第3章 汽車行駛振動

3.1 道路路面不平度的統計描述

3.1.1 路面譜及其分類

圖3-1所示為一路面的縱剖面圖。路面相對于基準平面的高度q沿道路走向長度I的變化q（I）稱為路面縱斷面曲線或不平度函數。這個函數的自變量為路面與選定的坐標原點的距離I，而不是時間t，因此，對應于路面激勵q（I）的功率譜為G_q（n）。

1984年由國際標準化組織在ISO/TC 108/SC2N67文件中提出的“路面不平度表示方法草案”和GB/T 7031—2005《機械振動道路路面譜測量數據報告》標準中，均建議路面功率譜密度G_q（n）用式（3-1）作為擬合表達式

式中，n為空間頻率（m^-1），它是波長λ的倒數，表示每米長度中所包含的波的個數；n₀為參考空間頻率，n₀=0.1m^-1；G_q（n₀）為參考空間頻率n₀下的路面功率譜密度值，稱為路面不平度系數（m²/m^-1=m³）；w為頻率指數，為雙對數坐標上斜線的斜率，它決定路面功率譜密度的頻率結構。

式（3-1）在雙對數坐標上為一斜線，對實測路面功率譜密度擬合時，為了減少誤差，在不同空間頻率范圍可以選用不同的擬合系數進行分段擬合，但不應超過4段。

上述兩個標準還提出了按路面功率譜密度，將路面的不平度分為A、B、C、D、E、F、G和H共8級，如表3-1所示。

表3-1規定了8級路面不平度系數G_q（n₀）的幾何平均值，分級路面譜的頻率指數w=2。表中還同時列出了0.011m^-1＜n＜2.83m^-1范圍路面不平度相應的均方根值q_rms（σ_q）的幾何平均值。

圖3-1 路面的縱剖面

表3-1 路面不平度8級分類標準

（續）

圖3-2 路面不平度分級圖

圖3-2所示為路面不平度分級圖，可以看出路面功率譜密度隨空間頻率n的提高或波長λ的減小而變小。當w=2時，G_q（n）與λ²成正比，G_q（n）是不平度幅值的均方值譜密度，故G_q（n）又與不平度幅值的平方成正比，所以不平度幅值q₀大致與波長λ成正比。

上述路面功率譜密度G_q（n）指的是垂直位移功率譜密度，還可以采用不平度函數q（I）對縱向長度I的一階導數，即速度功率譜密度和二階導數，即加速度功率譜密度來補充描述路面不平度的統計特性。（m）和與G_q（n）的關系為

當頻率指數w=2時，由式（3-2）和式（3-3）可得

可以看出，此時路面速度功率譜密度幅值在整個頻率范圍為一常數，即“白噪聲”，幅值大小只與不平度系數G_q（n₀）有關，用它來計算分析振動響應的功率譜會帶來方便。

3.1.2 空間頻率與時間頻率功率譜密度的關系

路面不平度的空間頻率功率譜密度為，計算要用到時間頻率譜密度G_q（f），因而須將路面空間功率譜換算為路面不平度的時間功率譜G_q（f）。設汽車速度為v（m/s），則時間頻率f是空間頻率n與車速v的乘積，即

f=vn （3-6）

又根據自功率譜密度與相關函數為傅里葉變換對的關系，可得空間頻率功率譜密度為

式中，ζ是路面上兩點之間的距離，相當時域中自相關函數R（τ）中的時間間隔τ，因而有

ζ=vτ （3-8）

將式（3-6）和式（3-8）代入式（3-7），可得

即 G_q（n）=vG_q（f） （3-9）式中，R（v，τ）表示自相關函數，為速度v和時間間隔τ的函數，當速度一定時，即v為常數，則自相關只是時間間隔τ的函數，因此，R（v，τ）可以寫成R（τ），整理式（3-9），可得

G_q（f）=G_q（n）/v （3-10）

將式（3-1）和式（3-6）代入式（3-10），可得時間頻率功率譜密度G_q（f）的表達式，當w=2時，有

因此，時間頻率的速度和加速度的功率譜密度與位移功率譜密度G_q（f）的關系式為

由上可知，時間頻率的路面不平度位移、速度和加速度的功率譜密度G_q（f）、和都與路面不平度系數以及車速v成正比。

3.1.3 車輛路面不平輸入的功率譜密度

1.前、后兩車輪輸入的功率譜密度與互譜密度

上面只討論了一個車輪的自功率譜，如果考慮前、后車輪兩個輸入時，還要研究兩個輸入之間的互功率譜問題。如圖3-3所示，x（I）為前輪遇到的不平度函數，假定前、后輪走同一個車轍，則后輪只是比前輪滯后一段長度I（軸距），因而后輪不平度函數為x（I-l）。

圖3-3 前、后車輪的兩個輸入

如令x（I）的傅里葉變換為X（n），即

F[x（I）]=X（n） （3-14）

則根據傅里葉變換的性質可得

F[x（I-l）]=X（n）e^-j2πnl （3-15）

如果激勵前、后輪的道路譜的自譜、互譜分別用G₁₁（n）、G₂₂（n）、G₁₂（n）和G₂₁（n）表示，則有

式中，L為路面長度I方向上的分析距離，X*（n）為X（n）的共軛復數。以上各式也可以寫成矩陣形式，即

寫成時間頻率的功率譜則為

2.四輪輸入時的功率譜密度與互譜密度

圖3-4所示為四輪輸入示意圖。四車輪輸入時，如果x（I）、y（I）分別為左前輪和右前輪遇到的不平度函數，則左后輪和右后輪不平度函數分別為x（I-l）、y（I-l）。

根據不平度函數的傅里葉變換與功率譜之間關系，可得四個車輪輸入的自功率譜和四個車輪彼此間輸入的互功率譜，共16個譜量G_ik（n）（i，k=1，2，3，4），為

圖3-4 四輪輸入示意圖

因此，四個車輪輸入的自功率譜和互功率譜，共16個譜量分別為

兩個輪跡之間不平度的統計特性，用它們之間的互功率譜密度函數或相干函數來描述。互譜密度一般為復數，用指數形式表示時，左、右輪跡間的互譜可以表示為

式中，G_xy（n）為x（I）與y（I）的互振幅功率譜；?_xy（n）為x（I）與y（I）的互相位譜。

兩個輪跡的相干函數，可表示為

相干函數coh²_xy（n）在頻域內描述了x（I）與y（I）中頻率為n的分量之間線性相關的程度。當coh²_xy（n）=1時，表明對x（I）與y（I）中頻率為n的分量之間幅值比和相位差保持不變，即完全線性相關；當coh²_xy（n）=0時，表明x（I）與y（I）中頻率為n的分量之間幅值比和相位差是完全無關地隨機變化的。

當兩個輪跡x（I）與y（I）的統計特性相同，即G_xx（n）=G_yy（n）=G_q（n），且相位差在?_xy（n）=0時，由式（3-25）可得

G_xy（n）=G_yx（n）=coh_xy（n）G_q（n） （3-26）

路面對四輪汽車輸入的譜矩陣可以表示為