（一）分數的運算

01．一次小小的游戲

“我沒有一美分的零幣。”漢克說完，一邊叮當地敲著他的錢幣一邊問本恩，“你有多少？”

本恩查看了一下，回答道：“正好五枚。”

“我想我們可以來做一個小小的游戲。”漢克一邊說一邊開始分牌。規定是這樣的：第一局輸的人，輸掉他的錢幣的五分之一；第二局輸的人，輸掉他那時擁有的錢幣的四分之一；而第三局輸的人，則需支付他當時擁有的錢幣的三分之一。

于是他們開始玩了，并且互相間準確付了錢。第三局本恩輸了，付完錢后他站起來說：“我覺得這種游戲投入的精力過多，回報太少。直到現在我們之間的錢數，總共也只相差七美分。”

這自然是很小的游戲，因為他們的錢合起來一共也只有75美分。

試問，在游戲開始的時候，漢克有多少錢呢？

提示：美分是最小的單位，不能再分。

解析：假設游戲結束后，漢克的錢是x美分，本恩的錢是（75-x）美分。

根據題意知：

或者：

根據①式得到：游戲結束之后，漢克的錢是41美分，本恩的錢是34美分；根據②式得到：游戲結束之后，漢克的錢是34美分，本恩的錢是41美分。

再設第二局的結果也就是第三局開始時，漢克有y美分，本恩有（75-y）美分。

根據題意知：

或者：

根據③式解得第3局開始時，漢克有24美分，本恩有51美分。根據④式解得第3局開始時，漢克有13.5美分，本恩有61.5美分。這與“我沒有一美分的零幣”不符合，舍去。

那么現在就可以確定，漢克輸了第二局，漢克在第三局開始的時候，錢數是24美分。

24×=32（美分）

75-32=43（美分）

第一局輸的人開始的錢數應該是他第二局開始錢數的，所以只能是漢克第一局輸了。所以他一開始的錢數應該是：

32×=40（美分）

值得說明的是第一局開始：漢克有40美分，本恩有35美分；第二局開始：漢克有32美分，本恩有43美分；第三局開始：漢克有24美分，本恩有51美分；游戲結束時：漢克有41美分，本恩有34美分。

02．畢達哥拉斯有多少學生

畢達哥拉斯生于靠近小亞細亞海岸的薩摩斯島，據說曾就學于泰勒斯。他是古希臘的數學家、天文學家和哲學家，對數學的發展做出了卓越的貢獻，最著名的是他與他的學生發現并證明了“畢達哥拉斯定理”（在我國稱為“勾股定理”）。畢達哥拉斯認為數不能離開感覺到的對象而獨立存在，一切對象都由整數組成，他提出了“萬物皆數”的概念，他把數學研究抽象化，認為宇宙間的一切現象都能歸結為整數與整數之比。他并不把數與幾何上的點區分開來，因此他從幾何角度把一個數看作是擴大了的一個點或是很小的一個球。他常把數描繪成沙灘上的沙子或是小石子，按沙子或是小石子所能排列而成的形狀把數進行分類。例如，1，3，6，10，…這些數叫作三角數，并且認識到1，1+2，1+2+3，…這些數的和也是三角數，計算出1+2+3+…+n=。同時，也給出了正方形數的通項公式：（n+1）2，證明方法同樣使用了三角形數，即把一個正方形數分成兩個三角形數，如下圖所示。

畢達哥拉斯所說的數僅指整數，他不把兩個整數之比看成一個分數或是另一類數，當他發現一個量不能用整數表達時，常常會感覺到不安。

古希臘人對數學最大的貢獻是堅持一切數學結果必須根據規定的公設和公理，公設和公理都被人當作不成問題的真理加以接受，用演繹法推理。但畢達哥拉斯幾何里沒有證明這一問題，最合理的結論是：在大部分時間里，他們是根據一些特例來肯定所得的結果。

公設

1．從任意一點到另外任意一點可作直線。

2．一條有限直線可以繼續延長。

3．以任一點為圓心、任一距離為半徑可作圓。

4．所有直角彼此相等。

5．若一直線與兩直線相交，且若同側所交兩內角之和小于直角，則兩直線無限延長后必相交于該側的一點。

公理

1．與同一量相等的量彼此相等。

2．等量加等量，其和仍相等。

3．等量減等量，其差仍相等。

4．彼此能重合的物是全等的。

5．整體大于部分。

一次，有人問畢達哥拉斯有多少學生，他的回答卻是一道有趣的數學題：我的學生一半學數學，四分之一學音樂，七分之一沉默無言，此外，還有三名女生。請你算一算，畢達哥拉斯究竟有多少名學生？

解析：

（名）

答：畢達哥拉斯有28名學生。

03．阿摩斯趣題

有人問一個趕著70頭牛到牧場放牧的人：“你趕來的這些牛，占全部家畜的多少？”

牧人答：“我趕來的牛是家畜的的。”問：牧人家有多少家畜？

解析：的是，全部家畜的是70頭，全部家畜為：

70÷=315（頭）

答：牧人家有315頭家畜。

小知識：

當美索不達米亞地區的民族不斷更替變化，從而接受新的文化影響之時，埃及的文明卻在不受外來勢力的影響下獨自發展，這種發展是受到尼羅河的恩惠。

埃及的數學資料保留下來的很少，現存的主要原始資料是幾本紙草書，其中最著名的紙草書就是蘭德紙草書。雖然這些紙草書的撰寫年代在公元前1700年左右，但其中所含的數學知識是埃及人早在公元前3500年就已經知道的，而從那時起，直到希臘人征服埃及以前，他們在數學方面已很少增加新的知識。

通過紙草書我們可以看到當時埃及人在數學方面并不像與之相鄰的美索不達米亞人那樣內行，不能表明他們在數學方面達到了很高的水平。人們常常把早期的數學思想歸功于美索不達米亞人與希臘人。希臘數學中一個重要的人物泰勒斯在埃及受過教育，后來畢達哥拉斯也在埃及受過教育。

埃及人的算術要比其鄰邦美索不達米亞人的算術原始得多，那時的埃及人甚至沒把乘法當作一種算法處理。為了得到兩個數的乘法，他們先把其中的一個數加倍，然后再把從某些中間步驟中得到的結果加起來。例如，計算5×80，他們先計算2×80，然后把兩個這個算式相加，得到4×80，最后把1×80與4×80相加，得到5×80的值。

在埃及的代數中，他們把未知量稱為“堆”（heap），因此，問題往往先用“堆”的形式表示出來，然后再求解。下面是著名的埃及數學文本蘭德紙草書中記錄的一個問題：若一堆和堆加起來是19，那么堆的值是多少？用現在的符號可以寫成方程：，線性方程就起源于這類問題。埃及人認識到這樣的問題具有挑戰性，值得去研究。

埃及數學的一個最主要的特點是：在幾千年的歲月長河中，它似乎一直都滿足于埃及人的需要。埃及所獲得的成就似乎都是在一個非常簡單的數學體系下實現的。顯然，埃及人對這個簡單的體系相當滿意。

04．思立哈拉趣題

有一群蜜蜂，其中落在杜鵑花上，落在梔子花上，還有一些蜜蜂向月季花飛去，它的數量等于杜鵑花和梔子花上蜜蜂數目之差的3倍。最后一只蜜蜂在芳香的茉莉花和玉蘭花之間飛來飛去，求共有多少只蜜蜂？

解析：

本題關鍵在于找出最后一只蜜蜂占全部蜜蜂的比例，因為：

杜鵑花上的蜜蜂是：全部的

梔子花上的蜜蜂是：全部的

月季花上的蜜蜂是：全部的

茉莉花和玉蘭花之間的蜜蜂是：1只

最后一只蜜蜂占全部蜜蜂的比例是：

蜜蜂總數：（只）

答：共有15只蜜蜂。

05．薩姆·勞埃德的磚重趣題

如果一塊磚與四分之三塊磚加四分之三磅等重（如圖所示），則磚重幾何？

解析：

一塊磚與四分之三塊磚加四分之三磅等重，即四分之一塊磚和四分之三磅等重，所以，一塊磚重：

=3（磅）

答：一塊磚重3磅。

06．唐士陶趣題

英國著名數學家唐士陶1522年出了一道題：一塔沉在河里，有沉入地層中，在水中，露出水面的有60英尺。問這座塔在地層中、在水中的部分有多少英尺？

解析：

該塔露出水面的高度占塔的比例為：所以塔高為：（英尺）

塔在地層中的部分為：（英尺）

塔在水中的部分為：（英尺）

07．亞洛布趣題

兩個城市相距260英里，兩名使者在同一時間各從一個城市出發，相向而行。一個人比另一個人每天多走2英里，12天后兩人相遇。那么兩個使者每天各走多少英里？

解析：兩名使者一天共走：（英里）

走路少的使者一天走：（英里）

走路多的使者一天走：（英里）

答：兩個使者每天各走英里、英里。

08．公主出題

傳說捷克的公主柳布莎出過這樣一道有趣的題：“一只籃子中有若干李子，取它的一半又一個給第一個人，再取其余的一半又一個給第二個人，又取最后所余的一半又三個給第三個人，這時籃內的李子沒有剩余的了，問籃中原有李子多少個？”

解析：從“又取最后所余的一半又三個給第三個人，這時籃內的李子沒有剩余的了”可知，第三個人得到李子3÷=6（個），若第二個人不又拿一個，則第一個人拿完剩下的李子是（6+1）×2=14（個），若第一個人不又拿一個，則李子總數是（14+1）×2=30（個）。

答：籃中原有李子30個。

09．野牛遷居

一群野牛居住在森林里。它們準備要遷居，于是野牛王把野牛召集在了一起，但發現缺席只數是出席只數的，它很生氣，剛要批評時，又跑來1只野牛，這時缺席只數是出席只數的，問這群野牛有多少只？

解析：“缺席只數是出席只數的”，也就是缺席只數是總數的。同理，又跑來1只野牛后，缺席只數是出席只數的，缺席只數是總數的。從而知道一只野牛占總數的。

所以，這群野牛有：（只）。

10．歐拉的賣雞蛋問題

歐拉的著作中還有這樣一道有趣的題目：兩個農婦帶100個雞蛋去市場上賣。兩人所帶雞蛋個數不等，但賣得的錢數相同。第一個農婦對第二個農婦說：“如果咱們兩人的雞蛋交換，我可以賣得15個克羅索（德國古代的一種貨幣）。”第二個農婦答道：“可是如果咱們倆的雞蛋交換，我就只能賣得個克羅索。”試問：這兩個農婦各帶了多少個雞蛋？

解析：（1）算術方法。

這兩個農婦帶的雞蛋個數不等，但賣得的錢數相等，說明她們所帶的雞蛋的個數與她們賣雞蛋的單價成反比。另外，交換雞蛋后第一個農婦賣得的錢比第二個農婦多，說明原來第一個農婦所帶的雞蛋比第二個農婦少，而且，交換雞蛋的個數并按各自的單價出售所得的錢數之比應為二人所帶雞蛋個數之比的平方。于是，由可知，兩人所帶的雞蛋個數之比為3∶2。因而，第一個農婦帶的雞蛋為：（個）。

第二個農婦帶的雞蛋為100-40=60（個）。

（2）代數方法。

設第一個農婦帶了x個雞蛋，則第二個農婦帶了（100-x）個雞蛋，她們兩人賣雞蛋的單價分別為與。

由于兩個人賣得的錢數相同，故有方程

顯然應為正值，故上式兩邊開方可得。

利用合比定理（若，則）可得：

即

x=40

100-40=60（個）

答：第一個農婦帶了40個雞蛋，第二個農婦帶了60個雞蛋。

注：萊昂哈德·歐拉（Leonhard Euler，1707-1783年），瑞士數學家，歷史上最偉大的數學家之一。天才、全才、多產、勤奮是歐拉的標簽。數學中很多名詞以歐拉的名字命名，比如，歐拉常數、歐拉方程、歐拉恒等式、歐拉示性數，等等，我們今天學習和使用的很多數學符號都是歐拉創設的，例如，π，i，e，sin，cos，△x，Σ，f（x）等。作為人類最有影響力、最多產的數學家，歐拉在數學上的地位是崇高的，無人能撼動的，但作為世界頂尖的數學家，他也有他的遺憾。歐拉一生成果豐富，但是他從來沒有創造過屬于自己的鄰域，或者說沒有開創一門新的數學分支，他的工作都是在深化和細化別人的工作，從而取得巨大成果。

我介紹高等分析的時候，它還是個孩子，而你正在將它帶大成人。

——約翰·伯努利

讀歐拉的著作吧，在任何意義上，他都是我們所有人的老師。

——皮埃爾-西蒙·拉普拉斯

11．渦卡諾夫斯基的算術題

一只狗追趕一匹馬，狗跳6次的時間，馬只能跳5次，狗跳4次的距離和馬跳7次的距離相同。馬跑了5.5千米以后，狗開始在后面追趕，馬又跑了多長的距離，才被狗追上？

解析：設狗跳4次的距離為S。

單位時間（狗跳6次的時間）內狗跑的距離=6×（S/4）。

相同時間（狗跳6次的時間）內馬跑的距離=5×（S/7）。

則相同時間內，狗比馬多跑的距離L=6×（S/4）-5×（S/7）=11×S/14

狗要追5.5千米需要的時間是T=5.5/L=5.5/（11×S/14）=7/S

這段時間內，馬跑的距離是T×5×（S/7）=7/S×5×（S/7）=5（千米）

答：馬又跑了5千米，才被狗追上。

12．印度古題

將某數乘5，從所得的積中減去乘積的，余數再除以10，然后依次加上原數的，和，最后得68，求某數。

解析：

這題若用現在的代數方法解，很容易列出方程求解。對于初中學生來說是容易的事。我們仔細分析后得知，只要用小學的算術方法就可簡便解出。

我們先設法求出原數的五倍，從乘積中減去，則剩下的數是乘積的，余數再除以10，即將乘積的，依次加上原數的，和，實際上就是加上乘積的，和，因此乘積的（是68，所以，乘積應等于。

240是原數的5倍，所以原數為240÷5=48。

13．俄羅斯古題

獅子1小時吃完1只羊，老虎2小時吃完1只羊，豺狗3小時吃完1只羊。問獅子、老虎和豺狗一起吃，1小時吃幾只羊？吃一只羊需要多少時間？

解析：（用算術方法解）我們可先考慮6小時（因為在6小時里獅子、老虎和豺狗吃羊的只數都是整數）的情況：6小時獅子吃完6只羊，老虎吃完3只羊，豺狗吃完2只羊，因此，獅子、老虎和豺狗一起吃，6小時吃完6+3+2=11（只）羊，所以1小時吃只羊，吃一只羊所需時間為小時。

也可按下列式計算：

（1）獅子、老虎和豺狗一小時吃幾只羊？

（只）

（2）獅子、老虎和豺狗吃一只羊需要多少時間？

（小時）

14．五樽均酒

有五個酒樽（盛酒器），容量各不等。若乙樽之酒傾于甲樽，丙又傾于乙，丁又傾于丙，戊又傾于丁。如是則五樽容量皆為3斗（1斗=10升，合現在的2000毫升）。問各樽最初之量如何？

題的大意是：有甲、乙、丙、丁、戊五個酒樽，容量各不相等。如果將乙樽里的酒傾倒給甲樽；丙樽里的酒又傾倒給乙樽；丁樽里的酒又傾倒給丙樽；戊樽里的酒又傾倒給丁樽。這時甲、乙、丙、丁、戊五個酒樽里的酒都是3斗。問各樽里最初有多少酒？

解析：

1斗=10升

戊樽里最初有酒：（升）

用30升減去來自戊樽傾倒的酒數，為丁樽里最初有酒的，所以丁樽里最初有酒（下同）：（升）

丙樽里最初有酒：（升）

乙樽里最初有酒：（升）

甲樽里最初有酒：（升）

15．唐老鴨與米老鼠賽跑

唐老鴨與米老鼠進行一萬米賽跑，米老鼠的速度是每分鐘125米，唐老鴨的速度是每分鐘100米。唐老鴨手中掌握一種迫使米老鼠倒退的電子遙控器，通過這種遙控器發出第n個命令，米老鼠就以原速度的倒退一分鐘，然后再按原速度繼續前進。如果唐老鴨想在比賽中獲勝，那么它通過遙控器發出指令的次數至少應是多少次？

解析：唐老鴨跑完1萬米需要100分鐘。設唐老鴨在100分鐘內共發出n次迫使米老鼠倒退的指令，則在100分鐘內米老鼠有n分鐘的時間在倒退，有（100-n）分鐘的時間在前進，依題意要求：

求唐老鴨發出的指令數為n時，使得米老鼠前進的距離減去米老鼠倒退的距離小于10000米，即：

我們應該從n=1，n=2，n=3，……逐個試算，為了方便，從n=12試算。

當n=12時，

而125×（88-7.8）=125×80.2=10025＞10000，不符合要求。

當n=13時，

而125×（87-9.1）=125×77.9=9737.5＜10000，符合要求。