第1章　緒論

1.1　數值分析方法

1.1.1　數值分析方法來源于工程實際

在科學技術及工程實際問題中，有許許多多的實際問題可以歸結為微分方程（常微分方程或偏微分方程）及邊值問題。通常能用解析法求出精確解的問題一般都是方程性質簡單、求解域幾何形狀規則的問題，如圖1-1所示懸臂梁彈性變形條件下各橫截面上的位移、應變及應力計算，可以采用彈性力學的方法解出。但對于大多數問題，由于控制方程一般具有非線性性質，或由于求解區域幾何形狀比較復雜，則不能得出精確解。如圖1-2所示具有復雜邊界形狀的物體承受簡單載荷作用，即使在彈性變形條件下也難以求出精確解。

科學家和工程師尋求另一種求解問題的方法——數值解法，這種方法一般來說分為兩個階段。首先將連續的求解域劃分為有限個網格及節點，選取適當的途徑將微分方程及其定解條件轉化為網格節點上相應的代數方程組，即建立離散方程組；然后在計算機上求解離散方程組，得到節點上的解，進一步利用插值函數計算網格內部任一點的解，從而得到微分方程定解問題在整個求解域上的近似解。近幾十年來隨著計算機技術的飛速發展，數值分析方法已經成為解決工程實際問題的主要工具。

1.1.2　數值分析方法分類

（1）有限差分法

有限差分法（Finite Difference Method，簡稱FDM）是數值解法中最經典的方法。它是將求解域劃分為差分網格，用有限個網格節點代替連續的求解域，并在網格節點上用差分代替微分，推導出含有離散點上有限個未知數的差分方程組。求差分方程組（即代數方程組）的解，就是微分方程定解問題的數值近似解，這是一種直接將微分問題變為代數問題的近似數值解法。

有限差分法特別適合求解建立于空間坐標系的流體流動問題，在流體力學領域，至今仍占據支配地位。當用于求解域幾何形狀復雜時，精度降低或求解困難。

（2）有限體積法

有限體積法（Finite Volume Method，FVM）又稱為控制體積法（Control Volume Method，CVM）。其基本思路是：將計算區域劃分為網格，并使網格點周圍有一個互不重復的控制體積，將微分方程對每一個控制體積積分，從而得出一組離散方程，其中的未知量就是網格點上的場函數值。為了求出控制體積的積分，必須假定場函數在網格點之間的變化規律。

有限體積法是近年發展非常迅速的一種離散化方法，其特點是計算效率高，目前在流體力學領域得到廣泛應用，大多數商用計算流體動力學（CFD）軟件都采用這種方法。

（3）有限元法

有限元法（Finite Element Method，FEM）的出現是數值分析方法研究領域內重大突破性進展。其基本思想是將一個連續的求解域分成有限個適當形狀的離散化單元，在單元上分片構造場函數，然后根據變分原理或加權余量法將問題的控制方程（微分方程）轉化為所有單元上的有限元方程，將所有單元總體合成，形成總體有限元方程（代數方程組），代入邊界條件求出各個節點上的場函數值，再進一步利用插值函數求出求解域任一點上的未知量。

有限元法具有廣泛的適應性，特別適用于幾何及物理條件比較復雜的非線性問題，而且便于實現程序的標準化。在固體力學領域，絕大多數都采用有限元法，而在流體力學領域由于計算效率相對較低，因此得到一定的應用。

就離散方法而言，有限體積法可視作有限元法和有限差分法的中間物。有限元法必須假定場函數在網格節點之間的變化規律（插值函數），并將其作為近似解。有限差分法只考慮網格點上場函數的數值而不考慮場函數在網格點之間如何變化。有限體積法計算時只尋求場函數的節點值，但在尋求控制體積的積分時，必須假定場函數在網格點之間的分布。在有限體積法中，插值函數值只用于計算控制體積的積分，得出離散方程后就可以忘掉插值函數；如果需要的話，可以對微分方程中的不同項采用不同的插值函數。

1.1.3　有限元法的發展歷史

有限元法的基本思想由特朗（Courant）在1943年提出，他第一次嘗試把定義在三角形區域上的分片連續函數和最小位能原理相結合來求解圣維南扭轉問題——變分問題的里茲方法。工程上真正利用計算機采用有限元法解決工程實際問題的是特納（Turner）和克拉夫（Clough）所做的工作。1956年他們在分析飛機結構時，第一次給出了用三角形單元求解平面應力問題的正確解答。三角形單元的單元特性由彈性理論方程確定，采用直接剛度法推導單元剛度陣。1960年，Clough進一步處理了平面彈性問題，并第一次提出了“有限單元法”的名稱。1963年Melosh認識到，有限元法的數學基礎是變分原理，是一種基于變分原理的分片Ritz法，這就奠定了有限元的數學理論基礎。

早期的有限元法建立在虛功原理和最小勢能原理基礎上，隨著認識的加深，各國學者建立了基于不同變分原理的有限元法。如基于最小勢能原理及其修正形式的位移元、位移雜交元和非協調元等，基于最小余能原理及其修正形式的應力元、應力雜交元等，基于Hellinger-Reissner二場廣義變分原理及其修正形式或Hu-Washizu三場廣義變分原理及其修正形式的混合元、混合雜交元等。由于多變量有限元法的參數匹配以及穩定性和收斂性理論的復雜性，在工程應用中目前仍以位移為未知量的位移法為主。20世紀70年代初，有限元基本理論和方法已發展成熟，隨后的研究致力于高精度單元、板殼單元、非線性問題的迭代求解方法、適用于新型材料的有限元方法、多尺度有限元法和多場耦合等問題的研究。現在有限元法的應用已從彈性力學平面問題擴展到空間問題、軸對稱問題、板殼問題等，從靜力平衡問題擴展到穩定問題、動力學問題、傳熱學及熱力學問題等。分析的對象從彈性材料擴展到彈塑性、剛塑性、黏彈性、黏塑性和復合材料等，從固體力學擴展到流體力學、傳熱學、流固耦合、熱力耦合、電磁場、多場耦合問題等。在工程分析中的作用已從分析和校核擴展到優化設計并和計算機輔助設計技術相結合。可以預計，隨著現代力學、計算數學和計算機技術等學科的發展，有限元法及數值模擬技術必將在國民經濟建設及科學技術發展中發揮更大的作用，其自身也將得到進一步的發展和完善。

在塑性成形數值模擬過程中，主要應用非線性有限元方法。Yamada等在1968年推導了小變形彈塑性本構關系矩陣；Hibbit等在1970年提出了基于Lagrange描述的大變形彈塑性有限元列式；Mcmeeking等提出了基于Euler描述的大變形彈塑性有限元列式；Argris、Wempner及Belytschko等最早提出了基于共旋格式的彈塑性大變形算法，并廣泛應用于非線性有限元計算中。至今，大變形彈塑性有限元法仍在不斷發展完善。在實際問題中，很多問題可忽略彈性變形而采用剛塑性本構關系。1973年，Lee和Kobayashi提出了以Lagrange乘子法引入不可壓縮條件的剛塑性有限元法；Zienkiewicz等在1975年提出了采用罰函數法處理不可壓縮條件的剛塑性有限元法；Mori等在1977年提出了可壓縮剛塑性有限元法。相對于彈塑性有限元法，剛塑性有限元避開了幾何非線性問題，在增量較大的情況下以小變形方法來處理大變形問題，建模簡單且計算效率高，收到了工程界的歡迎。在20世紀90年代以前，非線性有限元的解法主要是靜力隱式算法，加州大學Berkeley分校的學者Hughes等人對這種方法的進步做出了杰出貢獻，在一定程度上解決了這種方法求解復雜非線性問題時出現的收斂性方面的困難。在計算方法上，Costantino在1964年發展了最早的顯式有限元程序。顯式積分方法不需要計算剛度矩陣及其分解運算，不存在收斂性問題。顯式有限元的重大進展是由John Hallquist博士在Lawrence Livermore實驗室做出的，他在1976年發布了Dyna程序，該程序在世界上各大學和實驗室廣泛應用，成為當前顯式求解程序的基礎。由于不存在收斂性問題，目前顯式分析程序廣泛應用于復雜問題的非線性有限元分析中。