實驗4　半導體霍爾系數及電阻率測量

一、實驗目的

1.了解霍爾效應原理及測量霍爾元件有關參數。

2.測繪霍爾元件的V_H-I_s，V_H-I_M曲線，了解霍爾電勢差V_H與霍爾元件控制（工作）電流I_s、勵磁電流I_M之間的關系。

3.學習利用霍爾效應測量磁感應強度B及磁場分布。

4.判斷霍爾元件載流子的類型，并計算其濃度和遷移率。

二、實驗原理

1.霍爾效應

霍爾效應是導電材料中的電流與磁場相互作用而產生電動勢的效應。1879年美國霍普金斯大學研究生霍爾在研究金屬導電機構時發現了這種電磁現象，故稱霍爾效應。后來曾有人利用霍爾效應制成測量磁場的磁傳感器，但因金屬的霍爾效應太弱而未能得到實際應用。隨著半導體材料和制造工藝的發展，人們又利用半導體材料制成霍爾元件，由于它的霍爾效應顯著而得到實用和發展，現在廣泛用于非電量檢測、電動控制、電磁測量和計算裝置方面。在電流體中的霍爾效應也是目前在研究中的“磁流體發電”的理論基礎。近年來，霍爾效應實驗不斷有新發現。1980年原西德物理學家馮·克利青（K.Von Klitzing）研究二維電子氣系統的輸運特性，在低溫和強磁場下發現了量子霍爾效應，這是凝聚態物理領域最重要的發現之一。目前對量子霍爾效應正在進行深入研究，并取得了重要應用，例如用于確定電阻的自然基準，可以極為精確地測量光譜精細結構常數等。在磁場、磁路等磁現象的研究和應用中，霍爾效應及其元件是不可缺少的，利用它觀測磁場直觀、干擾小、靈敏度高、效果明顯。

霍爾效應從本質上講是運動的帶電粒子在磁場中受洛倫茲力的作用而引起的偏轉。當帶電粒子（電子或空穴）被約束在固體材料中，這種偏轉就會導致在垂直電流和磁場方向上產生的正負電荷在不同側的聚積，從而形成附加的橫向電場。

如圖4-1所示，磁場B位于z的正向，與之垂直的半導體薄片上沿x正向通以電流I_S（稱為控制電流或工作電流），假設載流子為電子（N型半導體材料），它沿著與電流I_S相反的x負向運動。由于洛倫茲力f_L的作用，電子即向圖中虛線箭頭所指的位于y軸負方向的B側偏轉，并使B側形成電子積累，而相對的A側形成正電荷積累。與此同時，運動的電子還受到由于兩種積累的異種電荷形成的反向電場力f_E的作用。隨著電荷積累量的增加，f_E增大，當兩力大小相等（方向相反）時，f_L=-f_E，則電子積累便達到動態平衡。這時在A、B兩端面之間建立的電場稱為霍爾電場E_H，相應的電勢差稱為霍爾電壓V_H。

設電子按均一速度向圖示的x負方向運動，在磁場B作用下，所受洛倫茲力為f_L=-eB，式中e為電子電量，為電子漂移平均速度，B為磁感應強度。

同時，電場作用于電子的力為f_E=-eE_H=-eV_H/l。式中，E_H為霍爾電場強度；V_H為霍爾電壓；l為霍爾元件寬度。當達到動態平衡時，f_L=-f_E

　　（4-1）

設霍爾元件寬度為l，厚度為d，載流子濃度為n，則霍爾元件的控制（工作）電流為

　　（4-2）

由（4-1）、（4-2）兩式可得

　　（4-3）

即霍爾電壓V_H（A、B間電壓）與I_S、B的乘積成正比，與霍爾元件的厚度成反比，比例系數R_H=1/ne稱為霍爾系數，它是反映材料霍爾效應強弱的重要參數，根據材料的電導率σ=neμ的關系，還可以得到

　　（4-4）

式中，ρ為材料的電阻率；μ為載流子的遷移率，即單位電場下載流子的運動速率。一般電子遷移率大于空穴遷移率，因此制作霍爾元件時大多采用N型半導體材料。

當霍爾元件的材料和厚度確定時，設

　　（4-5）

將式（4-5）代入式（4-3）中得

　　（4-6）

式中，K_H為元件的靈敏度，它表示霍爾元件在單位磁感應強度和單位控制電流下的霍爾電勢大小，單位為mV/（mA·T），一般要求K_H愈大愈好。

若需測量霍爾元件中載流子遷移率μ，則有

　　（4-7）

將式（4-2）、式（4-5）、式（4-7）聯立求得

　　（4-8）

其中，V_I為垂直于I_S方向的霍爾元件兩側面之間的電勢差；E_I為由V_I產生的電場強度；L、l分別為霍爾元件長度和寬度。

由于金屬的電子濃度n很高，所以它的R_H或K_H都不大，因此不適宜作霍爾元件。此外元件厚度d愈薄，K_H愈高，所以制作時，往往采用減小d的辦法來增加靈敏度，但不能認為d愈薄愈好，因為此時元件的輸入和輸出電阻將會增加，這對鍺元件是不希望的。

應當注意，當磁感應強度B和元件平面法線成一角度時（如圖4-2），作用在元件上的有效磁場是其法線方向上的分量Bcosθ，此時

　　（4-9）

所以一般在使用時應調整元件兩平面方位，使V_H達到最大，即θ=0，V_H=K_HI_SBcosθ=K_HI_SB。

由式（4-9）可知，當控制（工作）電流I_S或磁感應強度B，兩者之一改變方向時，霍爾電壓V_H的方向隨之改變；若兩者方向同時改變，則霍爾電壓V_H極性不變。

霍爾元件測量磁場的基本電路如圖4-3所示，將霍爾元件置于待測磁場的相應位置，并使元件平面與磁感應強度B垂直，在其控制端輸入恒定的工作電流I_S，霍爾元件的霍爾電壓輸出端接毫伏表，測量霍爾電勢V_H的值。

在不同的溫度范圍，R_H有不同的表達式。在本征電離完全可以忽略的雜質電流區，且主要只有一種載流子的情況，當不考慮載流子的統計分布時，對于P型半導體樣品

　　（4-10）

式中，q為空穴電荷電量；p為半導體載流子空穴濃度。

對于N型半導體樣品

　　（4-11）

式中，n為電子電荷電量。

考慮到載流子速度的統計分布以及載流子在運動中受到散射等因素的影響。在霍爾系數的表達式中還應引入霍爾因子A，則式（4-10）、式（4-11）修正為

P型半導體樣品

　　（4-12）

N型半導體樣品

　　（4-13）

A的大小與散射機理及能帶結構有關。在弱磁場（一般為200mT）條件下，對球形等能面的非簡并半導體，在較高溫度（晶格散射起主要作用）情況下，A=1.18；在較低的溫度（電離雜質散射起主要作用）情況下，A=1.93；對于高載流子濃度的簡并半導體以及強磁場條件，A=1。

對于電子、空穴混合導電的情況，在計算R_H時應同時考慮兩種載流子在磁場偏轉下偏轉的效果。對于球形等能面的半導體材料，可以證明

　　（4-14）

式中，，μ_p、μ_n分別為電子和空穴的遷移率；A為霍爾因子，A的大小與散射機理及能帶結構有關。

從霍爾系數的表達式可以看出：由R_H的符號可以判斷載流子的型，正為P型，負為N型。由R_H的大小可確定載流子濃度，還可以結合測得的電導率算出如下的霍爾遷移率μ_H

　　（4-15）

對于P型半導體μ_H=μ_P，對于N型半導體μ_H=μ_N。

霍爾系數R_H可以在實驗中測量出來，表達式為

　　（4-16）

式中，V_H、I_S、d、B分別為霍爾電勢、樣品電流、樣品厚度和磁感應強度，單位分別為伏特（V）、安培（A），米（m）和特斯拉（T）。但為與文獻數據相對應，一般所取單位為U_H伏（V）、I_S毫安（mA）、d厘米（cm）、B高斯（Gs），則霍爾系數R_H的單位為厘米³/庫侖（cm³/C）。

但實際測量時，往往伴隨著各種熱磁效應所產生的電位疊加在測量值U_H上，引起測量誤差。為了消除熱磁效應帶來的測量誤差，可采用改變流過樣品的電流方向及磁場方向予以消除。

2.霍爾系數與溫度的關系

R_H與載流子濃度之間有反比關系，當溫度不變時，載流子濃度不變，R_H不變，而當溫度改變時，載流子濃度發生，R_H也隨之變化。實驗可得|R_H|隨溫度T變化的曲線。

3.半導體電導率

在半導體中若有兩種載流子同時存在，其電導率σ為

　　（4-17）

實驗中電導率σ可由下式計算出

　　（4-18）

式中，ρ為電阻率；I為流過樣品的電流；V_σ、l分別為兩測量點間的電壓降和長度；a為樣品寬度；d為樣品厚度。

三、實驗設備與材料

CVM200為變溫霍爾效應測試系統，見圖4-4。

該儀器系統由可換向永磁體、CME12H變溫恒溫器、TC202控溫儀、CVM-200霍爾效應儀等組成。

系統的主要技術指標如下。

①磁場：大于3500Gs；②樣品電流：2nA～200mA；③測量電壓：2μV～19.999mV；④控溫精度：可達±0.2℃/30min（與實驗技巧有關）；⑤最小分辨率：0.01℃/K；⑥變溫范圍：80～320K；⑦恒溫器液氮容量：200mL；⑧靜態液氮保持時間：4～6h（與預抽真空有關）。

其他材料：本系統自帶有兩塊樣品，樣一是美國Lakeshore公司HGT-2100高靈敏度霍爾片，厚度為0.18mm，最大工作電流≤10mA，室溫下的靈敏度為55～140mV/kg；樣二為銻化銦，厚度為1.11mm，最大電流為60mA，其在低溫下是典型的P型半導體，而在室溫下又是典型的N型半導體，相應的測試磁場并不高，但霍爾電壓高，降低了對系統儀表靈敏度、磁鐵磁場的要求。

四、實驗內容與步驟

1.常溫下測量霍爾系數R_H和電導率σ

（1）打開電腦、霍爾效應實驗儀Ⅰ及磁場測量和控制系統Ⅱ電源開關（以下簡稱Ⅰ或Ⅱ；如Ⅱ電流有輸出，則按一下Ⅰ復位開關，電流輸出為零）。

（2）將霍爾效應實驗儀Ⅰ，＜樣品電流方式＞撥至“自動”，＜測量方式＞撥至“動態”，將Ⅱ＜換向轉換開關＞撥至“自動”。按一下Ⅰ復位開關，電流有輸出，調節Ⅱ電位器，至電流為一定電流值時測量磁場強度（亦可將Ⅱ開關撥至手動，調節電流將磁場固定在一定值，一般為200mT即2000Gs）。

（3）將測量樣品桿放入電磁鐵磁場中（對好位置）。

（4）進入數據采集狀態，選擇電壓曲線。如沒有進入數據采集狀態，則按一下Ⅰ復位開關后進入數據采集狀態。記錄磁場電流正反向的霍爾電壓V₃、V₄、V₅、V₆。可在數據窗口得到具體數值。

（5）將Ⅰ＜測量選擇＞撥至σ，記錄電流正反向的電壓V₁、V₂。

（6）計算霍爾系數R_H，電導率σ等數據。

2.變溫測量霍爾系數R_H和電導率σ

（1）將I＜測量選擇＞撥至“R_H”，將＜溫度設定＞調至最小（往左旋到底，加熱指示燈不亮）。

（2）將測量樣品桿放入杜瓦杯中冷卻至液氮溫度。

（3）將測量樣品桿放入電磁鐵磁場中（對好位置）。

（4）重新進入數據采集狀態（電壓曲線）。

（5）系統自動記錄隨溫度變化的霍爾電壓，并自動進行電流和磁場換向。到了接近室溫時調節＜溫度設定＞至最大（向右旋到底）。也可一開始就加熱測量。

（6）到加熱指示燈滅，退出數據采集狀態。保存霍爾系數R_H文件。

（7）將Ⅰ＜測量選擇＞撥至“σ”。

（8）將測量樣品桿放入杜瓦杯中冷卻至液氮溫度。

（9）將測量樣品桿拿出杜瓦杯。

（10）重新進入數據采集狀態。

（11）系統自動記錄隨溫度變化的電壓，到了接近室溫時調節＜溫度設定＞至最大。

（12）當溫度基本不變時，退出數據采集狀態。保存電導率σ文件。

五、注意事項

1.請戴手套取液氮，防止凍傷。

2.實驗完畢后，一定將中心桿旋松，防止由于熱膨脹系數不同，卡住聚四氟乙烯絕熱塞，損壞恒溫器。

3.霍爾元件及二維移動標尺易于發生折斷、變形等損壞，應注意避免受擠壓、碰撞等。實驗前應檢查兩者及電磁鐵是否松動、移位，并加以調整。

4.霍爾電壓V_H測量的條件是霍爾元件平面與磁感應強度B垂直，此時V_H=K_HI_SBcosθ=K_HI_SB，即V_H取得最大值。儀器在組裝時已調整好，為防止搬運、移動中發生的形變、位移，實驗前應將霍爾元件移至電磁鐵氣隙中心，調整霍爾元件方位，使其在I_M、I_S固定時，達到輸出V_H最大。

5.為了不使電磁鐵過熱而受到損害或影響測量精度，除在短時間內讀取有關數據，通以勵磁電流I_M外，其余時間最好斷開勵磁電流開關。

6.儀器不宜在強光照射下、高溫、強磁場和有腐蝕氣體的環境下工作和存放。

六、數據記錄及處理

1.數據記錄

測一組室溫數據，在液氮溫度下，間隔10K變溫測量，再記錄6組數據。

2.數據處理

計算出室溫下兩樣品的霍爾系數、載流子濃度、電阻率、霍爾遷移率。

計算出變溫條件下兩樣品的電阻率，以溫度為橫坐標，電阻率為縱坐標，在坐標紙上做ρ-t關系曲線。

七、思考題

1.如何根據電場、磁場、霍爾電壓的方向來判定半導體的導電類型？

2.測量樣品的霍爾系數時怎樣才能消除副效應？