表面的切向力分布如圖2.4中曲線B所示。當Q接近于μP時，c接近于零，黏著區在a=0處收縮為一條線。此時如果繼續增加Q，則接觸的兩物體將發生剛體位移（全局滑動）。

2.2.3 考慮遠端載荷時的初始滑動問題

進行微動疲勞試驗時，試件除受到微動墊的法向載荷外，還受到遠端交變載荷σB的作用。此時接觸面上的應力分布將由于遠端載荷的作用而發生變化。Nowell和Hills對該情況進行了分析，給出了此時接觸面上應力分布的解析解。

Nowell和Hills認為，當σB較?。?span id="ihjpbfv" class="italic">σB a/Q→0）時，接觸區的法向接觸壓力的分布滿足Hertz給出的表達式，切應力分布與Mindlin給出的結果相似。但是由于遠端載荷的影響，接觸區的中心會偏移一個小量e，即此時接觸中心的坐標為x=e。此時的接觸應力場分布為

因為在黏著區無滑動，因此兩彈性體接觸區表面的應變應該相等，即

對于彈性接觸體1（不受遠端載荷作用），接觸表面的應變為

對于彈性接觸體2（受遠端載荷作用），接觸表面的應變需要將遠端載荷的作用考慮在內，即

將式（2.34）和式（2.33）兩式相減得

調用式（2.33）并將q(x)的表達式代入得

要使該等式成立，必須滿足

以及

因此，最終的結果為

根據上述分析結果，典型的切應力場分布如圖2.5所示。根據幾何約束條件可知e + c≤a，因此式（2.4）成立的條件為

2.2.4 協調接觸的問題

經過Hertz、Mindlin、Nowell以及Hills等的研究工作，非協調接觸問題已經得到很好的解決。然而，對于面-面接觸即所謂的協調接觸問題，求解難度較大。首先，兩接觸表面之間無初始間隙，這樣就不能簡單地通過二次多項式來描述；另外，協調接觸表面常常不符合Hertz理論的應用條件，在載荷的作用下，接觸區的尺寸迅速擴大，可能變得與接觸體本身的有效尺寸相當，因此接觸體不能再等效為彈性半空間。

對于實際工程中零部件間的平面接觸問題，由于接觸區邊緣大多存在加工圓角，因此可將問題描述為如圖2.6所示的帶圓角的平面接觸問題。圓角半徑為R的平底物體在法向載荷P和切向載荷Q的作用下與彈性半空間發生接觸并發生變形。未接觸前，接觸區半寬為a；發生接觸后，由于彈性變形，使接觸區變寬，接觸半寬變為b，接觸區中心的黏著區半寬為c。

Ciavarella和Hills等針對該接觸問題進行了深入研究，給出了該接觸問題應力場分布的近似解。鑒于篇幅和內容所限，本書僅給出相關的結論，具體的求解和推導過程，讀者可查閱相關文獻。

在接觸區-b<x<b內，令

則接觸區的接觸壓力分布為

?0可由下式確定：

將接觸壓力做歸一化處理，不同情況下的接觸壓力分布如圖2.7所示?？梢姡?面接觸區的接觸壓力分布并不為均勻分布，距接觸區邊緣越近應力梯度越大。理論上講，當a/b=1，即無圓角的理想協調接觸狀態下，接觸區邊緣的接觸壓力趨于無窮大。反之，當a/b=0時該問題退化為Hertz接觸問題。

接觸表面切應力的分布為

其中，R*由下式確定：

式中，R為接觸面邊緣的圓角。

黏著區半寬c可由下式確定：

將切應力做歸一化處理，不同情況下，接觸表面的切應力分布如圖2.8所示。可見，接觸區切應力分布的計算值與實際分布存在一定的誤差，但總體趨勢一致，結果較為合理。