2.2　平均值一致性檢驗(yàn)

2.2.1　概述

平均值一致性的檢驗(yàn)是檢查分析結(jié)果的準(zhǔn)確度，考察系統(tǒng)誤差對分析結(jié)果的影響。

分析測試中，測量值x是一個以概率取值的隨機(jī)變量，若x遵循正態(tài)分布N（μ，σ²），則n次測量的平均值遵循正態(tài)分布N（μ，σ²/n）。平均值是正態(tài)總體均值μ的無偏估計(jì)，若不同樣本來自同一總體，則不同樣本的平均值均為該總體均值μ的無偏估計(jì)值，都在總體均值μ附近波動。從統(tǒng)計(jì)上講，各樣本平均值的變動性都在其隨機(jī)誤差所允許的范圍內(nèi)。反之，當(dāng)各樣本平均值的變動性超過隨機(jī)誤差所允許的范圍，即平均值間出現(xiàn)了顯著性差異，說明它們之間除了隨機(jī)誤差外，還存在有明顯的系統(tǒng)誤差。因此，當(dāng)樣本測量值計(jì)算的統(tǒng)計(jì)量落在統(tǒng)計(jì)上所允許的合理范圍內(nèi)，就接受各平均值一致的假設(shè)；而當(dāng)計(jì)算的統(tǒng)計(jì)量落在所允許的合理范圍外的拒絕域，則評定各平均值間存在顯著性差異。這就是平均值一致性檢驗(yàn)的基本思想。

平均值一致性檢驗(yàn)的基本步驟：

①根據(jù)所討論的問題做出檢驗(yàn)的原假設(shè)H₀和備擇假設(shè)H₁，即確定檢驗(yàn)的目標(biāo)。

②根據(jù)所討論問題，計(jì)算或確定相應(yīng)測量參數(shù)，如測量平均值、標(biāo)準(zhǔn)差、測量次數(shù)、自由度等。

③根據(jù)測量參數(shù)，計(jì)算相應(yīng)的統(tǒng)計(jì)量。

④選擇顯著性水平α，確定統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)的臨界值（單側(cè)或雙側(cè)），即確定統(tǒng)計(jì)量分布拒絕域的界限。

⑤比較統(tǒng)計(jì)量和臨界值，若統(tǒng)計(jì)量大于相應(yīng)臨界值，統(tǒng)計(jì)量落入拒絕域，則在顯著性水平α下拒絕原假設(shè)H₀，接受備擇假設(shè)H₁；若統(tǒng)計(jì)量小于相應(yīng)的臨界值，則在顯著性水平α下接受原假設(shè)H₀。

需要注意的是，平均值一致性檢驗(yàn)的前提是被檢驗(yàn)測量值間的方差是一致的。平均值一致性檢驗(yàn)以隨機(jī)誤差作為比較標(biāo)準(zhǔn)，若被檢驗(yàn)測量值間的方差有顯著性差異，隨機(jī)誤差過大，可能出現(xiàn)隨機(jī)誤差掩蓋系統(tǒng)誤差的情況，使檢驗(yàn)的靈敏度降低，即降低一致性檢驗(yàn)的功效。因此，有必要在平均值一致性檢驗(yàn)前，先進(jìn)行方差的齊性檢驗(yàn)，在方差一致的基礎(chǔ)上再進(jìn)行平均值一致性檢驗(yàn)。

分析測試中隨機(jī)誤差的分布遵循正態(tài)分布或近似正態(tài)分布，可用正態(tài)分布的概率密度函數(shù)來描述大樣本測定的誤差分布。算術(shù)平均值遵循正態(tài)分布N（μ，σ²/n），或遵循標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N（0，1），由此可估計(jì)期望值μ落在某一區(qū)間的概率，或反過來可以在一定的概率下估計(jì)μ的區(qū)間大小。但是，通常分析測試都是小樣本試驗(yàn)，小樣本試驗(yàn)不能求得總體均值μ和總體標(biāo)準(zhǔn)差σ，而只能求得樣本的均值和樣本標(biāo)準(zhǔn)差s，如果直接用小樣本測量得到的標(biāo)準(zhǔn)差s代替σ進(jìn)行μ的區(qū)間估計(jì)，偏差較大。因此，不適合用正態(tài)分布來處理小樣本的試驗(yàn)數(shù)據(jù)，需要采用類似于正態(tài)分布的t分布來處理，可得到較為可靠的μ區(qū)間估計(jì)。

平均值一致性檢驗(yàn)中，有兩種情況，一是正態(tài)總體的方差（σ²）已知，檢驗(yàn)其平均值的一致性，稱為u檢驗(yàn)；二是在方差（σ²）未知且為小樣本測定時(shí)，平均值遵循t分布，稱為t檢驗(yàn)。

分析測試中多為小樣本測定，應(yīng)用較多的是t檢驗(yàn)。因此，在進(jìn)行t檢驗(yàn)前，有必要了解在正態(tài)分布情況下的t分布。

2.2.2　t分布

t分布是正態(tài)分布派生出來一個分布。

設(shè)x₁、x₂、…、x_n是正態(tài)分布N（0，1）總體中的隨機(jī)樣本值，則統(tǒng)計(jì)量：

　　（2-8）

遵循自由度ν=n-1的t分布，式中，是樣本的算術(shù)平均值；s是樣本的標(biāo)準(zhǔn)差。

t分布的概率密度函數(shù)為：

　?。?-9）

或

　　（2-10）

式中，Γ（ν）是伽馬函數(shù)。t分布密度函數(shù)只取決于自由度ν和統(tǒng)計(jì)量t值，統(tǒng)計(jì)量t服從自由度ν 的t分布。圖2-3給出了不同自由度的t分布概率密度曲線。

注： 伽馬函數(shù)，是常用函數(shù)值；當(dāng)n為自然數(shù)時(shí)，Γ（n）=（n-1）！，如Γ（2）=1，Γ（3）=2，Γ（4）=6，Γ（5）=24，Γ（6）=120，…；Γ函數(shù)具有遞推性質(zhì)：，如Γ，由此，，，，。

若與分別來自正態(tài)分布N（μ₁，σ²/n₁）與N（μ₂，σ²/n₂），則遵循正態(tài)分布，遵循標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N（0，1），則統(tǒng)計(jì)量：

　?。?-11）

遵循自由度ν=n₁+n₂-2的t分布，式中，n₁、n₂分別為、的測量次數(shù)；為合并樣本標(biāo)準(zhǔn)差

　?。?-12）

從以上論述可知，t分布有以下幾個特點(diǎn)：

①對稱性，t分布概率密度曲線以t=0為中心，左右兩側(cè)對稱，t=0時(shí)，曲線峰值最高，分布密度最大。

②t分布概率密度曲線與自由度ν有關(guān)，ν愈小，t值愈分散，曲線兩側(cè)尾部更為伸展。t分布表示的是一簇不同ν值的曲線，在處有拐點(diǎn)。

③t分布密度曲線都保持了正態(tài)分布曲線的形狀，當(dāng)自由度ν逐漸增大，t分布曲線逐漸逼近于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。當(dāng)ν大于20時(shí)，t分布曲線與正態(tài)分布曲線十分近似，當(dāng)ν→∞，t分布趨近于正態(tài)分布N（0，1）。而ν愈小，t分布與正態(tài)分布相差愈大。

④t分布曲線下的總面積為1。自由度為ν的t分布，其離散度愈大，曲線兩端與t坐標(biāo)軸接近愈慢，因而達(dá)到一定顯著性水平所需的t值愈大。因此，設(shè)定了顯著性水平，可確定相應(yīng)自由度ν的t分布概率分布值。

由于概率密度曲線的對稱性，，

表2-8分別給出了單側(cè)和雙側(cè)的t分布值。對同一顯著性水平，雙側(cè)的t_α值等于單側(cè)的t_α/2值。在用其概率分布進(jìn)行平均值的一致性檢驗(yàn)時(shí)，首先要確定的是采用單側(cè)檢驗(yàn)還是雙側(cè)檢驗(yàn)，并使用相應(yīng)的t分布值。

隨機(jī)變量t出現(xiàn)在某一區(qū)間（t_α/2，t_1-α/2）的概率

　　　P（t_α/2<t<t_1-α/2）=1-α

圖2-4給出了概率分布示意，概率P可由t分布表查出。例如，P=0.05，ν=10，由t分布表（表2-8）查得t=2.228，即>2.228的概率為5%，<2.228的概率為95%，即

由表2-8可以看出，當(dāng)自由度ν較小時(shí)，t分布與正態(tài)分布相差較大。例如，當(dāng)α=0.05時(shí)：ν=5，t=2.571；ν=20，t=2.086；ν=50，t=2.009；ν=200，t=1.972，與正態(tài)分布u_0.05=1.960漸近。當(dāng)ν→∞，t=1.96，這時(shí)t分布與正態(tài)分布是一致的。

2.2.3　u檢驗(yàn)

在一些情況下，總體方差可以認(rèn)為是已知的。例如，在生產(chǎn)穩(wěn)定的情況下，產(chǎn)品質(zhì)量在一定范圍內(nèi)波動。日常分析測試中，測量值的變動性穩(wěn)定在一個水平。在這種正常的生產(chǎn)或測試中，都可以用歷史的數(shù)據(jù)求得產(chǎn)品質(zhì)量變動性的標(biāo)準(zhǔn)差σ，或測量值變動性的標(biāo)準(zhǔn)差σ。這樣，可以用標(biāo)準(zhǔn)差σ來檢查產(chǎn)品質(zhì)量的波動，或檢驗(yàn)測量值的變動性。在這種情況下，對總體均值的各種假設(shè)都可以用服從正態(tài)分布的N（μ，σ²）來檢驗(yàn)，稱為u檢驗(yàn)。

2.2.3.1　已知一正態(tài)總體的和均值μ₀，檢驗(yàn)待檢樣本的均值是否與原均值μ₀一致

計(jì)算待檢樣本的均值，計(jì)算統(tǒng)計(jì)量u：

　　（2-13）

取顯著性水平α，采用雙側(cè)檢驗(yàn)，查正態(tài)分布表u_α/2，當(dāng)u<u_α/2，表示檢驗(yàn)待檢樣本的均值與μ₀無顯著性差異。需注意的是，由于可能比μ₀偏高或偏低，采用雙側(cè)檢驗(yàn)，一側(cè)的顯著性水平為α/2。

同樣，如果已知一正態(tài)總體的方差和均值μ₀，檢驗(yàn)待檢樣本的均值是否顯著大于（或顯著小于）原均值μ₀，亦可按式（2-13）計(jì)算統(tǒng)計(jì)量u，并與u_α比較，注意此時(shí)是單側(cè)檢驗(yàn)。

2.2.3.2　已知兩個正態(tài)總體方差相等并已知，檢驗(yàn)兩個正態(tài)總體的均值是否一致

計(jì)算待檢樣本的均值和原樣本均值，計(jì)算統(tǒng)計(jì)量u：

　?。?-14）

取α=0.05，查正態(tài)分布表，當(dāng)ν→∞時(shí)，u_α/2=1.96，若u<u_α/2，表示檢驗(yàn)待檢樣本的均值與原樣本均值無顯著性差異。

同樣，用計(jì)算統(tǒng)計(jì)量u，可檢驗(yàn)一個正態(tài)總體的均值是否大于（或小于）另一個正態(tài)總體的均值，此時(shí)是單側(cè)檢驗(yàn)。

在分析實(shí)踐中往往是小樣本測試，而采用標(biāo)準(zhǔn)物質(zhì)的認(rèn)定值亦是通過有限次測量確定的，其量值本身存在不確定度。因此，在分析測試中更多的是應(yīng)用t檢驗(yàn)進(jìn)行測量值之間的比較和判斷。

2.2.4　t檢驗(yàn)

分析測試中大致有三種t檢驗(yàn)情況，一是測量平均值與給定值比較；二是兩個測量平均值的比較；三是比對試驗(yàn)中兩組測量值的比較。

2.2.4.1　平均值與給定值的比較

樣本測量次數(shù)n，計(jì)算其均值、標(biāo)準(zhǔn)差s和統(tǒng)計(jì)量t：

　?。?-15）

取顯著性水平α，自由度ν=n-1，本情況為雙側(cè)檢驗(yàn)，在t分布表查雙側(cè)檢驗(yàn)臨界值，若，則認(rèn)為與μ₀有顯著性差異。

在上述情況下，如果檢驗(yàn)一個正態(tài)總體的均值是否不大于（或不小于）原正態(tài)總體的均值，取顯著性水平α，此時(shí)是單側(cè)檢驗(yàn)，在t分布表查單側(cè)檢驗(yàn)臨界值t_α，ν，若t≤t_α，ν，則不大于（或不小于）μ₀；若，則大于（或小于）μ₀。

【例2-5】　用原子吸收光譜法測定某鐵礦石標(biāo)準(zhǔn)物質(zhì)中的錳含量，5次測量值分別為0.258%、0.263%、0.272%、0.266%和0.264%，錳含量的認(rèn)定值是0.260%，問測量值是否顯著大于認(rèn)定值。

解　計(jì)算測量值的平均值，標(biāo)準(zhǔn)差s=0.00508%，n=5，計(jì)算統(tǒng)計(jì)量

本例是單側(cè)檢驗(yàn)，取α=0.05，t_0.05，4=2.13，t≤t_0.05，4，原子吸收光譜法測量值不大于認(rèn)定值，分析結(jié)果與認(rèn)定值無顯著系統(tǒng)誤差。

分析測試中往往對標(biāo)準(zhǔn)物質(zhì)進(jìn)行多次測量，以檢查測量結(jié)果的準(zhǔn)確度，并評價(jià)方法的可靠性。但是，標(biāo)準(zhǔn)物質(zhì)的認(rèn)定值μ₀本身是一個真值的最佳估計(jì)值，其置信區(qū)間為，s₀為定值的標(biāo)準(zhǔn)差，N為定值的數(shù)據(jù)組數(shù)，為認(rèn)定值的標(biāo)準(zhǔn)不確定度，通常s₀和N在標(biāo)準(zhǔn)物質(zhì)證書中都可以查到。嚴(yán)格而言，進(jìn)行t檢驗(yàn)時(shí)，還要考慮標(biāo)準(zhǔn)物質(zhì)認(rèn)定值的標(biāo)準(zhǔn)不確定度，則其統(tǒng)計(jì)量：

　?。?-16）

式中，s為n次測量結(jié)果的標(biāo)準(zhǔn)差。注意，此時(shí)的自由度要同時(shí)考慮標(biāo)準(zhǔn)物質(zhì)的定值數(shù)據(jù)數(shù)，ν=n+N-2，統(tǒng)計(jì)量t與臨界值t_{α，（n+N-2）}比較。

上例中，已知錳含量的定值標(biāo)準(zhǔn)差為0.004%，定值數(shù)據(jù)組數(shù)為8，則：

自由度ν=8+5-2=11，單側(cè)檢驗(yàn)，t_{0.05，11}=1.80，統(tǒng)計(jì)量小于臨界值，標(biāo)準(zhǔn)物質(zhì)的測量結(jié)果不大于認(rèn)定值，兩者無顯著系統(tǒng)誤差。

2.2.4.2　平均值的置信區(qū)間

根據(jù)統(tǒng)計(jì)量t的計(jì)算式，可改寫為：

　?。?-17）

表示，真值μ₀落在間的概率為1-α，即

隨機(jī)區(qū)間稱為μ₀的置信區(qū)間，稱為置信限，稱為誤差限，又稱估計(jì)精度，（1-α）×100%稱為置信度。

置信區(qū)間隨不同置信度而不同。對同一測量結(jié)果，置信度愈大，置信區(qū)間愈寬。對同一置信度的兩個測量結(jié)果，置信區(qū)間愈小，表示測量結(jié)果精密度愈高（結(jié)果亦可能較正確）。對不同置信度的兩個測量結(jié)果，應(yīng)先將其換算成相同置信度下的誤差限，再比較誤差限的大小，并對兩個結(jié)果進(jìn)行判斷。

【例2-6】　有十個實(shí)驗(yàn)室參與某不銹鋼標(biāo)準(zhǔn)物質(zhì)中鉻的定值分析，各實(shí)驗(yàn)室測定鉻量的平均值分別為：11.324%、11.342%、11.360%、11.378%、11.392%、11.403%、11.408%、11.415%、11.436%、11.465%，計(jì)算鉻量認(rèn)定值的置信區(qū)間。

解　計(jì)算實(shí)驗(yàn)室間測量值的平均值=11.3923%，標(biāo)準(zhǔn)差s=0.0428%，n=10，ν=9，。

取顯著性水平0.05，即置信度95%，t_0.05，9=2.26（雙側(cè)），則標(biāo)準(zhǔn)物質(zhì)中鉻含量的置信區(qū)間為：

可以認(rèn)為該不銹鋼標(biāo)準(zhǔn)物質(zhì)中鉻的認(rèn)定值為11.39%，認(rèn)定值的置信區(qū)間為11.36%～11.42%，有95%的把握認(rèn)為鉻的真值落在11.36%～11.42%間。

注：在計(jì)算置信區(qū)間前，應(yīng)先對各測量值進(jìn)行統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)，在無異常值或剔除異常值后再計(jì)算置信區(qū)間。

2.2.4.3　兩個正態(tài)總體均值的一致性檢驗(yàn)

兩樣本的測量次數(shù)分別為n₁和n₂，計(jì)算兩待檢樣本的均值、和標(biāo)準(zhǔn)差s₁、s₂，計(jì)算統(tǒng)計(jì)量：

　?。?-18）

當(dāng)n₁=n₂=n，簡化為：

　　（2-19）

取顯著性水平α，自由度ν=n₁+n₂-2，本情況為雙側(cè)檢驗(yàn)，在t分布表查雙側(cè)檢驗(yàn)臨界值t_α，ν，比較t和t_α，ν，若t>t_α，ν，則有顯著性差異。

在上述情況下，如果檢驗(yàn)一個正態(tài)總體的均值（）是否不大于（或不小于）另一個正態(tài)總體的均值（），此時(shí)是單側(cè)檢驗(yàn)，在t分布表查單側(cè)檢驗(yàn)臨界值t_α，ν，比較t和t_α，ν，若t≤t_α，ν，則不大于（或不小于）；若t>t_α，ν，則大于（或小于）。

在小樣本均值進(jìn)行比較時(shí)，要求兩個樣本的總體方差相同。因此，在進(jìn)行t檢驗(yàn)前，應(yīng)首先檢驗(yàn)兩樣本的方差是否有顯著性差異，即進(jìn)行方差齊性檢驗(yàn)（見2.3.4）。

【例2-7】　某制藥廠生產(chǎn)一種降壓新藥，為試驗(yàn)降壓的療效，在血壓偏高的人群中隨機(jī)抽取20人進(jìn)行療效試驗(yàn)。在用藥前十天，連續(xù)測量其血壓，用藥一星期后，再連續(xù)測量十天，20人的血壓平均值分別為（單位為mmHg）：

用藥前：165、150、162、158、148、160、145、148、155、160、155、145、162、140、152、162、145、148、162、155。

用藥后：155、148、160、150、145、152、142、140、145、150、150、145、155、138、150、145、140、145、150、148。

問該新藥對降血壓是否有顯著療效？

解　按題意計(jì)算用藥前和用藥后血壓的平均值和標(biāo)準(zhǔn)差，得

用藥前：

用藥后：

經(jīng)方差檢驗(yàn)，兩標(biāo)準(zhǔn)差無顯著性差異，計(jì)算統(tǒng)計(jì)量：

取顯著性水平α=0.05，本例是單側(cè)檢驗(yàn)，t_0.05，38=1.68，t>t_0.05，38，表明新藥對降血壓有顯著的療效。

注：本例也可采用2.2.4.4比對試驗(yàn)方法進(jìn)行檢驗(yàn)（每一人用藥前后的血壓值為一對），結(jié)果亦表明新藥對降血壓有顯著的療效。

【例2-8】　今采用新工藝生產(chǎn)一批純鐵，用于紅外法測定碳、硫的助熔劑，并與原產(chǎn)品進(jìn)行比較。在相同條件下測定新、老兩產(chǎn)品中碳、硫含量，測量結(jié)果如下：

碳分析結(jié)果，新產(chǎn)品：8μg/g、12μg/g、10μg/g、10μg/g、11μg/g、8μg/g、9μg/g、10μg/g

　　　　　　原產(chǎn)品：13μg/g、16μg/g、14μg/g、13μg/g、12μg/g、9μg/g、10μg/g、13 μg/g

硫分析結(jié)果，新產(chǎn)品：8μg/g、11μg/g、8μg/g、9μg/g、6μg/g、8μg/g、10μg/g、7 μg/g

　　　　　　原產(chǎn)品：10μg/g、11μg/g、9μg/g、7μg/g、13μg/g、8μg/g、12μg/g、8 μg/g

問新工藝生產(chǎn)純鐵的碳、硫含量是否顯著低于原產(chǎn)品。

解　計(jì)算新產(chǎn)品和原產(chǎn)品的各測量值參數(shù)。

碳，新產(chǎn)品：

　　原產(chǎn)品：

硫，新產(chǎn)品：

　　原產(chǎn)品：

碳、硫測定中，

取α=0.05，按題意是單側(cè)檢驗(yàn)，t_0.05，14=1.76，t_C>t_{0.05，14}，而t_S<t_0.05，14。由此，按新工藝生產(chǎn)的純鐵中碳含量顯著低于原產(chǎn)品，而硫含量雖比原產(chǎn)品低，但在統(tǒng)計(jì)上無顯著性差異。

2.2.4.4　比對試驗(yàn)的t檢驗(yàn)

分析測試中，通常以t檢驗(yàn)對由同一方法得到的兩組測量數(shù)據(jù)進(jìn)行比較（或與認(rèn)定值比較），或用不同方法對同一樣品測試結(jié)果進(jìn)行比較。有時(shí)試驗(yàn)樣品量不多（不能進(jìn)多次重復(fù)測量），上述t檢驗(yàn)方法難以進(jìn)行，這時(shí)可采用比對試驗(yàn)進(jìn)行t檢驗(yàn)。

例如，采用兩種不同的分析方法對若干同品種的不同樣品進(jìn)行比對試驗(yàn)，比較兩種分析方法的測量結(jié)果是否有顯著性差異。設(shè)采用甲、乙兩種方法對若干樣品進(jìn)行比對試驗(yàn)，測量結(jié)果如表2-9所示。

試驗(yàn)中影響測量結(jié)果的變動性的有兩個因素，一是分析方法，二是樣品，兩因素交織在一起，不能采用上述t檢驗(yàn)方法統(tǒng)計(jì)。在比對試驗(yàn)中，每一對樣品是相同的，即排除了樣品變動性的因素，測量結(jié)果的變動性只反映兩分析方法間的差異。顯然，如果兩分析方法間無系統(tǒng)誤差，當(dāng)測定無限多次時(shí)，兩分析方法間差值的平均值應(yīng)為0，而在有限次測定中，兩分析方法間差值的平均值雖不一定為0，但與0之間應(yīng)無顯著性差異。因此，比對試驗(yàn)就是檢驗(yàn)與0之間是否有顯著性差異。

①計(jì)算各對測量值的差值d_i，和差值d_i的平均值

②計(jì)算差值d_i的標(biāo)準(zhǔn)差s_d和平均值的標(biāo)準(zhǔn)差：

　?。?-20）

　?。?-21）

③計(jì)算統(tǒng)計(jì)量t：

　　（2-22）

式中，d₀是零或給定值。

④取顯著性水平α，自由度ν=n-1，比較t和t_α，ν，如t>t_α，ν，認(rèn)為甲、乙兩種方法的測量結(jié)果存在顯著性差異。

【例2-9】　某實(shí)驗(yàn)室試驗(yàn)用三氯化鈦還原的無汞鹽滴定法欲代替經(jīng)典的二氯化錫還原汞鹽滴定法測定鐵礦石中全鐵，為此選取11個鐵礦石樣品，用兩方法進(jìn)行比對分析，測試結(jié)果如表2-10所示，試評價(jià)兩種分析方法測量結(jié)果是否有顯著性差異。

解　從表列數(shù)據(jù)，按比對試驗(yàn)進(jìn)行t檢驗(yàn)，計(jì)算差值d的平均值，計(jì)算差值d_i的標(biāo)準(zhǔn)差s_d=0.0883%，差值平均值的標(biāo)準(zhǔn)差

計(jì)算統(tǒng)計(jì)量

取α=0.05，按題意，本例是雙側(cè)檢驗(yàn)，t_0.05，10=2.23，t<t_0.05，10，檢驗(yàn)結(jié)果表明，兩種分析方法的測量結(jié)果無顯著性差異。在分析中可以用無汞鹽的三氯化鈦還原滴定法測定鐵礦石的全鐵。從表列數(shù)據(jù)看，雖然無汞鹽法測量結(jié)果比汞鹽法平均偏高0.0336%，但由于分析方法本身的隨機(jī)誤差，從統(tǒng)計(jì)上并沒有表示兩者有顯著性差別。

如果不采用比對試驗(yàn)的t檢驗(yàn)方法，而用無汞鹽法的11個數(shù)據(jù)和汞鹽法的11個數(shù)據(jù)，分兩組進(jìn)行統(tǒng)計(jì)比較，在數(shù)學(xué)上也可以計(jì)算其統(tǒng)計(jì)量。但是，由于樣本不同，每組統(tǒng)計(jì)的標(biāo)準(zhǔn)差包括了樣本的變動性，而且樣本本身的變動性遠(yuǎn)大于方法的變動性，大大降低了檢驗(yàn)的靈敏度。在這種情況下，采用比對t檢驗(yàn)方法，以排除樣本變動性的影響。如果采用一個相同的樣本，對兩組的測量數(shù)據(jù)可以用上述2.2.4.3的方法進(jìn)行檢驗(yàn)。

因此，當(dāng)所研究的因素的效應(yīng)比其他因素的效應(yīng)大得多時(shí)，或者其他效應(yīng)可嚴(yán)格控制時(shí)，可采用分組試驗(yàn)進(jìn)行檢驗(yàn)；而當(dāng)其他因素的效應(yīng)大于所研究的效應(yīng)時(shí)，采用分組試驗(yàn)是不合適的，應(yīng)采用比對試驗(yàn)的檢驗(yàn)方法。