第二節　數軸的概念及應用

學習目標

1. 能用數軸上的點表示有理數.

2. 用數軸理解相反數和絕對值的意義.

知識精講

1. 數軸的定義：規定了原點、正方向和單位長度的直線叫作數軸.

注：① 定義中的三要素缺一不可，是數軸的核心.

② 正方向和單位長度要根據具體問題的需要來確定.

2. 數軸與有理數的關系.

（1）所有有理數都可以用數軸上的點來表示，但數軸上的點不都表示有理數；負有理數在原點左側，正有理數在原點右側.

注：數軸的原點對應的有理數是0.

（2）數軸的正方向是有理數增大的方向.

3. 數軸的畫法步驟.

（1）畫一條水平的直線，在直線的右端畫一個指向右方的箭頭，規定它所指的方向為正方向.

（2）在這條直線上確定一個點，這個點叫作原點，并用數字0來表示.

（3）選擇一個適當的長度作為單位長度，從原點開始，在直線上原點的兩側，連續截取和單位長度相等的線段，可以得到多個分點.

（4）在原點右側的各分點的下面順次寫出1，2，3，4，…；在原點左側的各分點下面順次寫出-1，-2，-3，-4，….

注：同一數軸上的單位長度必須統一.

方法提煉

1. 數軸的應用.

（1）用數軸上的點表示數.

（2）比較兩個有理數的大小：在數軸上表示的兩個數，右邊的數總比左邊的數大.

（3）用數軸解決與相反數和絕對值有關的問題.

2. 數學思想.

（1）數形結合思想. 本章中的“數”就是有理數，“形”就是數軸，由于任意一個有理數都可以用數軸上的一個點來表示，因此運用數形結合思想可解決與數軸有關的問題.

（2）分類討論：在數軸上，解決與點有關的問題時，通常需要分類討論.

典例精析

例題1. 在數軸上，A點和B點所表示的數分別為-2和1，若欲使A點表示的數是B點表示的數的3倍，應把A點（?。?

A. 向左移動5個單位

B. 向右移動5個單位

C. 向右移動4個單位

D. 向左移動1個單位或向右移動5個單位

【思路點撥】　此題借助數軸進行分類討論，-2對應的點在1對應的點的左邊，1的3倍是3，3在1的右邊，所以A應該向右移動；-2和3之間有5個單位長度，所以應該向右移動5個單位長度.

【答案】　B

例題2. 如圖1-2-1所示，數軸上標出若干個點，每相鄰兩點相距1個單位，點A，B，C，D對應的數分別為整數a，b，c，d，并且b-2a=9，那么數軸的原點為（　）.

A. A點

B. B點

C. C點

D. D點

【思路點撥】　觀察數軸可知，b-a=4，b-2a=9，即可求出a，b的值，進而確定數軸的原點.

【答案】　C

典題精練

1. 圖1-2-2給出的四條數軸中，錯誤的是（?。?

A. （1）（2）

B. （2）（3）（4）

C. （1）（2）（3）

D. （1）（2）（3）（4）

2. 下列結論正確的有（?。﹤€.

（1）數軸上表示-5的點距離原點5個單位長度；（2）在數軸上表示的兩個數，右邊的數總比左邊的數大；（3）規定了原點、正方向和單位長度的直線叫作數軸；（4）數軸上的點都表示有理數；（5）有理數0在數軸上表示的點是原點；（6）數軸上離原點越遠，表示的數越大.

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

3. 在數軸上表示-2的點離原點的距離等于（　）.

A. 2

B. -2

C. ±2

D. 4

4. 在數軸上表示-1與-4的兩點之間有理數的點有（?。?

A. 3個

B. 2個

C. 1個

D. 無數個

5. 有理數a與b在數軸上的對應位置如圖1-2-3所示，則（　）.

A. a-b<0

B. a-b≥0

C. a-b = 0

D. a-b>0

6. 在數軸上與原點的距離等于4個單位長度的點有_____個，這樣的點表示的有理數是_____.

7. 數軸上表示-3的點記為A，表示2的點記為B，那么把A點向_____移動_____個單位長度得到B點.

8. 如圖1-2-4所示，A，B，C，D四點在數軸上分別表示有理數a，b，c，d，則按從小到大的順序排列為__________.

9. 如圖1-2-5所示，一滴墨水灑在一條數軸上，根據圖中標出的數值判斷墨跡蓋住的整數有多少個？

10. 表1-2-1是我國幾個城市的二月份的平均氣溫（℃）.

（1）在同一數軸上將6個數表示出來，并用“<”將6個數連接起來；

（2）根據數軸指出最高溫度和最低溫度分別是多少？并求出最低溫度比最高溫度低多少攝氏度？

中考真題

真題1. （湖北襄陽）A為數軸上表示-1的點，將A點沿數軸移動2個單位長度到B點，則B點所表示的數為（?。?

A. -3

B. 3

C. 1

D. 1或-3

真題2. （山東菏澤）如圖1-2-6所示，數軸上的A，B，C三點所表示的數分別是a，b，c，其中AB=BC，如果|a|>|b|>|c|，那么該數軸的原點O的位置應該在（?。?

A. 點A的左邊

B. 點A與點B之間

C. 點B與點C之間

D. 點B與點C之間且靠近點C或點C的右邊