12.6　函數(shù)的連續(xù)性

本節(jié)重點(diǎn)知識(shí)：

1.函數(shù)的連續(xù)性.

2.初等函數(shù)的連續(xù)性.

3.函數(shù)的連續(xù)性在求函數(shù)極限中的應(yīng)用.

4.閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì).

12.6.1　函數(shù)的連續(xù)性

自然界的許多現(xiàn)象，如空氣和水的流動(dòng)、氣溫的變化、植物的生長等，都是隨時(shí)間的變化而連續(xù)不斷變化著（一個(gè)連續(xù)的變化過程是逐漸變化的，沒有中斷或突然的變化），這種現(xiàn)象反映在數(shù)學(xué)上，就是函數(shù)的連續(xù)性.它是函數(shù)重要性態(tài)之一，是高等數(shù)學(xué)的又一重要概念.

從圖12-36可以看出，當(dāng)x從x0的左右兩側(cè)無限趨近于x0時(shí)，f（x）的函數(shù)值無限趨近于f（x0）.此時(shí)稱f（x）在點(diǎn)x0是連續(xù).

定義　如果，則稱函數(shù)f（x）在點(diǎn)x0是連續(xù)的.

注意　f（x）在點(diǎn)x0連續(xù)必須滿足三個(gè)條件：

（1）f（x）在x0點(diǎn)有定義，（即f（x）在x0有函數(shù)值）；

（2） 存在；

（3） .

由定義可知，當(dāng)x趨近于x0時(shí)，f（x）趨近于f（x0），則稱f（x）在點(diǎn)x0連續(xù).因此f（x）在點(diǎn)x0連續(xù)是指當(dāng)x在x0處產(chǎn)生微小變化時(shí)，函數(shù)值的變化也很微小.

如果函數(shù)f（x）在x0處不連續(xù)（上述三個(gè)條件至少有一個(gè)不滿足），則稱f（x）在x0處間斷，x0稱為f（x）的間斷點(diǎn).

一個(gè)函數(shù)在開區(qū)間（a，b）內(nèi)每點(diǎn)連續(xù)，則稱其在（a，b）內(nèi)連續(xù)，如果在整個(gè)定義域內(nèi)連續(xù)，則稱為連續(xù)函數(shù).

注意　連續(xù)函數(shù)的圖像是一條連續(xù)而不間斷的曲線.

例1　f（x）的圖像如下（見圖12-37），判斷哪些是f（x）的間斷點(diǎn)，為什么？

解　從圖像上可以看出，1、3、5是f（x）的間斷點(diǎn).

因?yàn)閒（x）在x=1沒有定義，所以f（x）在x=1間斷；

雖然f（x）在x=3有定義，但不存在，所以f（x）在x=3間斷；

f（x）在x=5有定義，存在，但是，所以f（x）在x=5間斷.

12.6.2　初等函數(shù)的連續(xù)性

連續(xù)函數(shù)的和、差、積、商（分母不為0）和復(fù)合仍為連續(xù)函數(shù)；基本初等函數(shù)在它們的定義區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)的；一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)的.

求初等函數(shù)的連續(xù)區(qū)間就是求其定義區(qū)間.關(guān)于分段函數(shù)的連續(xù)性，除按上述結(jié)論考慮每一段函數(shù)的連續(xù)性外，還必須討論分界點(diǎn)處的連續(xù)性.

例2　求下列函數(shù)的間斷點(diǎn)，并寫出連續(xù)區(qū)間：

解　　（1）為初等函數(shù)，它的間斷點(diǎn)即為無定義點(diǎn)，而在x=2函數(shù)沒有定義，所以x=2是函數(shù)的間斷點(diǎn)，其連續(xù)區(qū)間為（-∞，2），（2，+∞）.

（2）由初等函數(shù)的連續(xù)性知，f（x）在區(qū)間（-∞，1]，[1，+∞）連續(xù)，對于分界點(diǎn)x=1，有：

①f（1）=2，即函數(shù)在x=1有定義；

②，，左右極限不相等，所以不存在；因此f（x）在x=1間斷，x=1是f（x）的間斷點(diǎn)，其連續(xù)區(qū)間為（-∞，1]，（1，+∞）.

（3）由初等函數(shù)的連續(xù)性知，f（x）在區(qū)間（-∞，2），（2，+∞）連續(xù)，對于分界點(diǎn)x=2，有：

①f（2）=1，即函數(shù)在x=2有定義；

極限值不等于函數(shù)值，所以f（x）在x=2間斷，x=2是f（x）的間斷點(diǎn)，其連續(xù)區(qū)間為（-∞，2），（2，+∞）.

12.6.3　函數(shù)的連續(xù)性在求函數(shù)極限中的應(yīng)用

（1）如果f（x）在x0點(diǎn)連續(xù)，則.即如果f（x）在x0連續(xù)，那么就可以用函數(shù)值代替求極限.

例3　求下列極限：

解　①；

（2）假定f（u）在u=a連續(xù)，，則

即在上述條件下，求復(fù)合函數(shù)的極限時(shí)，函數(shù)符號(hào)與極限符號(hào)可以交換次序.

例4　求下列極限：

練一練

求下列極限：

12.6.4　閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)

最值定理　若函數(shù)f（x）在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，則f（x）在[a，b]上必取得最大值和最小值.

這就是說，如果函數(shù)f（x）在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，那么至少有一點(diǎn)ξ1∈[a，b]，使得f（ξ1）是f（x）在[a，b]上的最大值；又至少有一點(diǎn)ξ2∈[a，b]，使得f（ξ2）是f（x）在[a，b]上的最小值（見圖12-38）.

介值定理　若函數(shù)f（x）在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，f（a）≠f（b），且常數(shù)μ介于f（a）與f（b）之間.則存在ξ∈（a，b），使得

f（ξ）=μ

成立，如圖12-39所示.

幾何意義：介于兩條水平直線y=f（a）與y=f（b）之間的任一條直線y=μ，與y=f（x）的圖像曲線至少有一個(gè)交點(diǎn).