3.1　桿單元的位移模式及形狀函數

3.1.1　階梯狀二桿結構描述

一個階梯狀的二桿結構如圖3-1所示，材料的彈性模量和結構載荷、尺寸如下：E^（1）=E^（2）=20MPa，P₃=100N，A^（1）=2A^（2）=200mm²，l^（1）=l^（2）=100mm

該結構由兩根桿件組成，由于不考慮重力的影響，僅考慮水平方向的平衡，可認為是一個理想化的力學模型。若按材料力學的方法研究，此結構為簡單的軸向拉壓問題，可以方便地計算出任一點的位移、應變和應力。但現在我們采用數值分析的方法研究此結構，即用有限元的方法對此結構進行分析，可得出有限元分析的一般步驟，并得出反映有限元法本質的共同性的結論。

首先需要研究此結構的特征結構，即該結構由兩根桿件組成，每一桿件具有共同的特征。將該特征結構抽象為具有兩個節點的單元，即桿單元，如圖3-2所示。首先在此桿單元上沿桿軸線建立x軸坐標系，該單元有兩個節點，每一節點僅有沿x方向的位移u₁、u₂，u（x）為桿單元的內部位移，P₁、P₂為節點力，E^e、A^e為桿單元的材料彈性模量及橫截面積，l^e為桿單元的長度。

該結構有限元分析的一般過程如下，首先對結構進行離散化，將該結構離散為兩個桿單元和三個節點，即單元①和單元②，三個節點的節點位移分別為u₁、u₂和u₃。然后研究單元的特性，得出單元內部各物理量之間的內在關系。最后將單元組裝成整體結構，根據結構的平衡條件求出所有未知量。

3.1.2　二節點桿單元位移模式及形狀函數

（1）單元位移模式

對于二節點的桿單元（如圖3-2所示），由材料力學的知識可知桿內部位移是沿軸線線性分布的。已知桿單元的兩個節點位移，故可設該單元的位移場具有模式（考慮兩個待定系數）：

u（x）=a₀+a₁x　　（3-1）

（2）單元形狀函數

單元的兩個節點條件為：

　　 （3-2） 　　

將節點條件式（3-2）代入式（3-1）可得：

　　 （3-3） 　　

將其代入式（3-1），可將u（x）表達成節點位移（u₁，u₂）之間的關系，即：

　　 （3-4） 　　

其中N叫做單元位移插值函數矩陣，也叫做單元形狀函數矩陣，為：

　　 （3-5） 　　

q^e叫做單元節點位移列陣，即：

q^e=［u₁　u₂］^T　　（3-6）

式（3-5）中的形狀函數矩陣是有限元法中十分重要的矩陣，它把單元的節點位移和單元域內位移聯系起來，N₁和N₂分別是1和2節點的形狀函數。

由式（3-4）可知，當u₁=1、u₂=0時，桿單元的位移u（x）就是N₁；當u₂=1、u₁=0時，桿單元的位移u（x）就是N₂。所以形狀函數的力學含義是：當單元的一個節點位移為單位值，其他節點的位移為零時，單元內位移的分布規律。正因為形狀函數反映了單元的位移分布狀態，矩陣N及其元素N₁和N₂也由此而得名。