2.1 ADAMS軟件建模機理

ADAMS軟件采用世界上廣泛流行的多剛體系統動力學理論中的拉格朗日方程方法，建立系統動力學方程。選取系統內每個剛體質心在慣性參考系中的三個直角坐標和確定剛體方位的三個歐拉角作為笛卡爾廣義坐標，用帶乘子的拉格朗日方程處理具有多余坐標的完整約束系統或非完整約束系統，導出以笛卡爾廣義坐標為變量的運動學方程。以笛卡爾坐標和歐拉角參數描述物體的空間位形，用吉爾剛性積分解決稀疏矩陣的求解問題，核心是ADAMS/View與ADAMS/Solver，它們提供了多種功能成熟的解算器，可對所建模型進行運動學、靜力學、動力學分析。

2.1.1 初始條件分析

在多體系統中，將物體之間的運動學約束定義為鉸；物體之間的相互作用定義為力元（內力），力元是對系統中彈簧、阻尼器、制動器的抽象，理想的力元可抽象為統一形式的移動彈簧、阻尼器、制動器，或扭轉彈簧、阻尼器、制動器；多體系統外的物體對系統中物體的作用定義為外力（偶）。在進行動力學分析之前，初始條件分析通過求解相應的位置、速度、加速度的目標函數最小值得到。

1. 廣義坐標

動力學方程的求解速度很大程度上取決于廣義坐標的選擇。為了解析描述方位，必須規定一組轉動廣義坐標表示方向余弦矩陣。ADAMS軟件中采用的方法是，用剛體i的質心笛卡爾坐標和反映剛體方位的歐拉角作為廣義坐標，即，每個剛體用六個廣義坐標描述。由于采用了不獨立的廣義坐標，系統動力學方程組數量龐大，但卻是高度稀疏耦合的微分代數方程，適于用稀疏矩陣的方法高效求解。

2. 初始位置

定義相應的位置目標函數L₀為：

式中，n為系統總的廣義坐標數；m為系統約束方程數；?_j，分別是約束方程及對應的拉氏乘子；q_0i為用戶設定準確的或近似的初始坐標值或程序設定的缺省坐標值；W_i為對應q_0i的加權系數。

由L₀取最小值，則，，得：

對應函數形式為：

牛頓-拉弗遜迭代公式為：

式中，Δq_k，p=q_k，p+1-q_k，p，，下標p表示第p次迭代。

3. 初始速度

定義相應的速度目標函數L₁為：

式中，為用戶設定的準確的或近似的初始速度值或程序設定的缺省值；為對應的加權系數；為對應速度約束方程的拉氏算子；為速度約束方程。

由L₁取最小值，則，，得：

系數矩陣只與位置有關，且非零項已經分解，可直接求解，。

4. 初始加速度

初始加速度、初始拉氏乘子可直接由系統動力學方程和系統約束方程的兩階導數確定，寫成分量形式：

矩陣形式為：

式中的非零項已分解，可求和λ_j。

2.1.2 運動學分析

運動學分析主要研究零自由度系統的位置、速度、加速度和約束反力，因此只需求解系統約束方程：

由約束方程的牛頓-拉弗遜（Newton-Raphson）迭代方法確定任一時刻t_n的位置，求得：

式中，Δq_j=q_j+1-q_j，j表示第j次迭代。

t_n時刻速度、加速度的確定，可由約束方程求一階、二階時間導數得到：

t_n時刻約束反力的確定，可由帶乘子拉格朗日方程得到：

2.1.3 動力學分析

1. 動力學方程的建立

ADAMS程序采用拉格朗日乘子法建立系統動力學方程：

式中，?（q，t）=0為完整約束方程；為非完整約束方程；T為系統能量，，M為質量列陣；v為廣義速度列陣；I為轉動慣量列陣；w為廣義角速度列陣；q為廣義坐標列陣；Q為廣義力列陣；p為對應于完整約束的拉氏乘子列陣；μ為對應于非完整約束的拉氏乘子列陣。

對于有n個自由度的力學系統，確定n個廣義速率后，即可計算出系統內各質點及各剛體相應的偏速度及偏角速度，以及相應的n個廣義主動力及廣義慣性力。令每個廣義速率所對應的廣義主動力與廣義慣性力之和為零，所得到的n個標量方程即稱為系統的動力學方程，也稱凱恩方程：

其矩陣形式為：F+F^*=0。

其中：F、F^*為N階列陣，定義為：F=[F^（1）…F^（N）]^TF^*=[F^*（1）…F^*（N）]^T，

令：，則系統運動方程可化成動力學方程為：

式中，q為廣義坐標列陣；，v廣義速度列陣；λ為約束反力及作用力列陣；F為系統動力學微分方程及用戶定義的微分方程；Φ為描述完整約束的代數方程列陣；G為描述非完整約束的代數方程列陣。

2. 動力學方程求解

應用ADAMS軟件建立的多體模型，其動力學方程一般為隱式、非線性的微分-代數混合方程，對此采用吉爾預測校正算法求解較好，求解后可得到系統中所有部件的邊界條件，即力、速度、加速度。進行動力學分析時，ADAMS采用兩種算法，分為剛性積分器和非剛性積分器兩種。

1）三種功能強大的變階、變步長積分求解程序

剛性積分器：GSTIFF（Gear）積分器、WSTIFF（Wielenga stiff）積分器、DSTIFF（DASSAL）積分器和SI2-GSTIFF（Stabilized Index-2）積分器。此四種積分器都使用BDF（Back-Difference-Formulae）算法，前三種積分器采用牛頓-拉弗遜迭代方法來求解稀疏耦合的非線性運動學方程，適用于模擬剛性系統（特征值變化范圍大的系統）。

2）提供ADAMS積分求解程序

非剛性的ABAM（Adams-Bashforth-Adams-Moulton）積分器，采用坐標分離算法來求解獨立坐標的微分方程，這種方法適于非剛性的系統，模擬特征值經歷突變系統或高頻系統。

3. 微分—代數方程的求解算法

根據當前時刻的系統狀態矢量值，用Taylor級數預估下一個時刻的狀態矢量值：

式中，時間步長h=t_n+1-t_n。

這種預估算法得到的新時刻系統狀態矢量值通常不準確，即式（2.17）右邊項不等于零，可由吉爾（Gear）K+1階積分求解程序（或其他向后差分積分程序）來校正。

式中，y_n+1為y（t）在t=t_n+1時刻的近似值；β₀，α_i為吉爾積分程序的系數值。

重寫式（2.18），得：

將式（2.16）在t=t_n+1時刻展開得：

將公式（2.20）在t=t_n+1時刻展開，得：

ADAMS使用修正的牛頓-拉弗遜迭代方法求解上面的非線性方程，其迭代校正公式為：

j表示第j次迭代。

由公式（2.19）知：

由公式（2.21）知：

將公式（2.24）、（2.25）代入公式（2.22）得：

公式（2.26）左邊的系數矩陣稱為系統的雅可比矩陣。

式中，為系統剛度陣（力相對廣義坐標的雅可比矩陣）；為系統阻尼陣（力相對廣義速度的雅可比矩陣）；為系統質量陣（力相對廣義加速度的雅可比矩陣）。

4. 控制數值發散方法

在ADAMS中對模型求解計算時，有時會發生數值發散的問題，以致仿真計算終止。只有解決了數值發散的問題，才能使仿真進行下去。針對上面討論的數值發散的原因，采用相應的技巧加以解決。

1）消除不連續的函數。在建模中盡量不使用IF突變函數，而采用STEP、STEP5和IMPACT等函數代替。

2）檢查模型的自由度是否正確，是否存在近似為零的動力學參數。

3）選擇正確的系統阻尼值。

4）對積分程序和積分控制參數進行合理的選擇。三種積分程序的數值計算穩定性關系為：BDF ＞ DSTIFF ＞ GSTIFF；三種積分程序的數值計算效率關系為：GSTIFF ＞ DSTIFF ＞ BDF。

這三種積分程序適用于模擬剛性系統（特征值變化范圍大的系統），而ABAM積分程序適用于模擬經歷突變或頻率高的系統。使用中應針對所研究的機械系統選用適合的積分程序和控制參數，如最大迭代次數、是否重新分解雅可比矩陣、積分誤差等，它們通常會有助于求解的收斂性，但積分誤差精度過低會影響求解的正確性。

2.1.4 ADAMS軟件建模步驟

ADAMS軟件的整個仿真計算過程可以分成以下7個步驟：①數據的輸入；②數據的檢查；③機構的裝配及過約束的消除；④運算方程的自動形成；⑤積分迭代運算過程；⑥運算過程中的錯誤檢查；⑦信息輸出與結果輸出。

ADAMS軟件本身具有較完善的前處理和后處理模塊。同時也有廣泛的CAD/CAM系統接口，如ARIES、CADAM、Schlumberger等CAD/CAM系統。因此，ADAMS軟件既可在字符終端上獨立運行，又可在圖形終端上利用軟件的功能作為輔助手段運行，結果可在繪圖機上直接輸出。對于汽車前懸架及轉向機構，由于輸出變量為標準變量（位移、速度、加速度、力等），此時僅用ADAMS的核心計算模塊，前、后處理均采用Schlumberger提供的圖形軟件BRAVO3中MECHANISM的圖形處理功能運行計算較為便利。此外，用戶還可使用CDL、AGL、IAGL（CPROC）語言開發一些前、后處理專用軟件，構成完整的前懸架—轉向機構的分析軟件。