2.3 譯碼方法與性能度量

基于接收序列、編碼規則和信道的噪聲特征，接收機進行判決，給出哪一個消息是實際發送的，這個判決操作稱為譯碼。依賴于譯碼器的輸入不同，譯碼分為硬判決譯碼和軟判決譯碼。

（1）硬判決（hard-decision）譯碼：假定一個二元(n, k)線性分組碼的碼字c采用BPSK調制并在AWGN信道上傳輸。二進制調制器只有兩個輸入(M=2)，而信道輸出為實數y ∈(-∞, ∞)。如果解調器的輸出采用兩個電平量化(Q=2)，則譯碼器的輸入符號只有兩種取值。這種情況下，解調器是做硬判決，基于解調器硬判決輸出的譯碼稱為硬判決譯碼。

（2）軟判決（soft-decision）譯碼：如果解調器的輸出采用多于兩個電平量化(Q＞2)或不進行量化，則解調器就是做軟判決，基于這個軟判決輸出的譯碼稱為軟判決譯碼。

硬判決譯碼比軟判決譯碼易于實現，但是軟判決譯碼能夠提供更好的性能，如圖2.3所示。

2.3.1 最佳譯碼

考慮一個(n, k)線性分組碼C，它的校驗矩陣為H，最小距離為dmin(C)。假定發送的是碼字c，接收向量為y, 為譯碼輸出。在數字通信中，使平均譯碼錯誤概率

最小的譯碼規則稱為最佳譯碼規則。因為最小化等價于最大化，從而有最大后驗概率（MAP）譯碼器

即在C的碼字中選擇使條件概率P(c|y)為最大的碼字作為譯碼器的輸出。P(c|y)稱為c的后驗概率。根據Bayes規則，有P(c|y)=P(c)P(y|c)/P(y)。P(y)可看作一個歸一化常數，如果每個碼字等概率地發送，則MAP譯碼就等價于下述的最大似然（ML）譯碼。

即給定一個接收向量y, ML譯碼器總是選擇使條件概率P(y|c)最大的碼字作為譯碼結果。然而，如果譯碼器有關于c的先驗信息，則MAP譯碼器將考慮該附加信息后選擇最可能的碼字。

上述MAP和ML譯碼是使碼字錯誤概率最小的譯碼。在后面的討論中，我們還會遇到逐符號MAP譯碼，即逐符號進行最大后驗概率譯碼。令c={ci}，對應ci的發送信號記為xi。逐符號MAP譯碼器根據下列規則進行譯碼。

它是使比特錯誤概率最小的譯碼，Turbo碼中的BCJR譯碼算法就屬于此類。

后面討論的迭代譯碼算法雖不是最優的，但通常能以低復雜度達到接近ML或MAP譯碼的性能。

最小距離譯碼

在二元輸入白高斯噪聲（BI-AWGN）信道下，發送信號x=(-1)c，信道噪聲服從均值為0、方差為σ2的高斯分布，因此有

顯然，ML譯碼規則就等價于最小距離譯碼規則：

定義

是y和x之間的歐氏距離。

令z是y的硬判決結果。注意到在映射x=(-1)c下，dE(y, x)=2dH(z, c)，對于BSC信道，最小距離譯碼規則簡化為

總之，對于BSC，從ML譯碼器得到的是與信道輸出y有最小漢明距離的碼字c；對于BI-AWGN信道來說，ML譯碼器給出的是與信道輸出y有最小歐氏距離的碼序列x=(-1)c。所以，在BSC上對碼優化設計時應該最大化兩個碼字之間的最小漢明距離（以及最小化在此距離上的碼字對個數），而在BI-AWGN信道上對碼設計時應該最大化兩個碼序列之間的最小歐氏距離（以及最小化在此距離上的碼序列對個數）。

2.3.2 線性分組碼的檢錯

考慮一個(n, k)線性分組碼C，其校驗矩陣H的大小為(n-k)×n。假設c是發送的碼字，z是解調器輸出的硬判決序列。由于信道噪聲和干擾的存在，z與c可能不同。令z=c+e，其中e被稱為錯誤向量（或錯誤圖樣）。為了檢測接收向量z是否包含傳輸錯誤，計算如下GF(2)上的n-k維向量。

如果s=0，那么z就不是C中的碼字，就檢測出z中存在傳輸錯誤。此時，任何解這n-k個方程的方法就構成一種譯碼算法。最小距離譯碼就是找重量最輕的e，使得eHT=s。如果s=0，那么z就是C中的碼字（雖然z不一定等于發送碼字c，此時稱發生不可檢測錯誤）。因為向量s是用來檢測接收向量z是否包含傳輸錯誤，所以稱s為z的伴隨式。

2.3.3 對數似然比

前面討論的MAP與ML譯碼都是在概率域中推導的。在實際通信系統中，為了數值穩定及簡化運算，軟判決譯碼器的輸入往往是對數似然比信息。令x∈{+1, -1}是一個二進制隨機變量，其對數似然比（LLR）或L值定義為

其中，P(x=i)表示隨機變量x取值為i的概率。圖2.4給出了L(x)隨x=+1的概率變化的曲線。可以看出，L(x)的符號給出了關于x的硬判決，而LLR的幅度給出了這個判決的可靠度。

對于一個信息比特xk，如果給定LLR L(xk)，那么也很容易得到xk=+1或xk=-1的概率。注意到，則有

以及

上式也可寫為

對于GF(2)上的兩個獨立隨機變量u和v，它們的模2和u⊕v的LLR由下列Box-Plus運算給出：

這個關系經常用在LDPC碼的譯碼中。

在譯碼中也經常用到條件對數似然比。如果假定發送比特xk在AWGN信道上用BPSK信號傳輸，解調器的輸出為yk，則條件LLR定義為

由P(yk|xk)服從高斯分布可得

這個條件LLR也經常稱為信道的軟輸出。

2.3.4 編碼系統性能度量

對于數字通信系統，最常用的性能度量是比特錯誤概率Pb，它定義為譯碼器輸出判決比特不等于編碼器輸入比特ui的概率[55]：

由于一般獨立于i，因此有些文獻也常將比特錯誤概率寫為。Pb也常稱為誤比特率，記為BER。

另外一種常用的性能度量是碼字錯誤概率Pcw，定義為譯碼器輸出判決不等于編碼器輸出碼字c的概率：

在編碼文獻中，Pcw經常用不同的術語稱呼，包括誤字率（WER）和誤幀率（FER）。一個密切相關的錯誤概率是，在很多編碼系統中Puw≈Pcw。對于多元碼，常用符號錯誤概率Ps來度量，定義為

其中，所有的編碼器輸入符號ui和譯碼器輸出符號都是多元的。Ps也稱為誤符號率（SER）。

除了譯碼錯誤概率，編碼增益也常用來度量編譯碼器的性能。具體地講，編碼增益是一種度量編碼通信系統功率效率的重要參數。令Eb/N0表示每信息比特能量與信道噪聲功率譜密度之比，編碼增益定義為：為達到給定的目標錯誤概率，編碼系統相對于未編碼系統所需要的Eb/N0減少量（一般是采用相同調制方式）。用公式表示為