12.5　兩個重要的極限

本章重點知識：

1.重要極限1.

2.等價無窮小及其替換定理.

3.重要極限2.

12.5.1　重要極限1

分析　顯然在x=0無定義且當x→0時，分子、分母的極限均為0.

用計算器計算（x是實數，sin x中x取弧度制），可得表12-7.

從這個表格，我們可以猜測.由圖12-35可知，這個猜測是正確的.

因此，我們得到重要極限1　.

分析一下這個極限的特征：

（1）極限屬于型；

（2），方框中的變量必須一致，并且要趨向于0.

由此公式可以得出.

例1　求.

例2　求.

例2的結論可以作為公式直接應用.

例3　求.

例4　求.

解　令，當x→∞時，t→0，所以.

分析重要極限1，當x→0時，分子、分母的極限均為0，即當x→0時，分子、分母均為無窮小量且，具有這種特性的無窮小量在理論和應用上都非常重要.

12.5.2　等價無窮小及其替換定理

1.等價無窮小

如果當x→x0（或x→∞）時，α、β均為無窮小量，且（或）則稱當x→x0（或x→∞）時，α與β是等價無窮小，記為α～β.

2.等價無窮小替換定理

若當x→x0時，α～α′，β～β′，且存在，則.

此定理對x→∞同樣成立.

上述定理表明求兩個無窮小之比的極限時，分子及分母都可以用等價無窮小來代替，因此可以簡化計算.由重要極限1和本節例2可知，當x→0時，sin x～x，tan x～x.

例5　求.

解　x→0時，sin 5x～5x，tan 2x～2x，所以

例6　求.

解　x→0時，sin x～x，所以

注意

（1）使用等價無窮小替換時，必須指明x的趨近過程；

（2）等價無窮小之替換只能對分子或分母的因式進行替換，而不能對分子或分母中“+”“-”號連接的某一項替換，否則將可能導致錯誤.

下面給出一些常用的等價無窮小替換.

當x→0時，有

練一練

利用等價無窮小的性質求下列極限：

12.5.3　重要極限2

其中e為無理數，它的值為e=2.71828182845….

特征：（1）底數、指數均有變量，稱為冪指函數；

（2）（1+無窮小量）無窮小量的倒數.

利用代換，當x→∞時，z→0，重要極限2又可以寫成.

例7　求.

例8　求.

例9　求.

例10　求.