2.1 固體介質的波動方程

基于動量守恒定律、動能守恒定律及介質的本構方程，并結合小振幅近似，固體彈性介質中的波動方程^[137]為

式中，ρ為材料密度；為質點位移對時間的二階導數；x為質點位移方向；cijkl為彈性系數矩陣；u為質點位移；f_i為作用在介質上的體力分量；i、j、k、l為張量下標，式（2-1）及以后的公式中的下標滿足啞指標規(guī)則。

式（2-1）為有源聲波動方程。當不存在外力作用時，無源聲波動方程為

式（2-2）主要用于超聲波在半無限大介質中的傳播。

超聲波在各向同性和各向異性固體介質中的傳播特性不盡相同，在各向同性介質中，引入拉梅常數，波動方程可以改寫為

式中，λ、μ為拉梅常數，▽為矢性的Hamilton微分算子，分別為沿著x軸、y軸、z軸正向的單位矢量，利用亥姆霍茲分解，將位移矢量u表示為標量的梯度和零散度矢量的旋度，即

u=▽φ+▽×H （2-5）

則聲場方程式（2-3）可分解為兩個簡單的聲場方程式（2-6）和式（2-7）

式中，c_l和c_t分別為各向同性固體中兩種體波——縱波和橫波的速度。

超聲波是超聲頻率的機械振動在彈性介質中的一種傳播過程，它服從機械波的一般規(guī)律，但亦有其特殊規(guī)律。對于已知力學參數的金屬材料，給定邊界條件和初始條件，超聲波在材料中產生和傳播的過程可由式（2-1）或式（2-3）來描述。運用解析法求解方程僅限于相當簡單的工件幾何形狀、邊界條件和初始條件，如果這些條件比較復雜，則分析工作將變得冗長，解析求解甚至不可能求得方程的解。在有限元模型中，將有限尺寸的探頭激勵作為載荷施加到相應的網格單元，這種情況下，由于探頭激勵是大小和方向變化的沖擊載荷，并且載荷的作用時間很短，探頭激勵載荷與材料的相互作用過程具有瞬態(tài)特點，因此，可以把由式（2-1）和式（2-3）描述的問題作為瞬態(tài)動力學問題來分析。

下一節(jié)將根據虛功原理，推導波動方程的變分形式，繼而根據變分形式的波動方程建立超聲波在金屬材料中產生和傳播的有限元數值模型。