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12.5 兩個重要的極限

本章重點知識:

1.重要極限1.

2.等價無窮小及其替換定理.

3.重要極限2.

12.5.1 重要極限1

分析 顯然在x=0無定義且當x→0時,分子、分母的極限均為0.

用計算器計算(x是實數,sin x中x取弧度制),可得表12-7.

表 12-7

從這個表格,我們可以猜測.由圖12-35可知,這個猜測是正確的.

圖 12-35

因此,我們得到重要極限1 .

分析一下這個極限的特征:

(1)極限屬于型;

(2),方框中的變量必須一致,并且要趨向于0.

由此公式可以得出.

例1 求.

例2 求.

例2的結論可以作為公式直接應用.

例3 求.

例4 求.

 令,當x→∞時,t→0,所以.

分析重要極限1,當x→0時,分子、分母的極限均為0,即當x→0時,分子、分母均為無窮小量且,具有這種特性的無窮小量在理論和應用上都非常重要.

12.5.2 等價無窮小及其替換定理

1.等價無窮小

如果當x→x0(或x→∞)時,α、β均為無窮小量,且(或)則稱當x→x0(或x→∞)時,α與β是等價無窮小,記為α~β.

2.等價無窮小替換定理

若當x→x0時,α~α′,β~β′,且存在,則.

此定理對x→∞同樣成立.

上述定理表明求兩個無窮小之比的極限時,分子及分母都可以用等價無窮小來代替,因此可以簡化計算.由重要極限1和本節例2可知,當x→0時,sin x~x,tan x~x.

例5 求.

 x→0時,sin 5x~5x,tan 2x~2x,所以

例6 求.

 x→0時,sin x~x,所以

注意

(1)使用等價無窮小替換時,必須指明x的趨近過程;

(2)等價無窮小之替換只能對分子或分母的因式進行替換,而不能對分子或分母中“+”“-”號連接的某一項替換,否則將可能導致錯誤.

下面給出一些常用的等價無窮小替換.

當x→0時,有

練一練

利用等價無窮小的性質求下列極限:

12.5.3 重要極限2

其中e為無理數,它的值為e=2.71828182845….

特征:(1)底數、指數均有變量,稱為冪指函數;

(2)(1+無窮小量)無窮小量的倒數.

利用代換,當x→∞時,z→0,重要極限2又可以寫成.

例7 求.

例8 求.

例9 求.

例10 求.

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