6.3　向量的數量積及其運算法則

本節重點知識：

1.向量的數量積.

2.向量數量積的坐標運算.

6.3.1　向量的數量積

在物理學中，一個物體在力的作用下，產生位移，若與之間的夾角為θ，則所作的功W是

這里功W是一個數量，它由向量和的模及其夾角余弦的乘積來確定.像這樣由兩個向量的模及其夾角余弦的乘積確定一個數量的情況，在其他一些問題中也會遇到，如物理學中的功率等.

若將兩個非零向量，，設為則把射線OA與射線OB所組成的不大于π的角稱做與的夾角，記做顯然

在數學中，我們將兩個非零向量的模與它們的夾角θ的余弦的乘積定義為與的數量積（又稱做內積），記做

其中θ表示

從而也可以表示成

注意　兩個向量數量積的結果是一個實數，可能是正數，可能是負數，也可能是零.

想一想

如果 是兩個非零向量，那么在什么條件下有以下結論：

練一練

（1）如果 ，那么 _________；

（2）如果 ，那么 _________.

例1　根據下列條件分別求出

解　（1）因為

將已知條件代入，得

所以

又因為

所以

（2）因為

將已知條件代入，得

所以

又因為

所以

向量的數量積運算滿足交換律和分配律，即

但它不滿足結合律，即

當實數與向量相乘時，滿足結合律，即

例2　已知計算：

練習

1.已知分別是平面直角坐標系中x軸和y軸上的單位向量，分別計算：

2.根據下列條件，求：

3.已知求

4.已知計算：

6.3.2　向量數量積的坐標運算

設向量的坐標為（x1，y1），即向量的坐標為（x2，y2）即則

所以

就是說，在直角坐標系中，兩個向量的數量積等于它們的橫坐標之積與縱坐標之積的和.

例1　已知求

當兩個向量垂直時，夾角為，此時有

反之，若非零向量的數量積為0，即則必然有cosθ=0，即

故有

如果則有

例2　判斷下列各題中的向量與是否垂直：

所以　與不垂直.

如果那么

所以　

就是說，利用向量坐標，我們可以計算出它的模.

練一練

算出下列各向量的模：

（1）若 ，則

（2）若 則

（3）若 則

如果點A坐標為（x1，y1），點B坐標為（x2，y2）

于是向量的模

由于的模就是點A和點B的距離，所以我們得到平面上兩點間的距離公式

例3　已知A（8，-1），B（2，7），求.

例4　已知點A（-3，-7），B（-1，-1），C（2，-2），求證：△ABC是直角三角形.

分析　可以通過判斷某兩邊互相垂直，證得△ABC是直角三角形；也可以利用勾股定理的逆定理證得結論.

證法1：根據已知，得

即∠ABC=90°.所以△ABC是直角三角形.

證法2：根據已知，得

即　CA2=AB2+BC2.所以△ABC是直角三角形.

練習

1.求的值，當：

2.已知M（6，4），N（1，-8），求

3.已知A（-4，7），B（5，-5），求