第1章　板形與板凸度的基本概念

1.1　板形及其度量

1.1.1　板形

取一定長度的帶鋼自然地放到一個平臺上，常?？梢杂^察到帶鋼的翹曲。翹曲有各種形式，大多數是波浪形，薄帶鋼常產生皺紋或局部凸凹。翹曲有時可以遍布整個帶寬，有時只限于局部。這種翹曲和帶鋼的變形不均及內應力分布不均密切相關。

軋制過程實質上是金屬在旋轉的彈性體——軋輥作用下發生塑性變形的過程，一定斷面形狀的坯料經過軋制發生明顯的縱向延伸和一定的橫向流動，最終成為一定尺寸的成品。板帶軋制對變形過程有一個主要的要求，即沿板帶寬度各部分有相同的縱向延伸。設想將帶鋼分割成若干縱條，如果任何一條上壓下量發生變化，都會引起該窄條的縱向延伸發生變化，同時又會影響到相鄰窄條的變形。由于帶鋼實際上是一個整體，各窄條之間必定互相牽制，互相影響。因此，當沿橫向的壓下量分布不均時，各窄條就會相應地發生延伸不均，這就會在各窄條之間產生相互作用的內應力。當這個內應力足夠大時，就會引起帶鋼翹曲。由于軋制過程是—個復雜的物理過程，金屬所發生的塑性變形和軋輥所發生的彈性變形受到許多因素的影響，要想徹底消除這種變形不均，是不可能的。但是，應該將這種變形不均限制在盡可能小的范圍內，以防止帶鋼翹曲^［1］。

為了說明金屬縱向變形不均的程度，引入了板形這個概念。所謂板形，直觀說來，是指板材的翹曲程度；就其實質而言是指帶鋼內部殘余應力的分布。只要帶鋼中存在殘余內應力，就稱為板形不良。如果應力雖然存在，但不足以引起帶鋼翹曲，則稱為“潛在的”板形不良，如果應力足夠大，以致引起帶鋼翹曲，則稱為“表觀的”板形不良^［2］。帶鋼在張力作用下冷軋有時并未發生翹曲，當去除張力后，帶鋼發生明顯的翹曲，前者可稱為潛在的板形不良，后者稱為表現的板形不良。常見的帶鋼板形如下^［1］。

①理想板形。理想板形應該是平坦的，內應力沿帶鋼寬度上均勻分布。當去除帶鋼所受外應力和縱切帶鋼時，帶鋼板形仍然保持平直。

②潛在板形。潛在板形產生的條件是內部應力沿帶鋼寬度方向上不均勻分布，但是帶鋼的內部應力足以抵制帶鋼平直度的改變。當去除帶鋼所受外力時，帶鋼板形仍然保持平直。然而，當縱切帶鋼時，潛在的應力會使帶鋼板形發生不規則的改變。

③表觀板形。表觀板形產生的條件是內部應力沿帶鋼寬度方向上不均勻分布。同時，帶鋼的內部應力不足以抵制帶鋼平直度的改變。結果局部區域發生了彈性翹曲變形。去除帶鋼所受外力和縱切帶鋼都會加劇帶鋼的表觀板形。帶鋼中內應力分布的規律不同，它所引起的帶鋼翹曲形式也不同。所以，可以依據內應力的分布規律和帶鋼翹曲情況，將板形缺陷分為不同的類型，如圖1-1所示^［2］。

（1）帶鋼翹曲的力學條件

根據塑性力學的研究結果鋼板發生翹曲的力學條件可以表示為：

　　 （1-1） 　　

式中　σ_cr——帶鋼發生翹曲的臨界應力；

B——帶鋼寬度；

h——帶鋼厚度；

E_p——帶鋼材料的楊氏模量；

ν——泊松比；

k_cr——板材翹曲臨界應力系數。

系數k_cr取決于應力分布特征及板邊支撐條件，它可以成數量級地變化。例如，沿帶鋼寬向作用均勻的壓縮應力，其一個長邊可以自由撓曲時，或者板材四周均簡單支撐，處于純剪狀態時k_cr可以小至0.5；但當板寬上僅有一半受到拉伸時，它可以高達25。

如果考慮到薄膜效應和某些不同邊界條件，式（1-1）應用于寬板軋制不夠精確，但是用它可以定性地進行估計。式（1-1）表明帶鋼的寬厚比在帶鋼翹曲方面具有重要的意義。利用式（1-1）對幾種典型的應力分布進行分析，可以將應力分布規律和各種板形缺陷聯系起來，圖1-1實際上表明了內應力和板形之間的關系。

（2）良好板形的幾何條件

如圖1-2所示，橫坐標表示各點的橫向位置，即橫向各點距帶鋼中心的距離，縱坐標分別為入口和出口軋件半高，入口斷面形狀為H（x），出口斷面形狀為h（x）。設各點對應的原始長度為L（x），軋后長度為l（x），根據體積不變定律并考慮到當保證良好板形時，板材軋制接近于平面變形，則縱向延伸和高度壓縮之間應當有下述關系：

　　 （1-2） 　　

欲獲得良好板形，必須保證帶鋼沿橫向有相同的延伸。根據式（1-2），應該保證來料橫斷面幾何形狀和承載輥縫的幾何形狀之間相“匹配”，即軋前和軋后的軋件斷面之間應保持下述幾何關系：

　　 （1-3） 　　

式中　B——軋件寬度。

隨板形表示方式的不同，這個幾何條件的形式也不同。一般為了使問題簡化，以帶鋼中心和接近帶鋼邊部的某點的厚度差表示斷面形狀。下面討論采用這種表示方法時式（1-2）給出的良好板形條件應取何種形式。仍如圖1-2，設軋前帶鋼中心和邊部的厚度分別為H_c和H_e，軋后相應的厚度為h_c和h_e，由式（1-2），利用分比定理，可得：

　　 （1-4） 　　

式中　，——軋前、軋后的軋件平均厚度；

C_H，C_h——軋前、軋后的軋件凸度。

式（1-4）就是常用的良好板形幾何關系的表達式。雖然這種方法僅考慮帶鋼中心和邊部兩點，對于復合波等較為復雜的板形缺陷、不能確切地描述，但是由于這種方法簡便，所以它仍廣泛地應用于板形問題研究。

1.1.2　板形的度量

定量地表示板形，既是生產中衡量板形質量的需要，也是研究板形問題和實現板形自動控制的前提條件。因此，人們依據各自不同的研究角度及不同的板形控制思想，采取不同的方式定量地描述板形。所謂板形直觀地說是指板材的翹曲度，就其實質而言，是指帶鋼內部殘余應力的分布。根據不同的研究角度及不同的板形控制思想，采用不同的方式來定量地描述板形。其主要表示方法如下。

（1）相對長度差表示法

如圖1-3（a）所示為軋后翹曲帶鋼的外形，該軋件由于邊部產生較大的延伸而產生嚴重邊波。將鋼板裁成若干縱條并鋪平，則如圖1-3（b）所示，可清楚地看出橫向各點的不同延伸。一個比較簡單的方法就是取橫向上不同點的相對長度差ΔL/L來表示板形，通常板形以I單位表示，其表達式為：

　　 （1-5） 　　

式中　I——帶鋼板形；

L——所取基準點的軋后長度；

ΔL——其他點相對基準點的軋后長度差。

（2）波形表示法

切取一段翹曲的帶鋼置于平臺上，如將最短縱條視為一條直線，最長縱條視為一正弦波，以翹曲波形來表示板形，則稱為翹曲度。翹曲度通常以百分數來表示，如圖1-4所示。帶鋼的翹曲度λ表示為：

　　 （1-6） 　　

式中　λ——翹曲度；

R_V——波幅；

L_V——波長。

設在圖1-4中與長為L_V的直線部分相對應的曲線部分長為L_V+ΔL_V，并認為曲線按正弦規律變化，則可利用線積分求出曲線部分與直線部分的相對長度差。因設波形曲線為正弦波，可得其方程為：

　　 （1-7） 　　

故與L_V對應的曲線長度為：

　　 （1-8） 　　

因此，曲線部分和直線部分的相對長度差為：

　　 （1-9） 　　

式（1-9）表示了翹曲度λ和最長、最短縱條相對長度差之間的關系，它表明帶鋼波形可以作為相對長度差的代替量。只要測出帶鋼波形，就可以求出相對長度差。

（3）矢量表示法

矢量表示法可形象地表示在控制系統作用下板形的變化趨勢。如圖1-5所示，設有某板形控制系統，當其設定值變化為1時，帶鋼的中心點c、半板中心點q、邊部e點的板厚分別變化α_c、α_q、α_e。這里α_c、α_q、α_e為該系統對板形的影響系數。以板寬方向的位置x為橫坐標，以α為縱坐標，可將影響系數表示于圖1-5（a）上。上述三個影響系數的值大小不同，表示板形的變化趨勢也不同。怎樣用一個統一的量來表示這些復雜的變化呢？為解決這個問題，引入了板形矢量Θ。如圖1-5（b）所示，板形矢量Θ有兩個分量Θ_q和Θ_e，即：

　　 （1-10） 　　

Θ_q、Θ_e實際上分別是圖1-5（a）中直線CQ和QE的斜率。根據矢量Θ在不同象限的位置，可以表示板形的不同變化趨勢和變化的劇烈程度。如圖1-6所示為板形矢量Θ位于不同象限時板形的變化趨勢，可見，當Θ位于第一象限時，帶鋼向發生邊波的方向變化；當Θ位于第三象限時，帶鋼向發生中波的方向變化，當Θ位于第二、四象限時，帶鋼向發生復合波的方向變化。這樣，控制Θ在坐標系中的位置，就可以使帶鋼板形向需要的方向變化。

（4）殘余應力表示法

前已述及，帶鋼板形實質上是指帶鋼內部殘余應力沿橫向的分布。所以在理論研究和板形控制中用帶鋼內部的殘余應力表示板形更能反映問題的實質。一般將帶鋼內部殘余應力表示為帶鋼橫向相對位置2x/B的函數，x是所研究點距帶鋼中心的距離，B是板寬。經驗表明，要精確表示殘余應力分布，需要用四次函數，一般為了簡化，只用二次函數，即：

　　 （1-11） 　　

式中　σ_re（x）——輥縫出口處距帶鋼中心距離為x的點在帶鋼中發生的殘余應力。

式（1-11）的關鍵是a_T。a_T稱為板形參數，它可以由理論分析確定。編制合理的軋制規程及進行板形控制，目的是將a_T減到最小。理論研究表明，a_T可以表示成：

a_T=a_T（t_f，t_b，H，h，v，c_w，c_b，F_w）　　（1-12）

式中　t_f，t_b——前、后張應力，Pa；

H，h——軋前、軋后厚度，m；

c_w，c_b——工作輥、支撐輥的凸度，m；

v——軋制速度，m/s；

F_w——液壓彎輥力，N。

這種表示方法在考慮板形的最優規程設計時得到應用，尋求最優規程，應將a_T的表達式線性化：

　　 （1-13） 　　

式中　Δ——各量的增量；

K₁～K₈——各量對板形參數的影響系數；

——基準條件下的a_T值。

（5）帶鋼斷面形狀的多項式表示法

如果帶鋼斷面是對稱的，如圖1-7所示，根據對斷面的測量和計算，可以認為下式是逼近帶鋼斷面形狀的：

h（x）=h_c+a_ix²+b_ix⁴　?。?-14）

式中　a_i、b_i——斷面特征的系數。

任何一個給定的斷面形狀，都可用式（1-14）表達。該式對寬度上任何兩點x₁、x₂都成立，所以對x₁、x₂兩點可以建立關于a_i、b_i的線性方程組。如果h_c給定，可以求出a_i、b_i。由此可見，只要知道了3個參量h_c、a_i、b_i，則斷面形狀就完全確定了。參量a_i、b_i主要取決于軋輥凸度分布、單位寬度軋制力分布、液壓彎輥力和外加彎輥力矩，即：

　　 （1-15） 　　

式中　C_r——工作輥和支撐輥的凸度分布；

P——軋件和工作輥之間的單位寬軋制力分布；

F——外界作用的彎輥力F_w（工作輥）、F_b（支撐輥）；

M——外界作用的彎輥力矩M_w（工作輥）、M_b（支撐輥）。

在實際軋制過程中，控制P、F、M，改以改變a_i、b_i，從而達到改變軋后斷面形狀、控制板形的目的。下面根據板形良好條件，導出具體情況下良好板形條件的表達形式。設帶鋼入口斷面形狀為：

H（x）=H_c+a₁x²+b₁x⁴　　（1-16a）

帶鋼出口斷面形狀為：

h（x）=h_c+a₂x²+b₂x⁴　?。?-16b）

欲獲得良好板形，應有：

　　 （1-16c） 　　

為此，必須滿足：

　　 （1-16d） 　　

式中，η為相對壓下量。

將式（1-16）用圖1-8表示，由原點引出橫坐標為b_i，向上的縱坐標為h，向下縱縱坐標為a_i，根據帶鋼原始斷面形狀參數h_c1、a₁、b₁，可以確定初始點A₁、B₁并作出射線OA、OB，在多道次軋制時，由h_c1軋到h_c2、h_c3、…，為保證完好板形，相應a_i、b_i值應由射線OA、OB確定，即分別為a₁、a₂、a₃、…和b₁、b₂、b₃、…。

這種表示方法不是選特定的點，而是以整個斷面的形狀來表示板形，所以它能反映復雜的板形缺陷。

（6）厚度相對變化量差表示法

這是一種比較簡單的方法，它以邊部和中心兩點的厚度相對變化量差來表示板形的變化，它主要在模擬計算中用來描述某些外擾對板形的影響，板形參數Sh表示為：

　　 （1-17） 　　

式中　δ_c，δ_e——某種外擾引起的帶鋼中心和邊部厚度的絕對變化量；

h_c，h_e——帶鋼中心和邊部的厚度。

當Sh=0時，說明帶鋼板形沒有變化；當Sh>0時，說明帶鋼向邊波方向變化；當Sh<0時，說明帶鋼板形向中波方向變化。