1.4　無標度網絡

WS模型能夠反映現實網絡的小世界特征，然而現實世界中的網絡還被統計到極少節點擁有大量的連接，而眾多的節點僅具有少量連接的特征，這些也無法用隨機模型加以合理解釋。

ER隨機圖和WS小世界模型的一個共同特征就是網絡的度分布可近似用泊松分布來表示，該分布在度平均值<k>處有一個峰值，然后呈指數快速衰減。因此這類網絡也稱為均勻網絡或指數網絡。20世紀末網絡科學研究上的另一重大發現就是包括Internet、WWW、科研合作網絡^[13～16]以及蛋白質相互作用網絡^[21，22]等眾多不同領域的網絡的度分布都可以用適當的冪律形式來較好地描述。由于這類網絡的節點的度沒有明顯的特征長度，故稱為無標度網絡。這一概念由Barabsi和Albert^[23]在1999年提出，現在稱為BA無標度網絡模型。它使得無標度網絡成為網絡科學中的一個重要課題。無標度網絡度分布P（k）～k^-γ（其中γ稱為度指數）的最重要特征是標度不變性。下面來解釋這一概念^[24]。

考慮冪律函數y（x）=cx^α和指數函數z（x）=c。現在改變測量單位（標度），即乘以因子λ，看看這兩個函數對標度改變的反應。顯然

　　（1-1）

　　（1-2）

式（1-1）說明函數圖形的形狀沒有變化，同時函數的指數也不變。然而，從式（1-2）可知:函數圖形的形狀已經改變，或者函數的指數需乘以因子。這說明冪律函數具有標度不變性，即不依賴于所采用的測量單位;而指數函數則不具備這種特性。

Barabsi和Albert指出ER隨機圖和WS小世界模型忽略了實際網絡的兩個重要特性:

① 增長特性，即網絡的規模是不斷擴大的;

② 優先連接特性，即新的節點更傾向于與那些具有較高連接度的hub節點相連接。這種現象也稱為“富者更富”或“馬太效應”。

基于上述增長和優先連接特性，Barabsi和Albert提出了BA無標度網絡模型，見如下算法。

BA無標度網絡模型構造算法如下。

① 初始:開始給定N₀個節點。增長:在每個時間步重復增加一個新節點和K（K≤N₀）個節點新連線。

② 擇優:新節點按照擇優概率選擇舊節點i與之連線，其中k_i是舊節點i的度數。

實證研究發現，許多現實網絡，包括社會網絡、信息網絡、技術網絡和生物網絡都具有標度不變性，因此無標度網絡的提出，極大地激發了科學界對網絡科學的研究熱情。