4.4　二元線性回歸分析

在實際工作中，影響因變量（y）的自變量（x）往往不止一個，可能有多種因素，這就需要用多元回歸分析方法。多元回歸分析的基本原理與一元回歸方法相同，由于自變量多，計算較為復雜。二元線性回歸分析是多元線性回歸中最簡單的情況。

4.4.1　二元線性回歸方程求解

設兩個自變量分別為x₁和x₂，因變量為y，二元線性回歸方程可表示為：

　　（4-61）

式中，a為常數(shù)項，b₁、b₂分別為x₁、x₂的偏回歸系數(shù)，反映x₁、x₂對因變量y的影響程度。通過一系列自變量（x₁₁，x₂₁）、（x₁₂，x₂₂）、…、（x_1n，x_2n），分別測量得因變量y₁、y₂、…、y_n，用最小二乘法確定常數(shù)項a和偏回歸系數(shù)b₁、b₂。

與一元線性回歸方程類似，二元線性回歸方程的變差平方和可表示為：

　?。?-62）

滿足變差平方和的條件是：

　　（4-63）

　　（4-64）

　?。?-65）

解式（4-63）得：

　?。?-66）

將式（4-66）代入式（4-64）、式（4-65），得：

　?。?-67）

　?。?-68）

令

解式（4-67）和式（4-68），整理得：

　　（4-69）

　　（4-70）

回歸方程中的a用式（4-66）計算。

4.4.2　二元線性回歸方程的顯著性檢驗

4.4.2.1　方差分析

在求得二元線性回歸方程后，需要確認y與x₁、x₂之間是否存在顯著的相關性，為此可進行方差分析。

與一元線性回歸方程類似，可將y的總變差平方和Q_T分解成回歸變差平方和Q_R和剩余變差平方和Q_e，這樣：

式中，

計算方差分析統(tǒng)計量：

　　（4-71）

對給定顯著性水平α，當，則認為在顯著性水平下，y與x₁、x₂存在顯著的線性關系。反之，不存在顯著的線性關系。

表4-18給出了多元線性回歸方程方差分析表。

4.4.2.2　相關系數(shù)

與一元線性回歸方程相似，在二元線性回歸方程中要檢驗因變量y與自變量x₁、x₂的相關性，可用一個全相關系數(shù)R來表征它們之間的相關性。

　?。?-72）

對二元線性方程，亦可表示為：

　?。?-73）

當R≥r_{0.05，（n-3）}時，認為所建立的回歸方程在95%置信水平是有意義的。對二元回歸方程，還可檢驗y對x₁或x₂是否有顯著意義。類似一元回歸方程的相關系數(shù)計算［式（4-14）］，用和分別表示y對x₁和y對x₂的偏相關系數(shù)，用表示y對x₁與x₂的偏相關系數(shù)，有：

　?。?-74）

并有：

　?。?-75）

4.4.3　二元線性回歸方程的精度

類似于一元線性回歸方程，對于二元線性回歸方程，用殘余標準差表示回歸方程的精度：

　?。?-76）

式中，Q_e是殘差平方和；ν是自由度；n是回歸方程試驗點數(shù)目；m是回歸方程自變量數(shù)目。對二元回歸方程：m=2，ν=n-3。

【例4-9】　已知某礦區(qū)鐵精礦的全鐵含量與其二氧化硅和三氧化鋁含量有關，通常，二氧化硅和三氧化鋁含量高，則全鐵含量低。根據(jù)12個樣本的測量結果（表4-19），試計算它們的回歸方程、相關系數(shù)和標準差。

解　本題按二元一次方程求解，將表4-19各數(shù)據(jù)填入Excel表格，計算以下參數(shù)：

按式（4-69）、式（4-70）和式（4-66）

由此，回歸方程表示為：y=69.91-0.981x₁-1.222x₂

按式（4-72），求全相關系數(shù)R：

按式（4-76），計算回歸方程標準差s_e：

二元一次方程的計算較為復雜，而且容易出錯。在實踐中可利用Excel的數(shù)據(jù)分析/回歸功能進行計算，在y值輸入?yún)^(qū)域輸入Fe含量，在x值輸入?yún)^(qū)域輸入SiO₂和Al₂O₃含量，即可計算并給出回歸方程的a、b₁、b₂、R和s_e等參數(shù)（見第13章圖13-23）。

4.4.4　二元非線性化回歸

對二元非線性回歸，可用一元非線性回歸方程的方法處理，先將自變量設置為線性項，然后按二元線性回歸方法處理，求出常數(shù)項a和回歸系數(shù)b₁、b₂，建立回歸方程。在此基礎上進行方程的顯著性檢驗，計算回歸方程的殘余標準差和相應的置信區(qū)間。