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12.6 函數(shù)的連續(xù)性

本節(jié)重點(diǎn)知識(shí):

1.函數(shù)的連續(xù)性.

2.初等函數(shù)的連續(xù)性.

3.函數(shù)的連續(xù)性在求函數(shù)極限中的應(yīng)用.

4.閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì).

12.6.1 函數(shù)的連續(xù)性

自然界的許多現(xiàn)象,如空氣和水的流動(dòng)、氣溫的變化、植物的生長等,都是隨時(shí)間的變化而連續(xù)不斷變化著(一個(gè)連續(xù)的變化過程是逐漸變化的,沒有中斷或突然的變化),這種現(xiàn)象反映在數(shù)學(xué)上,就是函數(shù)的連續(xù)性.它是函數(shù)重要性態(tài)之一,是高等數(shù)學(xué)的又一重要概念.

從圖12-36可以看出,當(dāng)x從x0的左右兩側(cè)無限趨近于x0時(shí),f(x)的函數(shù)值無限趨近于f(x0).此時(shí)稱f(x)在點(diǎn)x0是連續(xù).

圖 12-36

定義 如果,則稱函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0連續(xù)的.

注意 f(x)在點(diǎn)x0連續(xù)必須滿足三個(gè)條件:

(1)f(x)在x0點(diǎn)有定義,(即f(x)在x0有函數(shù)值);

(2) 存在;

(3) .

由定義可知,當(dāng)x趨近于x0時(shí),f(x)趨近于f(x0),則稱f(x)在點(diǎn)x0連續(xù).因此f(x)在點(diǎn)x0連續(xù)是指當(dāng)x在x0處產(chǎn)生微小變化時(shí),函數(shù)值的變化也很微小.

如果函數(shù)f(x)在x0處不連續(xù)(上述三個(gè)條件至少有一個(gè)不滿足),則稱f(x)在x0間斷,x0稱為f(x)的間斷點(diǎn).

一個(gè)函數(shù)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)每點(diǎn)連續(xù),則稱其在(a,b)內(nèi)連續(xù),如果在整個(gè)定義域內(nèi)連續(xù),則稱為連續(xù)函數(shù).

注意 連續(xù)函數(shù)的圖像是一條連續(xù)而不間斷的曲線.

例1 f(x)的圖像如下(見圖12-37),判斷哪些是f(x)的間斷點(diǎn),為什么?

圖 12-37

 從圖像上可以看出,1、3、5是f(x)的間斷點(diǎn).

因?yàn)閒(x)在x=1沒有定義,所以f(x)在x=1間斷;

雖然f(x)在x=3有定義,但不存在,所以f(x)在x=3間斷;

f(x)在x=5有定義,存在,但是,所以f(x)在x=5間斷.

12.6.2 初等函數(shù)的連續(xù)性

連續(xù)函數(shù)的和、差、積、商(分母不為0)和復(fù)合仍為連續(xù)函數(shù);基本初等函數(shù)在它們的定義區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)的;一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)的.

求初等函數(shù)的連續(xù)區(qū)間就是求其定義區(qū)間.關(guān)于分段函數(shù)的連續(xù)性,除按上述結(jié)論考慮每一段函數(shù)的連續(xù)性外,還必須討論分界點(diǎn)處的連續(xù)性.

例2 求下列函數(shù)的間斷點(diǎn),并寫出連續(xù)區(qū)間:

  (1)為初等函數(shù),它的間斷點(diǎn)即為無定義點(diǎn),而在x=2函數(shù)沒有定義,所以x=2是函數(shù)的間斷點(diǎn),其連續(xù)區(qū)間為(-∞,2),(2,+∞).

(2)由初等函數(shù)的連續(xù)性知,f(x)在區(qū)間(-∞,1],[1,+∞)連續(xù),對于分界點(diǎn)x=1,有:

①f(1)=2,即函數(shù)在x=1有定義;

,左右極限不相等,所以不存在;因此f(x)在x=1間斷,x=1是f(x)的間斷點(diǎn),其連續(xù)區(qū)間為(-∞,1],(1,+∞).

(3)由初等函數(shù)的連續(xù)性知,f(x)在區(qū)間(-∞,2),(2,+∞)連續(xù),對于分界點(diǎn)x=2,有:

①f(2)=1,即函數(shù)在x=2有定義;

極限值不等于函數(shù)值,所以f(x)在x=2間斷,x=2是f(x)的間斷點(diǎn),其連續(xù)區(qū)間為(-∞,2),(2,+∞).

12.6.3 函數(shù)的連續(xù)性在求函數(shù)極限中的應(yīng)用

(1)如果f(x)在x0點(diǎn)連續(xù),則.即如果f(x)在x0連續(xù),那么就可以用函數(shù)值代替求極限.

例3 求下列極限:

 ①

(2)假定f(u)在u=a連續(xù),,則

即在上述條件下,求復(fù)合函數(shù)的極限時(shí),函數(shù)符號(hào)與極限符號(hào)可以交換次序.

例4 求下列極限:

練一練

求下列極限:

12.6.4 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)

最值定理 若函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù),則f(x)在[a,b]上必取得最大值和最小值.

這就是說,如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù),那么至少有一點(diǎn)ξ1∈[a,b],使得f(ξ1)是f(x)在[a,b]上的最大值;又至少有一點(diǎn)ξ2∈[a,b],使得f(ξ2)是f(x)在[a,b]上的最小值(見圖12-38).

介值定理 若函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù),f(a)≠f(b),且常數(shù)μ介于f(a)與f(b)之間.則存在ξ∈(a,b),使得

f(ξ)=μ

成立,如圖12-39所示.

圖 12-38

圖 12-39

幾何意義:介于兩條水平直線y=f(a)與y=f(b)之間的任一條直線y=μ,與y=f(x)的圖像曲線至少有一個(gè)交點(diǎn).

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