6.1　向量的幾何形式及其線性運算

本節重點知識：

1.平面向量.

2.向量的加法與減法運算.

3.數乘向量.

4.向量平行的條件.

6.1.1　平面向量

在現實生活中，存在兩種類型的量，一種量，如溫度、質量、時間、面積等，它們都可以由一個實數值來確定.例如，溫度是-3℃，質量是5g，時間是10s，面積是4cm2等.而另一種量，如位移、力、速度等，它們不僅有數值的大小，而且還具有方向的意義.例如，當我們說某物體受到2N力的作用時，還必須要同時指出這個力的作用方向.

為了區別這兩種量，我們把只有數值大小的量稱做數量（或標量），把既有數值大小又有方向的量稱做向量（或矢量）.

這里所說的向量，是對眾多具體的物理向量的抽象概括，它原來具有什么物理意義，已經不重要.這里，我們只注意它們共同具有的數學特征——數值和方向.

表示向量的最形象、直觀的方法是借用標有箭頭的線段.如圖6-1所示，線段AB，并畫有箭頭指向B，表示平面上一個動點由A移動到B.我們把點A稱做起點，點B稱做終點.這種規定了起點和終點的線段稱做有向線段.

以A為起點、B為終點的有向線段記作（字母要按照起點在前，終點在后的順序寫）.這樣和就表示兩條不同的有向線段.

用有向線段表示向量稱做向量的幾何表示.這時，我們就把有向線段稱做向量.

向量有時也用一個標有箭頭的字母表示，如等.

表示向量的有向線段的長度，稱做向量的模，記做.相應的，向量的模記做，向量的模記做.向量的模是一個數量（標量），是非負實數.向量的模也稱做向量的長度.

兩個向量如果模相等，方向也相同，那么我們說這兩個向量相等，向量與相等，記做，如圖6-2（a）所示.由于我們所研究的向量只含有兩個要素——大小和方向，所以用有向線段表示向量時，與它的起點位置無關.

兩個向量如果模相等，方向卻相反，那么我們說這兩個向量互為逆向量的逆向量記做，如圖6-2（b）所示.因為，并且的方向與的方向相反，所以與互為逆向量，因此

想一想

1.如圖6-3（a）所示，在等腰梯形ABCD中，兩個底 和 互為逆向量嗎？兩腰 和 相等嗎？如果E是 的中點，且 ，請你畫出向量 和 ，并指出 和 的關系 和 的關系.

2.如圖6-3（b）所示，設O為正六邊形ABCDEF的中心，分別寫出圖中與 相等的向量.

當向量的終點和起點重合時，向量便成為一個點，我們稱它為零向量，記做零向量的模等于0，即，零向量的方向是任意的（即不確定），因此，我們規定：所有的零向量都相等.

長度為1的向量稱做單位向量.即如果是單位向量，則

兩個非零向量與方向相同或相反，我們就說這兩個向量互相平行，記做平行向量又稱共線向量.

例1　如圖6-4所示，在?ABCD中，分別寫出：

（1）與向量相等的向量；

（2）向量的逆向量.

解　（1）根據平行四邊形的性質及相等向量的概念，有

（2）的逆向量是

例2　選擇題：

是的（　）.

（A）充分且不必要條件　　（B）必要且不充分條件

（C）充要條件　　（D）既不充分也不必要條件

分析　根據向量相等的定義，如果，那么且方向相同；如果且方向相同，那么，可知僅僅是的必要且不充分條件.

答案　B.

想一想

判斷下列表述的正誤，若錯誤，請說明理由.

（1） 　　（2）因為 是單位向量，所以

（3）若有 成立，則一定有 成立；

（4）因為 是單位向量，所以

練習

1.選擇題：

（1）下列說法不正確的是（　）.

A.零向量沒有方向　　B.零向量與任意一個向量平行

C.零向量的起點和終點重合　　Ｄ.零向量的方向任意

（2）下列關于共線向量說法正確的是（　）.

A.若有，則　　B.互為逆向量的兩個向量一定是共線向量

C.相等向量不一定是共線向量　　D.平行向量和共線向量概念不同

2.解答題：

已知四邊形ABCD為等腰梯形，AB//DC，AD=BC.

①寫出與向量共線的向量；

②確定向量與向量的關系.

6.1.2　向量的加法與減法運算

看下面的例子：

如圖6-5所示，某人從A地向東行進5km，到達B地，再從B地向北行進5km，到達C地，這時從A地看，此人恰好在東北方向km處.

我們看到，此人連續做了兩次位移和，從而使他由A地到達了C地.其效果與由A地向東北方向行進km（即）是一樣的.在物理中稱是與的合成位移.這里，把向量稱做向量與的和，即

由此，得出向量加法的一個法則

如果和為已知向量，在平面上任取一點A.以A為起點，做向量，再以B為起點做，令，則稱做與的和.記做

這個法則就是向量加法的三角形法則，如圖6-6所示.

練一練

根據三角形法則，畫出圖6-7中 與 的和.

練一練

在上面三角形法則的作圖中，如果以A為起點做向量（見圖6-8），則由可知，四邊形ABCD為平行四邊形，向量與是這個平行四邊形的兩條鄰邊與的和恰好是?ABCD的一條對角線.這樣就得到了向量加法的平行四邊形法則：

如果和為已知向量，在平面上任取一點A，以A為起點，以和為鄰邊做平行四邊形，則在這個平行四邊形中，以A為起點的對角線所表示的向量，稱做與的和.

在圖6-8中我們看到由三角形法則有所以即同時驗證了向量加法滿足交換律.

向量加法也滿足結合律，即請讀者自行驗證.（提示：在任意四邊形ABCD中，設

由于向量加法滿足交換律、結合律，所以把稱做向量的和.

三個向量的和可以依照三角形法則得到：把三個向量首尾順次連接，則由第一個向量的起點到第三個向量的終點的向量就是三個向量的和，如圖6-9所示.

練一練

不畫圖，直接寫出各題的結果：

向量減法是向量加法的逆運算.如果兩個向量與的和等于，即，那么，我們把稱做與的差，記做

根據向量加法的三角形法則，與的差可以這樣去求：在平面上任選一點A，做向量則向量就是所求的差

注意

（1）兩個向量是以同一點為起點做出的；

（2）兩個向量的差是兩個向量終點之間的向量；

（3）差向量的箭頭指向被減的向量.

練一練

已知向量 和 （見圖6-10），請分別畫出 和

例　驗證

證明　如圖6-11所示，在?ABCD中，設，，則

分別在△ABC和△ACD中，利用三角形法則，得

而　　

所以 由此得出：減去一個向量，等于加上這個向量的逆向量.這是向量減法的又一個法則，依照它，可以把向量減法問題轉化為加法問題.

練習

1.選擇題：

（1）以下說法不正確的是（　）.

A.向量相加滿足首尾相接　　B.向量相減滿足首首相接

C.向量的平行移動不改變方向和大小　　D.當向量不是首尾相接時不可以進行加法

（2）以下說法正確的是（　）.

A.向量加法的三角形法則的條件是剛好滿足首尾相接

B.

C.向量的減法必須是同一起點才可以進行減法運算

D.無論兩個向量方向如何最后都可以通過平移進行加減法運算

2.計算：

（1）求下列各個小題中的和向量：

（2）求下列各個小題的差向量：

（3）求下列加法與減法混合運算：

6.1.3　數乘向量

看下面的例子：

甲、乙二人朝同一方向用力拉一物體，甲用力記做，而乙所用力的大小是甲的2倍，這時，可以把乙所用的力表示成

這就是數乘向量的運算.

一般地，實數k與向量的積稱做數乘向量，記做.并有以下規定：

（1）k=0時，為零向量，即；

（2）k≠0時，的模是的模的|k|倍，即當k>0時，與的方向相同；當k<0時，與的方向相反.

例1　已知向量，分別做出向量

解　如圖6-12所示，向量表示，向量表示，向量表示

練一練

根據數乘向量的意義填空：

和實數之間相乘一樣，實數與向量相乘，也滿足結合律和分配律：

數乘向量的這些性質，可以通過圖6-13可以得到驗證.

例2　已知?ABCD對角線相交于O點，如圖6-14所示，若用表示向量

解　因為

O是AC，BD的中點，所以

或者由向量的平行四邊形法則，直接得到

例3　計算

解　根據運算律，有

例4　已知，求未知向量.

解　去括號，得

移項，得

合并同類項，得

系數化為1，得

向量的加法、減法以及數乘向量運算，統稱為向量的線性運算.它們的運算法則在形式上很像實數加減法與乘法滿足的運算法則，當然向量的運算與實數的運算在具體含義上是不同的，但是由于它們在形式上相像，因此實數運算中的去括號、移項、合并同類項等變形手段在向量的線性運算中都可以使用.

練習

1.選擇題：

（1）當非零向量和反方向，k需要滿足什么條件（　）.

A.k>1　　B.k<1　　C.k>0　　D.k<0

2.計算：

3.求未知向量

6.1.4　向量平行的條件

定理　兩個非零向量平行的充要條件是，其中λ是不為零的實數.

證明　（1）充分性.

因為且是非零向量.

由數乘向量的定義知道：

當λ>0時，與方向相同；

當λ<0時，與方向相反.

這表明λ是不為零的實數時

即

（2）必要性.

如果與平行，那么，與方向相同或相反.

當與同向時，設取此時有

因為λ>0，

所以與方向相同.

又因為與方向相同.

所以與方向相同.

因此

當與反向時，設取類似地可以證明

例1　已知且

求證：

證明　因為與同向，

所以且與同向.

所以

例2　已知：如圖6-15所示，M，N分別是△ABC的AB和AC邊上的點，且

求證：MN∥BC.

分析　為了證明MN∥BC，根據向量平行的定理，只要證明可以寫成λ的形式即可.

證明　由已知條件，得

所以

即

練習

判斷題：

（1）如果，那么與方向相同或相反.（　）

（2）若有，則一定有成立.（　）

（3）兩個非零向量，平行的充要條件是（　）

（4）因為，為非零向量，當，λ<0時與方向相反.（　）