6.2　向量的坐標形式及其線性運算

本節重點知識：

1.數軸上向量的坐標及其運算.

2.向量的直角坐標及其運算.

3.平移公式和中點公式.

6.2.1　數軸上向量的坐標及其運算

向量的幾何表示，具有形象、直觀的特點，但在計算上卻不夠方便、準確.下面我們學習向量的另一種表示方法——向量的坐標表示法.

首先我們研究數軸上的向量.

如果是數軸上的向量，它的起點在原點，那么向量與終點P之間，存在著一一對應關系.如果數軸的單位向量為，根據向量平行的充要條件，必然有一個實數x，使得而且x值隨著點P位置的不同而不同，就是說向量點P，實數x三者之間是一一對應的.因此，我們可以用這個實數x的值表示向量.這時，我們就把實數x稱做向量在數軸上的坐標.也稱點P在數軸上的坐標.

例如向量，向量在數軸上的坐標是3，點A在數軸上的坐標也是3；向量時，向量在數軸上的坐標是-5，點B在數軸上的坐標也是-5.

當數軸上的向量的起點A不在原點時，如果在數軸上坐標分別為xA，xB，則不論A，B，O三點位置如何，都有于是

上面我們研究了數軸上的向量如何用坐標表示.接下來研究數軸上向量的長度與方向和坐標的關系.

當數軸上的向量起點在原點，坐標為x時的長度，的方向由x的符號確定.x>0時，表示與的方向相同；x<0時，表示與的方向相反.

當數軸上的向量起點不在原點，而點A和點B的坐標分別為xA和xB時，當xB-xA>0時，與的方向相同；當xB-xA<0時，與的方向相反.

例1　已知：數軸的單位向量為，點A，B在數軸上的坐標分別為7，-1.求：

對于數軸上的向量，我們可以利用它們的坐標來進行線性運算.

設是數軸上的向量，它們在數軸上的坐標分別為x1，x2，則

由此我們可以得到以下結論：

（1）數軸上兩個向量的和的坐標等于這兩個向量的坐標的和；

（2）數軸上兩個向量的差的坐標等于被減向量的坐標減去減向量的坐標；

（3）實數k與數軸上向量的乘積的坐標等于這個向量坐標的k倍.

例2　已知數軸上的向量與的坐標分別為4和-3，求下列向量在數軸上的坐標.

解　（1）在數軸上的坐標是2×4+6×（-3）=-10；

（2）在數軸上的坐標是5×4-3×（-3）=29.

練習

1.已知數軸的單位向量為，點A，B，C在數軸上的坐標分別為-4，2，3，求：

2.已知數軸上的向量當起點M的坐標為下列數值時，求N的坐標.

（1）xM=0；　?。?）xM=2；　　（3）xM=-3.

3.已知數軸上向量的坐標分別為-7，4，求下列向量在數軸上的坐標.

6.2.2　向量的直角坐標及線性運算

在平面上，建立一個直角坐標系xOy，設x軸上的單位向量為，y軸上的單位向量為，則x軸上的向量總可以表示成x的形式，y軸上的向量總可以表示成y的形式，其中x，y分別是它們在數軸上的坐標.

設是直角坐標平面上任一向量.如圖6-16所示，以AC為對角線，做一矩形ABCD，使AB，AD分別與x軸，y軸平行，則向量為x軸上的向量，為y軸上的向量.因此，它們可以分別表示為x與y.由向量加法的平行四邊形法則可以知道，，即

事實上，我們可以證明，平面直角坐標系中的任一向量都可唯一地表示成一個x軸上的向量與一個y軸上的向量相加的形式.即

我們把稱做的坐標形式，把稱做在x軸上的分向量，y稱做在y軸上的分向量.把有序實數對（x，y）稱做向量c在直角坐標系中的坐標，記做，其中x稱做的橫坐標，y稱做的縱坐標.

例如，就說的坐標是（-2，3），可寫做就說的坐標是（0，0），可寫做

例1　根據向量的坐標形式，寫出它們的坐標：

兩個向量相等的充要條件是它們的橫、縱坐標分別相等.即

如果那么且y1=y2.

例2　已知向量，且求m，n的值.

解　根據已知，且由向量相等的充要條件，得解之，得m=1，n=1.

利用向量的坐標進行向量的線性運算，更加準確、簡便.

例3　已知計算：（1）（2）（3）

從例3中，不難看出，向量的線性運算，實質上是向量坐標之間的運算.

一般地，若，則有

想一想

怎樣用語言表述上面三個運算法則？

例4　已知，，，求

例5　已知向量

求證：（1）若x1y2-x2y1=0，則（2）若則x1y2-x2y1=0.

證明　（1）因為，即x1，y1不全為0，不妨設x≠0，則由x1y2-x2y1=0，得

設，則x2=kx1，y2=ky1.

所以（x2，y2）=（kx1，ky1）=k（x1，y1），

即

所以

（2）因為

所以，

即?。▁2，y2）=k（x1，y1）=（kx1，ky1）.

根據向量相等的條件，有x2=kx1，且y2=ky1

又因為即x1，y1不全為0，不妨設x≠0，

所以代入y2=ky1，

得，即x1y2-x2y1=0.

練習

1.已知向量，寫出它們的坐標：

2.已知向量的坐標，寫出它們的坐標形式：

（1）（-2，3）=；　?。?）______=；

（3）=______；　　（4）（0，5）=______；

（5）（2，5）=______；　?。?）（0，-3）______=；

（7）（2，0）______=.

3.已知，且，則m=______，n=______.

4.已知，計算：

5.已知時，求下列x的值.

6.2.3　平移公式和中點公式

我們把起點在原點的向量稱做位置向量.顯然，每個位置向量由它的終點唯一確定.

在圖6-17中，設P點坐標為（x，y），則向量

就是說位置向量的坐標等于它的終點坐標.

在圖6-18中為平面上任一向量，設A，B兩點的坐標分別為（x1，y1），（x2，y2），那么向量于是根據向量減法的三角形法則，得到

就是說，平面上任一向量的坐標等于它的終點的坐標減去起點的坐標.

例1　已知點M，N的坐標分別為（7，-2）和（-3，1），求向量和的坐標.

例2　如圖6-19所示，已知?ABCD的頂點A，B，C的坐標分別是（1，-2），（3，0），（-1，3），求頂點D的坐標.

解　點D的坐標就是向量的坐標，而

所以D點坐標為（-3，1）.

我們知道，一個平面向量經過平行移動，它的長度、方向均不會改變，其坐標也沒改變.但是，它的起點、終點坐標卻都發生了變化.

如圖6-20所示，設向量的起點在原點，終點P的坐標為（x，y），我們讓平行移動，使其起點從原點O（0，0）移到A（a，b），這時，其終點從P（x，y）移到了B（x′，y′）.

所以（x′，y′）=（a，b）+（x，y）=（a+x，b+y）

我們稱之為平移公式.

想一想

當向量起點從（a，b）移到（0，0）時，向量的終點從（x′，y′）移到何處？

例3　（1）將向量的起點從（0，0）移到（1，2），求終點坐標；

（2）向量的起點從（0，0）移到A點后，終點坐標是（2，-1），求A點坐標.

解　（1）這里x=-3，y=4，a=1，b=2.

根據平移公式，得

x′=x+a=-3+1=-2，　y′=y+b=4+2=6.

所以，平移后向量的終點坐標為（-2，6）.

（2）這里x=5，y=-3，x′=2，y′=-1.

根據平移公式，得

a=x′-x=2-5=-3，　b=y′-y=-1-（-3）=2.

所以，A點坐標為（-3，2）.

如果線段AB的兩個端點A，B的坐標分別為（x1，y1），（x2，y2），設AB的中點M的坐標為（x，y），顯然有，

其中

于是x-x1=x2-x，y-y1=y2-y.

即

我們稱之為中點公式.

例4　計算下列各題：

（1）已知A（3，-1），B（-5，7），求AB的中點M的坐標；

（2）已知A（4，-2），B（m，n），AB的中點M的坐標為（-2，6），求m，n.

解　（1）設M（x，y），根據中點公式，得

所以M點坐標為（-1，3）.

（2）根據中點公式，得

解之，得m=-8，n=14.

練一練

直接寫出連結下列兩點的線段的中點坐標：

（1）A（3，-3），B（-1，5），則中點M為（?。?；

（2）C（4，-6），D（-3，2），則中點M為（?。?/p>

（3）P（-3，5），Q（7，3），則中點M為（　）；

（4）O（0，0），E（a，b），則中點M為（　）.

練習

1.已知M，N兩點的坐標，求的坐標.

（1）M（4，2），N（-1，-3）；　?。?）M（-5，3），N（0，1）；

（3）M（1，2），N（2，3）；　?。?）M（-1，-2），

2.已知A，B的坐標分別為（2，-3），（4，1），把的起點移到（-2，1）后，求B點的新坐標.

3.已知點M（3，2）和點P（4，-1），求點M關于點P的對稱點N的坐標.