第一章 大數

一、你能數到幾？

有一個故事，講的是兩位匈牙利貴族做游戲的事。他們做的是一個數字游戲——看看誰說出的數最大。

“沒問題，”其中一位貴族說，“你先開始吧！”

另一位貴族苦苦思索了一陣子，幾分鐘后終于說出了他能想到的最大的數字：“3。”

現在輪到第一位貴族了，他飛快地轉動腦筋，苦思冥想了好半天，最后竟決定棄權，他說：“我認輸！”

顯然，這兩位匈牙利貴族的智力并不發達。又或者，這原本就是一個諷刺故事。不過如果將故事中的匈牙利人換成南非的霍屯督人，上述對話或許就會有幾分可信性。事實上，據一些非洲探險家說，很多霍屯督人都不知道該怎樣表達比3大的數。如果你問當地的土著，他有幾個兒子或者殺死過幾個敵人，只要答案超過3，他就會用“很多”來回答。可見，單從數數這點上來看，霍屯督的勇士們甚至還不如我們幼兒園里的小孩子，這些小孩子至少還能數到10呢！

現在，我們總是習慣性地認為，我們想把一個數寫成多大，就能把它寫成多大。如果我們想要一個大數，只要在這個數的右邊加上足夠的零就可以了，不管是用分來表示戰爭的開銷，還是用英寸來表示星體間的距離。你可以不停地寫下去，一直寫到手腕酸軟無力。不知不覺間，你就會得到一個比宇宙中的原子總數，也就是300000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000 ，還要大的數。

其實，上面這個原子總數還有一種更簡短的寫法，即3×1074。在這個式子中，10右上角的小數字74表示的就是3后面一共有多少個0。換句話說，也就是3要用10乘上74次。

不過在古代，人們并不知道這種能令“算術化繁為簡”的方法。事實上，這種方法最早出現在一千多年前，是一位不知姓名的印度數學家發明的。雖然很多時候我們意識不到，但這確實是一項偉大的發明。在此之前，在表示每一個十進制單位時，人們會使用一個特殊的符號。當人們想要寫一個數時，就反復書寫這個符號。比如，古埃及人在寫8732這個數時，會把它寫成：

而在愷撒政府中，那些職員會把這個數寫成：

MMMMMMMMDCCXXXII

對我們來說，第二種寫法并不陌生，因為就算到了今天，在表示書籍的卷數或章數時，在莊嚴的紀念碑上記錄歷史事件的日期時，我們還是會用到這種羅馬數字。不過在古代，人們計數最多不過幾千，所以并沒有符號來表示更高的十進制單位。也就是說，哪怕是一個在算術方面經受過很多訓練的古羅馬人，也很難寫出一個像“一百萬”這樣的大數。如果非要讓他寫一個“一百萬”，他能想到的最好的辦法大概就是花費幾個小時寫下一千個M。

在古代人眼中，像天上的星、海里的魚、岸上的沙這樣的大數，都是“不可計數”的，就好像在霍屯督人眼中，像“5”這個數也是“不可計數”的，因此只能用“很多”來表示一樣。

可是，在公元前3世紀，有一位聲名遠播的科學家曾開動他那天才的大腦，得出一個偉大的結論，即就算是巨大的數，也是有可能被寫出來的。這位科學家就是阿基米德（Archimedes）。在《數沙者》（The Psammites）一書中，他說：

在一些人眼中，沙粒的數目無窮無盡，根本數不過來。這里所說的沙粒是指地球上有人煙處和無人煙處能找到的所有沙粒，而不單是指錫拉庫薩周圍以及整個西西里島的沙粒。而在另一些人眼中，這個數目是可以數出來的，并非無窮無盡，只是他們不知道該怎樣來表示這種比地球上沙粒數目還要大的數。如果將地球想象成一個大沙堆，并用沙粒填滿那些海洋和洞穴，使它們變得像最高的山一樣高，那持有第二種觀點的人一定會更加確信，像這樣堆積起來的沙粒，它的數目是根本無法表示出來的。可是現在，我要告訴大家的是，如果使用我所命名的各種數，無論是像上述方法那樣填滿整個地球的沙粒數，甚或是填滿整個宇宙的沙粒數，都是可以表示出來的。

 

在這部有名的著作中，阿基米德提出的計大數的方法與現代科學中使用的方法頗為類似。當時在古希臘的算術中，最大的單位是“萬”。阿基米德由此開始，引入了“億”“億億”“億億億”等分別作為“第二級單位”“第三級單位”和“第四級單位”……

如果專門用幾頁的篇幅去談論怎樣寫出一些大數，似乎有些小題大做，但不可否認，在阿基米德所處的那個時代，能夠找到寫出大數的辦法，確實是一項了不起的發現，為數學的發展做出了很大的貢獻。

要想填滿整個宇宙，究竟需要多少沙粒呢？如果想回答這個問題，阿基米德必須先弄清宇宙的大小。當時，人們認為宇宙被一個水晶天球包圍著，這個天球上附有恒星。在阿基米德所處的那個時代，有一位著名的天文學家，來自薩摩斯的阿里斯塔克斯（Aristarchus of Samos）。據他估算，地球距離天球表面大概有10000000000斯塔蒂亞遠，也就是1000000000英里。

知道了天球的尺寸后，阿基米德將它與沙粒相比，進行了一系列復雜的計算——如果高中生看到這樣的計算，恐怕會被嚇得做噩夢——最后得出結論說：

 

如果按阿里斯塔克斯所估算的天球包圍的空間來看，很明顯，填滿這個空間所需要的沙粒數不會超過一千萬個第八級單位。注1

注1：這個數用我們的計數方法可表示為：當然，也有更簡短的寫法，即1063，也就是說1的后面有63個0。——原注

 

這里有一點必須注意，即與現代科學家所觀測到的宇宙半徑相比，阿基米德當時估算的數值要小得多。事實上，10億英里只不過剛剛超過太陽到土星的距離。也許以后通過望遠鏡，我們會發現宇宙的邊緣在5000000000000000000000英里遠的地方。要想填滿這樣一個宇宙，我們需要的沙粒數大概會超過10100（即1的后面有100個0）。

在本章的開頭，我們曾提到過宇宙中的原子總數，即3×1074。與這個原子總數相比，10100顯然要大得多。為什么會這樣呢？是因為宇宙中并非塞滿了原子，實際上，宇宙的每一立方米空間中，才平均只有一個原子。

將整個宇宙都填滿沙粒，顯然是一種極端的做法。如果我們只是想得到一個足夠大的數，其實并不一定非要這么做。事實上，很多看似簡單的問題中也隱藏著巨大的數字，只不過事先我們是絕對想不到這一點的，只會以為它最大不過幾千。

印度的舍罕王（King Shirham）就曾在大數上吃過虧。這件事發生在很久很久以前，相傳，當時舍罕王打算獎賞發明了國際象棋并將這種象棋獻給他的首席大臣施賓達（Sissa Ben Dahir）。這位大臣十分聰明，表面看來，他提出了一個很容易就能滿足的要求。他跪在地上，對面前的國王說：“陛下，請賞賜給我一些麥子。我希望您能在這張棋盤的第一個小格內放進一粒麥子，在第二個小格內放進兩粒，在第三個小格內放進四粒，在第四個小格內放進八粒，之后每一個小格內都像這樣，放進比前一個小格多一倍的麥子，直到放滿棋盤上的64個小格為止。請您就把這些麥子賞賜給我吧！”

“我的臣子，你竟然只要這么點兒東西，”國王心中暗喜，他雖然因這項神奇的發明而大方地許下賞賜，但如果這賞賜并不需要他破費多少，那無疑是件值得高興的事，“你的要求肯定會得到滿足。”國王說著就命人拿來了一袋麥子。

可令人沒想到的是，按照施賓達的方法，第一個小格內放一粒麥子，第二個小格內放兩粒麥子，第三個小格內放四粒……結果還沒放到第二十個小格，那袋麥子就見底了。之后不斷有人將麥子送到國王面前，一袋又一袋，但每個小格所需的麥子數也在不斷增長，而且速度極快。所以沒過多久大家就看出來了，即使把整個印度的所有麥子都拿來，也滿足不了施賓達的要求，國王對施賓達許下的承諾根本無法實現。因為要想按這種方法填滿棋盤上的64個小格，至少需要18446744073709551615粒注2麥子！

注2：我們可以用這樣的算式來表示這位聰明的大臣想要的麥子數，即1+2+22+23+24+…+262+263。像這種從第二個數開始，每一個數都是前一個數的固定倍數的數列，在算術中被稱為“幾何級數”。因此可證，這種級數的所有項之和，等于固定倍數（在本例中為2）的項數次方冪（在本例中為64）減去第一項（在本例中為1）所得的差除以固定倍數減1。在上述例子中，因此可得出算式：(264-1)/(2-1)=264-1。計算之后，可得出結果18446744073709551615。——原注

這個數雖然不能與宇宙中的原子總數相提并論，但也算是一個很大的數了。如果1蒲式耳小麥有5000000粒，那么要想滿足施賓達的要求，就需要4萬億蒲式耳的小麥，這幾乎相當于全世界在兩千年內所產出的全部小麥。舍罕王根本沒有料到，這位首席大臣索要的“一些小麥”竟是這么多，等他明白過來時，已經欠了這位聰明的大臣好大一筆債。這要怎么辦呢？是忍受施賓達無休止的催討，還是干脆殺掉他呢？我覺得舍罕王大概會選擇后者。

還有另一個故事，也是由大數當主角，而且同樣發生在印度。這個故事和“世界末日”有關。歷史學家鮑爾（W.W.R.Ball）是位數學愛好者，他是這樣講述這個故事的：

 

在瓦拉納西那座偉大的、標志著世界中心的神廟的穹頂下，安放著一個上面固定著3根寶石針的黃銅板。這3根寶石針每根的粗細和蜜蜂的身體差不多，每根的高度能達到1腕尺，也就是差不多20英寸。創世時，在其中一根寶石針上，梵天放置了64個金片。這64個金片摞在一起，從上到下面積依次增大，也就是說位于底部緊挨著黃銅板的金片是最大的。這就是所謂的梵塔。

無論是白天還是黑夜，都有一位值班的僧侶按照梵塔固定不變的法則——每次只能移動一片，而且必須保證，不管在哪根寶石針上，金片摞起來的方式都是下面的大上面的小——將這些金片從一根針上移動到另一根針上。等到這64個金片全都移動到另一根寶石針上時，不管是梵塔、神廟，還是眾婆羅門，都將隨著一聲霹靂化為灰燼，世界也將隨之毀滅。

 

圖3描繪的就是故事里的景象，不過值得注意的是，圖中并沒有將64個金片全部畫出來。事實上，像這樣一個“玩具”并不難制作，你只需要用一些硬紙片和長鐵釘來代替傳說中的金片和寶石針就行了。而當你開始按照梵天的法則移動那些金片，很快就會發現一個規律，即移動每個金片的次數總要比移動上個金片的次數增加一倍。也就是說，移動第一個金片時只需一次，之后每移動一片，其移動的次數都會按幾何級數加倍。這樣一來，當你移動到64片時，需要移動的次數就會和施賓達想要的麥子數一樣多！注3

注3：我們假設只有7個金片，那需要移動的次數就是1+21+22+23+…，也就是27-1=2×2×2×2×2×2×2-1=127。如果你的手法夠準確，速度夠快，那大概只需1個小時就能移動完這些次數。可是，當金片的總數變成64時，我們需要移動的次數就變成了264-1=18446744073709551615次。這個次數與施賓達想要的麥子數一樣。——原注

要想將梵塔上的64個金片全都移動到另一根寶石針上，到底需要多長時間呢？我們假設僧侶們不眠不休，每秒都移動一次，按一年約有31558000秒來算，要想完成這項工作，大概需要58萬億年。

上述關于世界末日、宇宙壽命的預言純屬傳說，但這并不妨礙我們將它與現代科學所做的預言進行對比。根據現在的宇宙進化論，我們可以得知，恒星、太陽以及行星都是在大約30億年前由沒有具體形態的物質形成的。我們的地球同樣如此。而為恒星，特別是為太陽提供能量的“原子燃料”大概還能維持100億到150億年（詳情見“創世紀時期”一章）。因此可以肯定，我們所處的宇宙，其壽命最多不超過200億年。這與印度傳說中預言的58萬億年相差甚遠，不過后者畢竟是傳說，又怎么能當真呢？

提起與文學作品有關的最大的數，大概就不能不提那個著名的“印刷行數問題”了。假設我們制造了一臺可以連續印刷出一行行文字的印刷機，而且這臺印刷機在印刷每一行文字時，都能夠自動選擇字母和其他印刷符號的組合。像這樣的一臺印刷機，上面應該會有很多可以分離的輪盤，這些輪盤像汽車的里程指示表中的數碼盤那樣裝配在一起，每個輪盤的邊緣都刻滿了字母和符號，當一個輪盤轉動一周時，就會帶動下一個輪盤向前移動一個位置。每發生一次移動，紙張都會通過滾筒自動送入盤下。要想制造這樣一臺自動印刷機，其實并不是什么難事。它大概就是圖4的這個樣子。

將這臺機器打開后，它會一直不停地印刷出東西來，現在就讓我們來看看其中都有什么吧！這些東西大部分都不具備什么實際意義，比如“aaaaaaaaaaaa…”“boobooboobooboo…”或是“zawkpopkossscilm…”等。

但是不要忘了，這臺機器的功能十分強大，只要是我們能想到的字母和符號的組合，它都能印刷出來。所以在這些沒什么意義的句子中，我們總能找出一點兒有意思的東西來。當然，有意思并不代表有用，事實上，有些句子并不能起到什么實際的作用，比如“horse has six legs and…”（馬有六條腿，并且……）或者“I like apples cooked in terpentin…”（我喜歡松節油煎蘋果……）。

不過，只要我們有足夠的耐心，一直找下去，就一定能發現莎士比亞曾寫下的每一句話。哪怕是他寫完扔掉的那些，我們也能發現。

事實上，自人類學會寫字以來，我們所能寫出的每一句話，這臺機器都可以印刷出來。也就是說，這臺機器可以印刷出我們所寫的每一句散文、每一句詩歌，報紙上的每一篇評論、每一個廣告，每一卷厚厚的學術論著，每一封情書，每一份訂奶單……

更神奇的是，我們寫過的它能印刷出來，我們沒有寫過但未來很可能會寫的那些東西，它也能印刷出來。我們從滾筒下的紙張上可以找到30世紀的詩歌，找到未來科學的發現，找到第500屆美國國會上的演講，找到關于2344年星際交通事故的報道，找到那些尚未被人創作出來的長篇小說和短篇小說。如果出版商們能有這樣一臺機器，只需將它放在地下室里，讓它不停地印刷，然后對它印刷出的那些文字進行篩選，拋棄那些沒什么意義和作用的東西，只留下極少數的好句子，再將它們編輯在一起就可以了。事實上，這和他們現在所做的工作并沒有什么區別。

可為什么沒有人這樣干呢？

在英語字母表上共有50個字符，其中包括26個字母、10個數字（0到9）和14個常用符號（句號、逗號、冒號、分號、問號、感嘆號、破折號、引號、省略號、空白符、連字符，以及大中小三種括號）。如果我們假設這臺打印機上有65個輪盤，每個輪盤都對應印刷行上的一個位置。印刷出的每一行的第一個字母，可以是50個字符中的任意一個。也就是說，這個字母有50種可能性。而該行第二個位置的字符，對應這50種可能性的每一種，又有50種可能性。也就是說，僅前兩個字符的排列組合就有50×50=2500種。而第三個位置的字符，對應前兩個字符的每一種排列組合，仍然有50種選擇。按這種方式數下去，打印一整行字符時，它的可能性就有：

50×50×50×50×…×50（65個50相乘）

也就是5065種，而5065=10110。

這個數究竟有多大呢？你可以想象一下，如果宇宙中的每個原子都是一臺獨立的印刷機，那在同一時間，就有3×1074臺印刷機在工作。再想象一下，假設自宇宙誕生以來，這些機器就一直在不停地運轉。也就是說，它們已經運轉了30億年，即1017秒。而且在運轉時，它們印刷的頻率與原子振動的頻率是一致的，每秒可以印刷出1015。那么這些機器到了今天，大概可以印刷出3×1074×1017×1015=3×10106行。這個數雖然很大，但與上面那個總數相比，仍然相差甚遠。事實上，這個行數大概只是那個總數的三千分之一而已。

由此可見，那些出版商必須花費極其漫長的時間，才能在這些自動印刷出來的字符中做出某種選擇。

二、無窮大該怎樣計數

在上一節中，我們對一些數進行了討論。在這些數中，有很多是毫無疑問的大數，比如像施賓達想要的麥子數。只是，這些大數雖然大得不可思議，但畢竟是有限的，只要我們的時間足夠充裕，早晚能將它完整地寫出來。

可是，在這些有限的大數之外，其實還存在著一些無論我們花費多長時間，都沒辦法完全寫出來的無窮大數，比如“所有數的個數”“一條線上所有幾何點的個數”。對于這些數目，我們除了說它們是無窮大的還能說什么呢？難道還能把這兩個不同的無窮大數拿過來比比看哪個更大嗎？有這種可能嗎？“所有數的個數和一條線上所有幾何點的個數究竟哪個更大？”這是一個有意義的問題嗎？乍看之下，這個問題確實有些荒誕離奇，不過卻引起了格奧爾格·康托爾（Georg Cantor）的注意。這位著名的數學家是最先思考這個問題的人，因此，他算得上是“無窮大算術”名副其實的奠基人。

無窮大數既讀不出來也寫不出來，那么該如何去比較呢？這是我們在比較無窮大數大小時必須面對的一個問題。此時，我們就好像是一個正在檢查自己的財物，并迫切地想要知道，在那些財物中，玻璃珠和銅幣到底哪種更多的霍屯督人。可是不要忘了，之前我們已經說過，霍屯督人在計數這方面并沒什么天賦，他們能數到的最大的數字是3。也就是說，只要玻璃珠和銅幣的數目大于3，那他們就數不出來了。可是，他們會因此就放棄比較兩者的數目嗎？當然不可能。事實上，如果這位霍屯督人足夠聰明，那為了得到答案，他就會將玻璃珠和銅幣拿出來，一個一個地比較下去。一顆玻璃珠對應一枚銅幣，一直這樣兩兩比較下去……如果最后玻璃珠用完了，而銅幣還有剩余，那他就會知道，兩者相比，銅幣更多。反之，則玻璃珠更多。如果兩者同時用完，則說明它們的數量相等。

在對兩個無窮大數進行比較時，康托爾使用的正是這種方法：如果在對兩組無窮大數進行比較時，我們能將它們的各個對象一一配對，一組無窮大數中的每個對象，都能在另一組無窮大數中找到相應的對象，兩組數都沒有任何對象遺漏，那么這兩組無窮大數就應該是同樣大；如果其中一組的對象有剩余，也就是說沒有在另一組中找到能夠匹配的對象，那么與另一組相比，這組無窮大數就要更大、更強一些。

顯然，如果我們想將兩個無窮大數進行比較，上述方法就是極為合理并且唯一可行的規則。只是，當你將這種方法付諸實踐時，很可能會大吃一驚。舉個例子，將所有偶數的個數和所有奇數的個數這兩個無窮大數進行比較。看完題目，僅憑直覺，你就會知道這兩個無窮大數相等。事實上，這兩個無窮大數的比較完全適用于上述規則，因為它們之間確實能夠一一匹配：

從這張表中我們可以看出，每一個奇數都對應著一個偶數，每一個偶數也都對應著一個奇數。因此，偶數的無窮大和奇數的無窮大是相等的。看起來確實沒有比這更簡單、更自然的事了。

不過先別著急，讓我們再看看另一個問題：所有整數（包括奇數和偶數）的個數和所有偶數的個數哪個更大？所有整數不僅包含了所有偶數，還包含了所有奇數，所以你肯定以為前者更大，但事實證明，這不過是你的想當然而已。如果我們想知道正確的答案，就必須再次運用那個合理的規則，對這兩個無窮大數進行一番比較。當你真的這么做時就會發現，你的“想當然”確實是錯的。讓我們將這兩個無窮大數的對象一一匹配一番：

根據上述比較無窮大數的規則，我們必須承認，所有偶數的個數與所有整數的個數相等。我知道，這個結論聽起來十分荒謬，因為偶數僅是所有整數的一部分。可是不要忘了我們正在和誰打交道，是和無窮大數，因此必須時刻做好準備，面對那些隨時都可能遇到的特殊情況。

其實在無窮大的世界里，部分有時可能會等于整體！德國著名的數學家大衛·希爾伯特（David Hilbert）曾講過一個故事，這個故事大概就是關于上述觀點的最好說明。據說，在一次關于無窮大的演講中，這位數學家曾這樣講述無窮大數這種荒謬、不合常理的性質：

 

假設有一家內設有限個房間的旅館，然后在旅館客滿沒有空房的時候，來了一位客人。這位客人想訂一間房，但旅館的老板說：“很抱歉，已經沒有空房了。”

現在，再假設有一家內設無限個房間的旅館，而且這家旅館同樣客滿，沒有空房。這時，也來了一位想訂房間的客人。旅館老板說：“沒問題！”然后，在他的安排下，一號房的客人被挪到了二號房，二號房的客人被挪到了三號房，三號房的客人被挪到了四號房，以此類推。這樣做的結果就是，一號房被騰空了，那位新客人剛好可以入住。

我們再假設有一家內設無限個房間，并且所有房間都已住滿的旅館。這時來了無窮多位客人，他們都想要訂一個房間。旅館老板說：“好的，先生們，請耐心等待一會兒。”然后，在他的安排下，一號房的客人被挪到了二號房，二號房的客人被挪到了四號房，三號房的客人被挪到了六號房，以此類推。最后，單號房都被騰空了，新來的無窮多位客人剛好可以入住。

 

希爾伯特講述這個故事時，恰逢世界各地正處于戰亂中，所以即便是在華盛頓，他的意思也很難被理解。但不可否認，這個例子舉得十分合適，它使我們明白了，無窮大數的性質十分特殊，與我們在普通算術中經常見到的一般數字有很大不同。

現在，我們也可以運用比較兩個無窮大數的康托爾規則來證明，像--這樣的普通分數，其個數與所有整數的個數相等。其實，對于那些普通分數，我們可以按以下規則將其排列出來：先寫出分子和分母相加等于2的分數，事實上，只有一個分數符合這個條件，即；然后寫出-分子和分母相加等于3的分數，滿足這個條件的分數有兩個，-；再寫出分子和分母相加等于4的分數，這樣的分數有三個，--……這樣一直寫下去，我們就可以得到一個包含了所有分數的無窮的分數數列（如圖5）。現在在這個數列的上方，我們再寫上整數數列，并使每個整數都對應著一個分數。這樣一來，所有整數就與所有分數建立了一一對應的關系。由此可見，這兩個無窮大數也是相等的！

“是啊，這可真神奇，”你或許會說，“不過這是否意味著，所有無窮大數都是相等的呢？如果是這樣，那就沒必要再進行什么比較了吧？”

不，事情并不是這樣的。事實上，要想找到一個比所有整數或所有分數構成的無窮大數還要大的無窮大數，并不是一件難事。

就拿前文提到過的“所有整數的個數和一條線上所有幾何點的個數”相比較的問題來說。如果我們仔細研究一下就會發現，這兩個無窮大數并不相等。與整數或分數的個數相比，一條線上點的個數要多得多。不信我們可以驗證一番，先建立一條大概1英寸長的線，然后試著用整數數列來一一對應線上的點。

在這條線上，不管是哪個點，都可以用這一點到這條線的某一端的距離來表示，而這個距離可以寫成無窮小數的形式，比如0.7350624780056…，比如0.38250375632…。現在我們要做的，就是將所有整數的個數與所有可能存在的無窮小數的個數進行比較。那么，與這樣的分數相比，上面寫出的無窮小數又有什么不同呢？

大家應該不會忘記，在數學課上，我們曾學到過這樣一條規則：任何一個普通的分數，都可以轉化為一個無限循環的小數。比如0.（428571）。在上文中，我們已經證明過所有普通分數的個數與所有整數的個數是相等的，因此，所有循環小數的個數與所有整數的個數也必然是相等的。可是，對一條線上的點來說，它雖然可以用無窮小數表示出來，但這個小數不一定是循環小數。事實上，能用循環小數來表示的點在這條線上只占了極小的一部分。因此，我們很容易就能證明，在這種情況下，想要建立一一對應的關系根本是不可能的事。

假設有人聲稱，他已經像下面那樣，為所有整數和一條線上所有的點建立了一一對應的關系：

N

10.38602563078…

20.57350762050…

30.99356753207…

40.25763200456…

50.00005320562…

60.99035638567…

70.55522730567…

80.05277365642…

· … … … … … …

· … … … … … …

當然，我們不可能把所有的整數都寫出來，更不可能把所有的小數都寫出來，所以上述說法又能說明什么呢？只能說明這個人發現了某種與我們用來排列普通分數的規則十分相似的規則，然后在這種規則的指導下，制作了上面的表，并認定按照這種規則，每一個小數都會出現在這張表上，只不過有的出現得早，有的出現得晚罷了。

可事實上，這種說法根本無法令人信服，甚至和這種說法類似的所有說法都不可信。要想證明這一點并不是一件難事，因為我們總能輕而易舉地寫出一個不被包含在這張無窮表格中的無窮小數。那該怎么寫呢？其實很簡單，只要在寫該數小數點后的第一位小數時，令它不同于表中第一個小數的第一位小數；在寫該數第二位小數時，令它不同于表中第二個小數的第二位小數，之后以此類推，我們就可能得到一個像下面這樣的小數：

當然，這個小數也可能是其他樣子，但只要它是按照上述方法寫出來的，那在那張表格上，我們就不可能找到它。如果表格的制作者對你說，你寫出的這個小數和他那張表格上的第137個小數——也可以是其他序號——是相同的，那你就可以立即反駁道：“根本沒有這種可能，因為我寫出來的這個數，它的第137位小數與你那個數的第137位小數是完全不同的。”

由此可見，想要在一條線上的點與所有整數間建立起一一對應的關系，根本是不可能的事。這也就意味著，與所有整數或分數相比，一條線上的點所構成的無窮大數要更大或更強。

雖然我們之前將這條線設定為“1英寸長”，并且之后的討論都圍繞著這條有限線段上的點，但現在只要按照我們“無窮大算術”的規則，很容易就能證明無論這條線有多長，其結果都是一樣的。其實不管這條線是1英寸長，還是1英尺長，甚或是1英里長，上面的點的個數都是相同的。我們只需認真研究一下圖6，就可以證明這一點。現在，我們要對這張圖上不同長度的兩條線AB和AC上的點數進行比較。首先，在這兩條線的點之間，我們必須建立起一種一一對應的關系。過AB上的每個點，作與AC相交的BC的平行線，這樣一來，就形成了像D和D＇，E和E＇，F和F＇這樣的交點。換句話說，也就是AB上的每個點在AC上都能找到與之對應的一點，AC上的每個點也是如此。所以，這兩個無窮大數按照我們的規則來看，是相等的。

通過這種對無窮大數的分析，我們還能得到一個更加令人震驚的結論，即一個平面上所有點的個數等于一條線上所有點的個數。接下來，我們就對一條1英寸長的線AB上的點和一個擁有1英寸邊長的正方形CDEF上的點，進行一下比較，以證明剛才的結論（圖7）。

假設這條線上某個點的位置是0.75120386…，那么我們將這個小數的奇數位和偶數位分開，然后再重新組合，就可以得到兩個不同的小數，即0.7108…和0.5236…。接著在正方形中，沿水平和垂直兩個方向，按照這兩個小數量出指定的距離。這樣一來，我們就得到了一個點，這個點被稱為原來線上那個點的“對偶點”。反之，正方形上的每一點也可以在那條線段上找到相應的“對偶點”，只要我們將正方形中代表某一點的兩個小數組合在一起，比如將0.4835…和0.9907…組合成0.49893057…，然后再按照這個組合起來的數，在那條線段上找到相應的點就可以了。

顯然，利用這種方法，在這兩組點之間，我們能夠建立起一一對應的關系。也就是說，在正方形中，線上的每個點都能找到自己的對應點，反之亦然，并且雙方的點都沒有剩余。因此按照康托爾的標準，我們就可以說，一個正方形中代表所有點數的無窮大數等于一條線上代表所有點數的無窮大數。

通過類似的方法，我們也很容易就能證明，立方體中代表所有點數的無窮大數，同樣等于正方形或者線上代表所有點數的無窮大數。具體需要怎么做呢？只需將最初的那個無限小數分為三部分，然后再利用這三個新得到的小數，去確定立方體中“對偶點”的位置就行了。最后的結果會向我們證明，正方形或立方體中代表所有點數的無窮大數的大小，與這個正方形或立方體的尺寸沒有任何關系，就像不同長度的兩條線一樣。

雖然與所有整數和分數的個數相比，所有幾何點的個數要更大，但對數學家們來說，這還不是他們所知道的最大的數。事實上，人們已經發現了比所有幾何點的個數還要大的數，即所有可能的曲線的個數，包括那些最奇形怪狀的。因此我們可以認為，在無窮大的序列中，代表所有幾何曲線個數的無窮大數位于第三級。

作為“無窮大算術”的奠基人，康托爾曾建議，用希伯來字母?（讀作阿列夫）來表示無窮大數。至于這個數在一個無窮大序列中的級別，可以在這個字母的右下角標注出來。這樣，我們就可以將數（包括無窮大數）的序列寫成：1，2，3，4，5，?1，?2，?3...

知道該如何表示無窮大數后，我們就可以說“一條線上有?1個點”“不同的曲線有?2種”，就好像我們平時說的“世界有7個大洲”“一副撲克牌共有52張”一樣。

寫至此處，對無窮大數的討論已經接近尾聲。在此我們必須指出一點，就是這些無窮大數雖然只分為了幾個級，但卻已經包含了人類所能想象的所有無窮大數。我們已經知道，?0、?1、?2分別代表所有整數的個數、所有幾何點的個數，以及所有曲線的個數，那?3代表什么呢？事實上，直到今天，人們也沒能想到用?3代表哪個無窮大數。似乎我們能想到的所有無窮大數，都已經被包含進了前三級無窮大數中。前文提到過，霍屯督人雖然有很多兒子，但他卻只能數到3，而我們現在的處境與這位老朋友正好相反，我們能數得清任何數，但卻根本沒有那么多東西讓我們來數！