第2章 圖像處理的偏微分與變分技術

人類在感受與接收外界信息時，主要依靠眼睛來接收信號，并將這種信號傳遞給大腦進行解析，從而得到感知結果。隨著科技的不斷發展和生產需求的不斷增加，使用計算機模擬人腦已成為很重要的需求與研究熱點，如何使計算機無限接近于人腦是科學家不斷追求的目標。其中的一個重要環節就是學習人類的眼睛來接收外界的事物并解析信息，這一環節的一項重要內容就是解釋所獲取到的信息，由于計算機自身的機器屬性，必須首先將獲取到的圖像轉換成計算機可以理解的數字化內容，在解析這些內容時就需要用到一些數學方法。在這些數學方法中，由于偏微分方程在解決這些問題時可以得到較好的解析結果（或者說更加接近于事實的分析結果），因而得到了廣泛應用。本章主要介紹用偏微分進行圖像處理的兩種基本方法：變分法和水平集方法。

2.1 變分法

在實際問題中，往往一個變量會因為多個自變量的改變而發生變化，這就是我們所用到的偏微分方程。使用偏微分方程處理圖像分割問題的主要思路，就是將所要處理的問題（或研究對象）轉化為一個能量函數，然后求解該能量泛函的過程。在求解過程中，首先使用變分法將能量泛函轉化為偏微分方程，然后使用梯度下降法求解極值。基于偏微分方程的圖像分割技術主要基于這兩種方法開展研究。

2.1.1 變分原理

在實際問題中，我們的目的就是將問題轉換為數學問題后，利用數學方法來求解其極值，這里就用到變分法[136][137]的概念。求解泛函極值的過程就是變分法的基本思想。

泛函是變分法中一個極為關鍵的點。所謂泛函，通俗地講就是函數的函數，也就是說在一個函數中，其輸入是一個函數，最終得到的輸出結果是一個實數。對泛函極值的求解問題就是變分問題。

通常在變分法中，泛函是一個積分，我們用I來表示：

式中，I為泛函；F為被積函數，通過選擇合適的被積函數F來使得泛函I取得最大值或最小值，被積函數F稱為拉格朗日函數。這里的拉格朗日函數F是關于u（x）和u′（x）甚至u（x）的各階導數的函數。

假設在一維的情況下，泛函用如下形式表示：

一般地，當函數的一階導數F′為0時所對應的點就是極值點。同理，當泛函的一階變分為0時，所對應的函數即泛函的極值。為了保證最后所得結果的準確性，對u（x）做微擾，得到u（x）+v（x），則可以得到

將上式代入式（2-2），可得到

根據分步積分法和微擾項在端點的值為0可以得到

將式（2-5）代入式（2-4），可得到

可見，當u（x）微擾項v（x）足夠小時，其取值范圍不會影響E（u）的值。因此，有

式（2-7）就稱為變分問題的歐拉方程[136]。同理可類推到二維，經過同樣的推導過程可以得到二維情況下的歐拉方程如下：

通過以上分析可以得出，能量泛函E（u）的極值求解問題可以轉化為求解相應的偏微分方程問題，即求解歐拉—拉格朗日方程問題。但是，通常歐拉方程因其非線性特征導致計算過程復雜，時空復雜度較大。為了解決歐拉—拉格朗日方程的求解問題，引入一個關于時刻的變量t，使得初始泛函沿著梯度的反方向不斷迭代，從而找到泛函的極小值，這種方法就是接下來將要討論的梯度下降流方程。

2.1.2 梯度下降流方程

在偏微分方程的圖像處理中，為了更快速和方便地獲得歐拉—拉格朗日方程的數值解，一般可采用梯度下降流方程進行求解。

將隨時間t變化的水平集函數定義為u（·, t），求解的目的就是使得E（u（·, t））不斷減小。設微擾項v（·）為函數u（·, t）在隨時間t改變的過程中（從時間t到t+Δt）發生的改變量，那么

此時，式（2-6）就可以改寫為

那么，我們只需要使

就可以保證E（u（·, t））是在不斷減小的。我們將式（2-11）稱為泛函（2-2）的梯度下降流方程[138]。此時，選擇一個合適的初始函數u0開始不斷迭代，直到其取得穩定的解。這時發現當時，和前面的歐拉—拉格朗日方程（2-7）是一樣的，所以梯度下降流式（2-11）的穩態解就是歐拉方程的解。