第1章 整數1

一生萬物，萬物歸一。

——大仲馬，《三個火槍手》

就算你是唯一反抗的人，真理永遠是真理。

——圣雄甘地

整數1似乎毫不起眼，只有一個你能做什么呢？但1的簡單性有其正面的一面：唯一性。在數學世界中，如果有許多選項，卻只有一種可能，是一件很有價值的事情。搜索數學領域的論文和書籍，標題中含有“唯一”的超過2700種。如果知道問題有唯一解，就能給解題的結構和策略帶來啟發。這一章的部分小節（不是全部）探討了數學中出現的各種唯一性，這給“1”帶來了新的意義。

折紙

傳統的折紙是用一張紙僅僅通過折疊得出最終的形狀。數學家很嚴肅地對待折紙問題，他們進行了系統性的構造，包括利用計算機精確計算折疊圖案。除了能促進藝術，他們的工作還有實際用途。例如，如何將太陽能板運送到太空？數學折紙能設計出緊湊的組裝方式以便于運輸，一旦送進太空，太陽能板就能完全展開。

孩子們喜歡折美麗的白天鵝，但這種折紙違反了傳統：不剪、不撕、不用膠水。但如果允許剪一刀呢？能做出什么樣的圖形？麻省理工學院（MIT）有一位年輕的加拿大裔教授埃里克·德曼給出了驚人的答案，他的研究領域是藝術、數學和計算機科學。德曼證明，任何形狀，只要邊界是由有限直線段組成，就能通過適當的折疊然后一刀剪出！這其中包括任意的多邊形或多重多邊形。圖1.1給出了制作天鵝的折疊圖樣，將紙沿圖形的短劃線和點劃線折疊起來，沿著實線一刀就能剪出天鵝。

斐波那契數列和黃金分割

數學家和數學愛好者都對斐波那契數列感興趣。斐波那契數列最前面的兩個數字是1，隨后的每個數字都是前面兩個數字之和，根據這個規則生成的數列是1，1，2，3，5，8，13，21，……用Fn表示第n個斐波那契數，存在一個巧妙的通項公式：

隨著n越來越大，第2項縮小到接近0，因此Fn可以近似為

這個縮略形式意味著前后項之間的比為

右邊的常數——通常用希臘字母?表示——稱為黃金比例。這個數與藝術、建筑和生物生長之間的關系有很久的研究歷史，但并不是很多人都知道?與整數1之間存在關聯，有兩個美麗的公式體現了這種關聯。第一個是

這個公式是一個無窮連分式。為了便于理解，考慮它的一個有窮形式：

注意在每一步化簡中，最“底層”的分數——例如，第1個式子中的1/1，第2個式子中的1/2——就是相鄰兩個斐波那契數的比。隨著不斷加1和1除，近似公式（1.1）就產生出了公式（1.2）。

第二個將?和數字1聯系到一起的公式中包含嵌套開平方：

同樣可以寫出其有限形式

與連分式不同，不斷加1和開平方產生的數沒有那么漂亮的結構。不過要證明公式（1.3）并不困難。如果令，則

因此x2-x-1=0。解這個二次方程（注意x＞0）得到x=?。

數的唯一表示

將一個數分解成更小數的乘積有多少種方法？回想一下素數是不能分解的，最小的幾個素數是2，3，5，7，11和13。60可以用10種方式分解（因子遞增排列）：

其中最后一種是唯一的只用了素數的分解方式，算術基本定理指出所有的數都只有一種素數分解方式。

大素數的分解十分困難，目前還沒有有效的分解方法，最具挑戰性的分解問題是半素數的分解，半素數是兩個素數的乘積。半素數在密碼學中具有重要作用。由于大素數具有十分重要的應用價值，因此關注互聯網安全的電子前線基金會為尋找超大的素數提供了豐厚的獎金。

如果將乘換成加，算術基本定理就不再成立，即使很小的數都可以有多種分解成兩個素數之和的方式，例如，16=5+11=3+13。如果我們將范圍限定在自然數的某個子集，并堅持其中每個數最多只能用一次呢？2的冪集{1，2，4，8，……}就能做到這一點。例如，45可以寫成45=32+8+4+1=25+23+22+20。這等于是將數寫成二進制形式，因為45的二進制就是101101。每個數都有唯一的二進制表示。

另一個能給出唯一表示的自然數子集與斐波那契數列有關。齊肯多夫定理指出任意一個正整數都能被唯一地寫成一個或多個不相等并且不相鄰的斐波那契數之和。例如，45=34+8+3=F9+F6+F4。需要強調是不相鄰的斐波那契數，否則，如果用F3+F2替換F4，就會產生45的另一種表示。雖然斐波那契數列已有大約800年的研究歷史，齊肯多夫定理卻是在1939年才被發現。

分解紐結

在上一節我們看到所有正整數都有唯一的素數分解方式，這種將對象分解成一個基本部分集合的思想也出現在一些讓人意外的場合。

要理解紐結理論首先要理解紐結的結構，可以將紐結想象成兩端連在一起的長繩。如何將3維的紐結畫在平面上呢？想象一下將紐結攤在平面上，注意線的疊跨。最簡單的情形是構成一個圓環，這并不是傳統意義上的紐結，被稱為解結。最簡單的紐結是三葉形紐結（唯一具有3跨的紐結）和八字結（唯一具有4跨的紐結），如圖1.2所示，八字結在帆船和攀巖中經常用到。

然后是分解的思想。假設有兩個復雜的紐結，各自剪斷，然后將兩者連接到一起（圖1.3），我們稱之為復合紐結。這個過程也可以反過來，一個紐結可以分解成兩個紐結。對此我們不關心其中一個或兩個新紐結都為解結的情形，這類似于將數字n寫成n×1。如果一個紐結不能分解，我們稱之為素紐結，這樣基本問題就是是否所有紐結都能分解成一組素紐結，也就是說，算術基本定理是否能擴展到紐結？是！有定理證明了所有紐結都有唯一的素紐結分解。分解的序并不重要，無論怎樣分解，最終的結果都是同樣的一組素紐結。

除了疊跨的數量，還有另一種方式可以描述紐結的復雜性。假設我們可以剪開紐結將一個上跨變換成下跨（或反過來），對于給定的紐結，將其變成解結所需的變換次數稱為解結數。讓人驚訝的是有些紐結的疊跨很多，解結數卻為1。你可以試一試圖1.4中的紐結，只用一次變換，將這個有9次疊跨的紐結變成解結。這種情形很難一眼看出來。魔術師喜歡利用這種紐結，只用一次變換，然后讓目瞪口呆的觀眾看著一團亂麻展開成一條簡單的繩環。一般很難判斷紐結的解結數，不過在1985年證明了，如果一個紐結的解結數為1，則其為素紐結。

計數和斯特恩序列

19世紀的數學家康托爾發展了不同層次的無窮大，震驚了數學界，他提出了一種比較兩個集合的大小的新方法。

先說一個簡單的問題：你怎么證明你的手指頭同腳趾頭一樣多？大部分人都會說，“我有10個手指和10個腳趾，因此它們是一樣多的”。這個論證沒問題，但用到了一個不必要的概念，腳趾和手指的具體數量，問題要求的只是證明兩個集合具有同樣的大小，沒有要求給出具體數量。那該怎么回答這個問題呢？將手指和腳趾一一對應就可以，即一個手指與一個腳趾配對。例如，左手的大拇指對左腳的大腳趾。通過配對，我們就能說手指的集合與腳趾的集合具有同樣的大小——用數學術語說就是具有相同的基數。將一個集合中的每個元素與另一個集合中的一個元素進行配對，這種一一對應的思想在數學中經常被用來證明兩個集合具有相同的基數。

一一對應的思想可以延伸到無窮集。正整數的集合與所有非零整數的集合具有相同的基數。感覺似乎不太可能，因為第一個集合完全屬于第二個集合。難道不應該是第二個集合是第一個集合的兩倍大嗎？實際上在兩個集合之間可以建立一一對應：

第一個集合中的每個數都可以與第二個集合中的一個數配對，因此兩個集合具有相同的基數。推而廣之，任何可以“列出”的無窮集合都與正整數集具有相同的基數。這種集合稱為可列無窮集，簡稱可列集。

正整數集和正有理數集如何比較？康托爾認為兩者具有相同的大小。這又是如何做到的呢？任何兩個相鄰整數之間都有無窮多個有理數，得出這樣的結論似乎很荒謬，標準做法是將有理數排列成網格（圖1.5），然后沿著對角線一一對應。排在前面的幾個有理數是1、2、、、3、4、和。從圖中可以看到，我們略過了一些數。例如，在出現數字后，又出現了、，等，根據先到先占的原則，我們將后出現的相同數字去掉，每個分數只在第一次出現時被計數。

有沒有一一對應可以不這樣跳躍呢？有一種方法要用到斯特恩序列。斯特恩序列是這樣定義的，f（0）=0，f（1）=1，以及兩個遞歸關系f（2n）=f（n）和f（2n+1）=f（n）+f（n+1）。前面幾項是0、1、1、2、1、3、2、3、1、4、3、5、2、5、3、4。可以證明這個數列中任何相鄰的兩個數都是互素的，也就是說，它們沒有相同的因數。據此可以推出如下驚人的定理：在由f（n）/f（n+1）生成的有理數序列中，每個有理數正好出現一次，這樣我們就得到了所希望的正有理數與正整數的一一對應，表1.1列出了一些項。

康托爾關于無窮的思想現在已經成為數學的標準，但剛提出時讓數學界大為震驚。龐加萊稱康托爾的研究為“絕癥”（Dauben，Georg Cantor，1979，p.266），克羅內克指責康托爾是一個“墮落青年”（Dauben，Georg Cantor，1977，p.89）。希爾伯特則聲稱，“沒有人能將我們從康托爾創建的天堂中趕出去”（Hilbert，über das Unendliche，p.170）。

分形

三分康托爾集是數學分析中被研究得最多的怪異集合之一，構造方法是從區間[0，1]開始，去掉中間的，即區間（，），然后再去掉剩下的[0，]和[，1]這兩個區間中間的三分之一，反復執行這個去除過程直到無窮（圖1.6）。感覺這個過程似乎什么也沒留下，將去掉的區間長度加起來，通過幾何級數可以算出

因此去掉部分的總長度等于原區間的總長度。不過，區間的度量與點集的度量不同，實際上留下的還有無窮多個點，也就是所謂的康托爾集。這個集合是如此精細，因此有時候也被稱為康托爾塵。簡要說一下，這個集合包含基為3并且每一位都不為1的無窮擴展的數。例如，其基為3的擴展是0.20022002200……。

康托爾集還有一個有趣的特性。將其復制一份，縮小為原來的，再復制一份，也縮小為，并右移。兩個縮小的集合的并集正好就是原來的康托爾集。如果一個集合是有限個自身的縮小拷貝的并集，我們就說它具有自相似性。我們能從另一個集合出發，復制兩份，像剛才那樣縮小和移位，又得到原來的集合嗎？不能。根據哈欽森定理，變換集——即縮小和移位集合拷貝的規則——唯一地確定了在這種變換下具有自相似性的集合。

生成康托爾集的過程可以被一般化，生成各種怪異的集合。如果是平面上的點集會更讓人印象深刻。例如，將一個等邊三角形分成4份，然后去掉中間的三角形。然后將留下的小三角形又分成4份，又去掉中間的。不斷執行這個過程直到無窮，就可以生成謝爾賓斯基三角（圖1.7）。

很顯然謝爾賓斯基三角也具有自相似性：將3個縮小的拷貝排列起來就可以得到原來的圖。編寫計算機程序畫出這樣的圖不是很難，有一個更簡單的辦法是借助混沌游戲這類程序對平面上的點應用下面這3條規則：

第一條規則將一個點移到距原點的一半處。第二條規則先執行與第一條相同的操作，然后右移。第三條規則也執行與第一條相同的操作，然后右移，上移。

這里每一條規則都是受集合的自相似性啟發。混沌游戲程序是怎么做的呢？隨機選擇平面上的點并隨機應用這3條規則其中的一條，再隨機選擇一條規則并將其應用到新生成的點。重復這個過程，比如說100次后，逐步將這些點畫出來（圖1.8）。謝爾賓斯基三角就慢慢呈現出來。

一般而言，如果有有限條變換規則，每一條都是縮小，可能還有移位和旋轉。從任意點出發應用規則中的一條（每一步隨機選取），反復執行，根據哈欽森定理可知，填充出來的將是唯一的集合，這種集合被稱為吸引子。規則的結構會使得吸引子具有自相似性，這些自相似集就是分形。用這種方法可以生成許多復雜的集合，例如巴恩斯利蕨和門格海綿這樣的三維結構（圖1.9）。

吉爾布雷斯猜想

探尋素數中的模式就好像尋找圣杯，在這些數中發現簡單秩序的每一次嘗試都讓研究者們回到原點——吉爾布雷斯猜想正是這樣。列出排在前面的一些素數，然后取相鄰素數之差的絕對值，反復這樣做，表1.2給出了前面幾行。

你有沒有注意到某種模式？每一行都是從1開始，這不是因為我們只做了幾行導致的巧合，一項計算機研究證實了，直到大約3.4×1011行，每一行的第一項都是1。吉爾布雷斯猜想認為第一項永遠都是1。這個問題看似很簡單，但直到目前還沒有被證明。

本福特定律

隨機取一個正整數，第一位為1的概率有多大？當然是。1并沒有什么特別：遇到其他數的可能也同樣是。然而如果改變一下場景，比如計算城鎮的人口規模呢？第一位是1的可能性不再是，而是30%左右。不僅僅城鎮規模是這樣，所得稅、街道門牌號、斐波那契數列、河流的長度等，許多現象都存在同樣的偏離。根據本福特定律，這些現象的第一位的值為n的概率是。圖1.10給出了計算出的百分比。

不難證明這些概率加起來為1：

第一個觀察到并記錄這種現象的是美國天文學家西蒙·紐康，他于1881年注意到對數表的第一頁比后面的頁面要臟得多，對數表在計算中經常要用到。直到20世紀30年代，弗蘭克·本福特才再次注意到這種現象，隨后他分析了大量人工的和天然的數據集。一般來說，具有某種指數增長率的現象都服從本福特定律。

這種違反直覺的小數字傾向已被應用到法律中。偷稅者為了讓偽造的文件看起來可信，會修改文件中的數據，為了讓數據看起來真實，他們會以隨機的方式捏造數據，這會導致數據違背本福特定律，從而引發稽查。

布勞威爾不動點定理

假設你有兩張相同的畫紙，將一張放在桌上，另一張揉皺，放在前一張上，各邊不越出去，則皺紙上至少有一點不動，也就是說，正處于平紙的對應點的上方。這是布勞威爾不動點定理的一個具體例子。不幸的是，這個定理不是構造性的，它沒有告訴我們那個不動點在哪里！類似布勞威爾這樣的不動點定理有很多應用背景，包括數理經濟學。與前面見過的一些唯一性定理不同的是，不動點定理給出的是存在性論斷，唯一性定理說的是最多存在一個，而存在性論斷說的則是至少存在一個。

布勞威爾不動點定理的一個變體是毛球定理。假設球上每點都有一根朝外的短毛發，毛發的方向以連續的方式變化，毛發定理說的是至少有一根毛發必須垂直朝上。你可以通過梳一個椰子來想象。而另一方面，不存在什么毛面包圈定理，面包圈上的所有毛發都可以沿同一個方向放平，因此沒有毛發立起來。

逆問題

“給定x，計算x2”，這樣的問題可以直接通過乘法得出。給定數字13，其平方是169。反過來，“給定x，求y，使得x=y2”，如果x=169，則y=±13。這樣的問題會引出一系列問題，就像例子中那樣，答案可能不唯一。事實上，解有可能不存在：如果x是負數，就不存在y的平方等于x。而即便解存在，要算出具體的值（或近似解）也需要更多努力，計算平方根比乘法所需的計算量要大得多。將最初的求平方的問題稱為正問題，求平方根的問題則是相應的逆問題。

逆問題通常很難分析和解決，答案的存在有限制條件，構造答案的過程所需的計算成本要比相應的正問題昂貴得多（所需計算機內存和時間更多）。當然，如果答案不存在，求解就毫無意義，而如果答案不唯一，求解可能更為困難。

來看一個更復雜的逆問題。假設可以測量照片上每一點的灰度，則可以用這個信息來計算沿某條與圖片相交的直線的平均灰度。現在將這個問題逆過來，假設已知沿某條直線的平均灰度，能不能利用這個信息求出各點的灰度？1917年約翰·拉東對這個問題給出了肯定答案，拉東變換就是得出唯一灰度解的公式。

這個似乎純粹理論性的結果具有廣泛的應用。第一個實際應用出現在大約50年后，與醫學成像有關，取一個人體截面（當然是想象的），我們關心的不是灰度，而是各點人體組織的密度。用已知強度的X線束穿過人體，并測量射線束的強度衰減，就能計算出沿途所穿過組織的平均密度。沿通過截面的所有直線測量平均密度，拉東變換就可以用這些測量值重構出各點組織的密度，對身體各層截面都執行這個過程，就能得到人體各點密度的圖像。有了這些信息，醫生就可以發現腫瘤。對這項技術的早期應用使得神經疾病的診斷有了突破性進展，基于這種方法誕生了非介入性醫療成像技術。阿蘭·科馬克和高弗雷·豪斯費爾德由于在這個領域的奠基性研究榮獲了1979年的諾貝爾生理學或醫學獎。

解這類逆問題的成果還有很多，這個理論成功的一個關鍵是問題具有唯一解。除了醫學，逆問題在其他領域也有很多應用，地震成像也是一個大尺度上的逆問題。如果聲波傳入地下，并且知道巖層的密度變化，就能計算出反射回地面的聲波的強度。逆問題是測量出反射波的強度，據此利用數學重構地下巖層的密度，而不用挖洞！這是找油的現代方法。另一個逆問題是檢測裂縫，為了檢查引擎結構是否有缺陷，需要對缸體、活塞頭和曲軸進行檢測。與地震成像的思想類似，非破壞性的靜電測量能夠揭示材料的結構。這類測量技術在希望能無損的應用場合中被證明很有用。但故事并沒有結束，這些應用背后的理論要求精確測量，而在實際中這是不可能的，條件局限和噪聲會導致圖像模糊，產生條紋和重影等干擾，要發展出數值穩定技術來逼近準確的唯一解還需要做更多研究。

完美正方形

一個正方形如果能被分割成有限個大小不一的小正方形，就稱為完美正方形。這些正方形的任何子集如果都無法組成一個矩形，則稱之為簡單完美正方形。

俄國數學家尼古拉·盧津認為完美正方形不可能構造出來，但這個論斷被推翻了，1939年斯普拉格給出了一個由55個正方形組成的完美正方形。1978年，杜維丁給出了一記組合拳，他構造了一個由21個正方形組成的簡單完美正方形（圖1.11，正方形中的數字表示邊的長度）。對于階為21的簡單完美正方形，這種分割是唯一的，而且不存在更低階的簡單完美正方形。

玻爾—莫勒魯普定理

學數學的學生通常是在對排列進行計數時開始遇到階乘，10個字母{a,b，c,d，e,f，g,h，i,j}有多少種排列方式？在第一個位置有10種可能，第二個位置有9種，第三個位置有8種，如此繼續，因此排列的總數是10！=10×9×8×7×……×3×2×1=3628800。階乘在數學中有許多用途，表1.3展示了階乘的增長有多快。階乘可以用遞歸的方式計算，（n+1）！=（n+1）×n！。為了與組合問題相聯系，我們定義0！=1。

傳奇性的18世紀瑞士數學家歐拉想到了如何將階乘函數擴展到正實數。我們想將表1.3中的那些點“連”起來，從（0，1）到（1，1）、（2，2）、（3，6）、（4，24），等。當然，有無窮多種途徑可以這樣做，但我們想讓得出的函數具有“漂亮的”性質，歐拉將伽馬函數（圖1.12）定義為

這個函數具有兩個類似階乘的性質：對于所有x＞0有Γ（1）=1和Γ（x+1）=xΓ（x），將這兩個性質結合在一起可以證明，對于所有正整數n，有：

雖然這兩個性質限制了對階乘函數的可能擴展，但還是有其他可能。玻爾和莫勒魯普發現了伽馬函數的另一個性質：Γ（x）的圖形具有對數凸性，也就是說，函數logΓ（x）具有凸性。說一個函數f（x）具有凸性，意味著如果a＜b，則連接（a,f（a））和（b,f（b））的線段位于y=f（x）的圖形之上。那么伽馬函數在階乘函數的所有擴展中具有什么獨特之處呢？玻爾—莫勒魯普定理指出，伽馬函數是唯一在正實軸上具有對數凸性的函數f（x），并對所有的x＞0，有f（1）=1和f（x+1）=xf（x）。

伽馬函數在數論和分析中用途廣泛，除了正弦和余弦這類經常出現的三角函數，伽馬函數可能是最常用的特殊函數。甚至在統計中，還不太為人所知地用在了正態分布的公式中。

皮卡定理

學生一旦開始學習函數，就會學習定義域（可能的輸入值的集合）和值域（對應的輸出值的集合）的概念。如果一個實值函數的定義域是整個實數軸，則值域可能很大也可能很小。例如一個簡單的例子f（x）=5，它的值域是{5}，只有一個元素，而f（x）=x的值域則是整條實數軸。在兩者之間的呢？f（x）=1/（1+x2）的值域是（0，1]（包括1但不包括0），而sinx和cosx的值域都是[-1，1]，f（x）=ex的值域則為（0，∞）。

如果將函數擴展到復變量，情況會更為復雜，由于定義域變大了，值域通常也會變大。非常數多項式的值域包含所有復數，這是代數基本定理的一個簡單推論。三角函數sinz和cosz的輸入如果是實數，則值域有限，但如果是復數則值域包含所有復數。一些在實數軸上有完整定義的函數則不能擴展到整個復平面，例如在iz=±就沒有定義。

皮卡小定理給出了一個寬泛的論斷：如果非常數函數的定義域是整個復平面，并且在每一點都可微，則函數的值域也是整個復平面，可能除去一個點。例如，函數滿足定理的條件，其值域包括除0以外的所有復數。為什么叫皮卡“小”定理？哪里小？它本身一點也不小，它只是不像類似的皮卡大定理那樣更加徹底，要闡明這個定理還需要引入其他術語。

與實變函數類似，復變函數可能在一些點沒有定義，這種點稱為函數的奇點。有時候奇點就是函數圖形上一個小小的洞，例如函數f（z）=sinz/z，這個函數在z=0沒有定義，但隨著z逼近0，函數值逼近1，我們稱之為可去奇點。另一類奇點被稱為極點，數學家們通常想到的都是這類，例如z=0就是函數的極點。這是一階極點，如果函數在z=z0處有定義或者為可去奇點，并且m是滿足這個條件的最小正整數，則稱函數f（z）在z=z0處有m階極點。還有些奇點的特性很強，不是任何階的極點，它們被稱為本性奇點。例如函數在z=0處。

那么皮卡大定理說的是什么呢？假設函數f在z=z0處具有本性奇點。想象一個中心位于z0的穿孔圓盤，即圓心被去掉了。這個定理斷言，如果我們將定義域限定在這個穿孔圓盤上，則函數f的值域是整個復數域，至多排除一個點。無論圓盤有多小，值域都包含至多排除一個點的所有可能值。函數的本性奇點z=0在其值域中只排除了0，但會命中其他所有值無窮多次。