2.1 矩陣論

矩陣論是線性代數的后繼課程，是學習經典數學的基礎。在線性代數的基礎上，進一步介紹了線性空間與線性變換。歐式空間與酉空間，以及在此空間上的線性變換，深刻地揭示有限維空間上的線性變換的本質與思想。為了拓展高等數學的分析領域，通過引入向量范數和矩陣范數在有限維空間上構建了矩陣分析理論。

從應用角度來講，矩陣代數是數值分析的重要基礎，矩陣分析是研究現行動力系統的重要工具。為了矩陣理論的實用性，對于矩陣代數與分析的計算問題，并利用Python軟件實現快捷的計算分析，將所學的理論知識應用于本專業的實際問題，并轉化為解決實際問題的能力。矩陣論作為數學領域的一個重要分支，已成為現代科技領域處理大量有限維空間形式與數量關系的有力工具。

2.1.1 線性空間與線性變換

線性空間與線性變換是學習現代矩陣論時經常用到的兩個非常重要的概念。

設V是一個非空集合，它的元素用x,y,z等表示，并稱之為向量；K是一個數域，它的元素用k,l,m等表示，如果V滿足下列條件：

（1）在V中定義一個加法運算，即當x,y∈V時，有位移的和x+y∈V，且加法運算滿足以下四個性質。

1）交換律x+y=y+x。

2）結合律x+(y+z)=(x+y)+z。

3）存在零元素0，使x+0=x。

4）存在負元素，即對任一向量x∈V，存在向量y∈V，使x+y=0，則稱y為x的負元素，記為-x，于是有x+(-x)=0。

（2）在V中定義數乘運算，即當x∈V，k∈K，有唯一kx∈V，且數乘運算滿足以下四個性質。

1）數因子分配率k(x+y)=kx+ky。

2）分配率(k+l)x=kx+lx。

3）結合律k(lx)=(kl)x。

4）lx=x。

則稱V為數域K上的線性空間或向量空間。

線性空間V到自身的一種映射就是V的一個變換。

在簡要介紹這兩個概念的基礎上，再討論兩個特殊的線性空間——歐式空間和酉空間。設V是實數域R上的線性空間，對于V中任意二向量x與y，按某規則定義一個實數，用（x,y）表示，且它滿足下列四個條件。

（1）交換律：(x,y)=(y,x)。

（2）分配律：(x,y+z)=(x,y)+(x,z)。

（3）齊次性：(kx,y)=k(x,y)(?k∈R)。

（4）非負性：(x,x)≥0，當且僅當x=0時，(x,x)=0。

則稱V為Euclid空間，簡稱歐式空間或實內積空間。

歐式空間是針對實數域R上的線性空間而言的，而酉空間是一個特殊的復線性空間，兩者理論相近，有一套平行的理論。

2.1.2 范數理論

在計算數學中，研究數值方法的收斂性、穩定性及誤差分析等問題時，范數理論起到了重要的作用。

若V是實數域K上的線性空間，且對于V的任一向量x，對應一個實值函數║x║，它滿足以下三個條件。

（1）非負性：當x≠0時，║x║≥0，當x=0時，║x║=0。

（2）齊次性：║cx║=│c│║x║（a∈K，x∈V）。

（3）三角不等式：║x+y║≤║x║+║y║（x，y∈V）。

則稱║x║為V上向量x的范數，簡稱向量范數。