學習單元二　正弦交流電路

正弦交流電路是含有正弦交流電源的線性電路。由于正弦交流電路是線性電路，所以線性電路的分析方法、定律、定理都適用于正弦交流電路。只是這些定律、定理應用于正弦交流電路時，是以相量模型的形式出現。

一、電阻、電感、電容單一的交流電路

1.電阻電路

（1）電阻元件上電流和電壓之間關系　正弦電路中電阻元件上電壓與電流的關系如圖3-7所示。

①電阻元件上電流和電壓之間的瞬時關系

②電阻元件上電流和電壓之間的大小關系

③電阻元件上電流和電壓之間的相位關系，如圖3-8所示。

④電阻元件上電壓與電流的相量關系

（2）電阻元件的功率　交流電路中，任一瞬間，元件上電壓的瞬時值與電流的瞬時值的乘積叫做該元件的瞬時功率，用小寫字母p表示，即

p=ui

工程上都是計算瞬時功率的平均值，即平均功率。瞬時功率在一個周期內的平均值叫做平均功率，用大寫字母P表示。即

式中　U_R——電阻兩端的電壓有效值，V；

        I——流過電阻的電流有效值，A；

        R——電阻元件的阻值，Ω；

        P——電阻上的平均功率，W。

由于平均功率是電阻元件實際消耗的功率，所以又稱為有功功率或電阻上消耗的功率。習慣上把“平均”“有功”或“消耗”兩字省略，簡稱功率。

功率的單位為瓦（W），工程上也常用千瓦（kW）作為功率的單位。

1kW=1000W

2.電感電路

（1）電感元件上電壓與電流間的關系　如圖3-9所示。

設通過電感L的電流為

其相量為

則電感兩端的電壓為：

電壓相量形式可表示為：

可以看出，電感元件上電壓u_L與電流i之間有以下關系。

①數值關系　u、i的幅值關系為：

U_m=ωLI_m

u、i的有效值關系為：

U=ωLI=IX_L

式中，X_L稱為感抗，Ω，且X_L=ωL=2πfL，即

U_L=IX_L

感抗X_L反映了電感線圈對電流的阻礙作用，它與電感線圈的電感量L及電源頻率f成正比。對于頻率f高的交流電，感抗X_L大，線圈對電流的阻礙作用大；對于頻率f低的交流電，感抗X_L小，線圈對電流的阻礙作用小。特別是當電源頻率f=0時（相當于直流電），X_L=ωL=2πf=0，線圈對直流電沒有阻礙作用，相當于短路。

②頻率關系　電壓與電流同頻率。

③相位關系　電壓超前電流，即

（2）電感元件的功率

①瞬時功率p　設，則：

②平均功率P（有功功率）

電感元件的平均功率為零，說明在交流電的一個周期內電感元件吸收和釋放的能量一樣多，故稱電感為儲能元件，它本身不消耗能量，只是與電源之間不斷地進行著能量的互換，這種能量互換的規模，用無功功率Q_L來衡量。

③無功功率Q_L　規定無功功率Q_L等于瞬時功率的p_L的幅值。即

單位為乏（var）或千乏（kvar）。

3.電容電路

（1）電容元件上電壓與電流間的關系　如圖3-10所示。

設加在電容兩端的正弦交流電壓為

其相量式為

則流過電容元件的電流為

式中，X_C稱為容抗，Ω，且電容元件上電壓u_C與電流i之間有以下關系。

①數值關系

U_C=IX_C

且

　　        （3-12）

式（3-12）表明，對一定容量的電容器，通入不同頻率的交流電時，電容會表現出不同的容抗，頻率越高，容抗越小。在極端情況下，若f→∞，則X_C→0，此時電容可視為短路；若f=0（直流），則X_C=∞，此時電容可視為開路。這說明電容元件的“隔直通交”作用。

②頻率關系　電壓與電流同頻率。

③相位關系

電流超前于電壓。

④相量關系

（2）電容元件的功率

①瞬時功率p　設，則

在交流電的一個周期內，電容器先后兩次充電（儲存電場能量），又兩次放電（將電場能量還給電源），所以電容器在交流電路中不消耗能量，只是不斷地儲存與釋放能量。

②平均功率P（有功功率）

電容元件的平均功率為零，說明在交流電的一個周期內，電容元件吸收和釋放的能量一樣多，故稱電容為儲能元件，它本身不消耗能量，只是與電源之間不斷地進行著能量的互換，平均功率為零，表明電容器不是耗能元件，而是一個儲能元件。

③無功功率　與電感相似，電容與電源功率交換的最大值也稱為無功功率，用Q_C表示，有

Q_C的單位為乏（var）或千乏（kvar）。

二、電阻、電感、電容串聯的電路

在分析實際電路時，一般將復雜電路抽象為由若干理想電路元件串、并聯組成的典型電路模型進行簡化處理。本節討論的R、L、C串聯電路就是一種典型電路，從中引出的一些概念與結論可用于各種復雜的交流電路，而單一參數電路、RL串聯電路、RC串聯電路則可看成是它的特例。

設有正弦電流i=I_msinωt通過R、L、C串聯電路，根據上一節的分析，該電流在電阻、電感和電容上的電壓降分別為

u_R=U_Rmsinωt

u_L=U_Lmsin（ωt+90°）

u_C=U_Cmsin（ωt-90°）

根據基爾霍夫電壓定律，總電壓為

u=u_R+u_L+u_C

上式稱為歐姆定律的相量形式

Z=R+jX=R+j（X_L-X_C）

Z叫做復阻抗。Z反映了RLC串聯電路對電流的阻礙作用，單位是歐姆。復阻抗是一個復數，實部為電阻R，虛部X=X_L-X_C，X稱為電抗。復阻抗不是用來表示正弦量的復數，所以它不是相量，故復阻抗的表示符號與相量是有所區別的，它常用大寫字母“Z”來表示（字母上面沒有點）。

復阻抗Z的極坐標形式為

稱為復阻抗的模，又稱為阻抗。

例如，以電流i的向量作為參考向量，則。畫出R、L、C電壓向量圖如圖3-11所示，。

由圖3-11得

　　        （3-13）

將U_R=RI，U_L=X_LI，U_C=X_CI代入式（3-13），得

由于以電流為參考相量，φ_i=0，所以u、i的相位差φ=φ_u-φ_i=φ_u，由電壓三角形可知

電路的性質如下。

電感性電路：X_L>X_C，此時X>0，U_L>U_C，阻抗角φ>0。

電容性電路：X_L<X_C，此時X<0，U_L<U_C，阻抗角φ<0。

電阻性電路：X_L=X_C，此時X=0，U_L=U_C，阻抗角φ=0。

三、阻抗的串聯與并聯

1.復阻抗

把電路中所有元件對電流的阻礙作用用一復數形式體現，稱之為復阻抗。復阻抗定義為

復阻抗的單位為歐姆（Ω）。

由于Z為復數，因此它可寫成代數式和極坐標式，即Z=R+jX=∠φ。那么電阻R、電抗X、阻抗和阻抗角φ之間的關系為

2.阻抗串聯電路的分析

圖3-12（a）所示的多阻抗串聯電路中，有

 

式中，Z為串聯電路的等效復阻抗，原電路可等效為圖3-12（b）所示的電路，則，其中，R=R₁+R₂+…+R_n為串聯電路的等效電阻；X=X₁+X₂+…+X_n為串聯電路的等效電抗；為串聯電路的阻抗角。

3.阻抗并聯電路的分析

用阻抗法分析并聯電路，一般適應于兩個支路并聯的電路，而每個支路都可以用復阻抗表示。如圖3-13所示的電路中，有

Z₁=R₁+jX₁

Z₂=R₂+jX₂

各支路電流為

其中，Z為并聯電路的等效復阻抗，則有

對于有多個支路的并聯電路，其等效復阻抗為

四、電路諧振

1.串聯電路的諧振

（1）諧振的概念　在含有電阻、電感和電容的二端網絡中，取端口電壓與電流參考方向一致時，若端口電壓與電流同相，則這種現象稱為諧振。諧振時，電路中感抗作用與容抗作用相互抵消，電路呈純電阻性。

諧振現象是正弦交流電路的一種特定工作狀態，在電子技術中得到了廣泛的應用，但有時諧振現象有可能破壞系統的正常工作，必須加以避免。

（2）串聯諧振的條件　如圖3-14所示的RLC串聯電路中，有

Z=R+jX=R+j（X_L-X_C）

由諧振的概念可知，若使串聯電路發生諧振，則Z=R，即X=0。

所以RLC串聯電路諧振的條件為

　　        （3-14）

調整ω、L、C任意一個量，均可使電路發生諧振。當電感、電容固定不變時，可調整電源頻率使電路達到諧振。

由式（3-14）可知，諧振時電源的頻率一定為

　　        （3-15）

式（3-15）中，ω₀和f₀只和電路的固有參數L、C有關，因此它們又分別稱為電路的固有角頻率和固有頻率。也就是說，只有當電源頻率等于電路的固有頻率時，才能發生諧振。

當電源頻率一定，而L或C可調時，可通過調整L或C值使電路發生諧振：

這個過程稱之為調諧。例如無線電收音機的接收回路，就是用改變電容C的辦法，使之對某一電臺發射的頻率信號發生諧振，從而達到選擇此電臺的目的；而電視機通常是通過調整電感L來達到選臺的目的。

（3）串聯諧振的基本特征

①諧振時，阻抗最小，X=X_L-X_C=0，所以=R為最小值。此時復阻抗Z=R+jX=R，電路性質為純電阻性，向量圖如圖3-16所示

②當回路端電壓保持不變時，電流最大，且與外加電壓同相。由于諧振時

此時最小，故I最大。

③諧振時，感抗與容抗相等，且等于電路的特性阻抗。由諧振條件可知

ρ是一個僅與電路固有參數有關的量，稱為電路的特性阻抗，單位為歐姆（Ω）。

④諧振時，電感和電容上要產生大小相等、相位相反的過電壓，且該電壓的大小是電源電壓的Q倍。此時電阻兩端的電壓等于電源電壓。

⑤諧振時，電源僅供給電阻消耗的能量，電源與電路不發生能量交換；而電感與電容之間，則以恒定的總能量進行著磁能與電能的轉換。

2.并聯電路的諧振

諧振也可以發生在并聯電路中，下面以圖3-17所示的電感線圈與電容器并聯的電路為例來討論并聯諧振。

在圖3-17所示電路中，當電路參數選取適當時，可使總電流I與外加電壓U同相位，這時稱電路發生了并聯諧振。此時R、L支路中的電流

總電流

若總電流與外加電壓 同相位，則上式虛部應為零，即

一般情況下，線圈的電阻R很小，故

這說明并聯諧振的條件與串聯諧振的條件基本相同。并聯諧振相量圖如圖3-18所示。并聯諧振有以下特征。

①電流與電壓同相位，電路呈電阻性。

②電路的阻抗最大，電流最小。

諧振時的電流

式中

因電阻R很小，故并聯諧振呈高阻抗特性。若R→0，則Z→∞，即電路不允許頻率為f₀的電流通過。因而并聯諧振電路也有選頻特性，但要求流過并聯諧振電路的信號源為恒流源，以便從高阻抗上取出高的輸出電壓。當一個含有多個不同頻率信號的信號源與并聯電路連接時，并聯電路如對其中某一個頻率的信號發生諧振，對其呈現出最大的阻抗，就可以在信號源兩端得到最高的電壓，而對其他頻率的信號則呈現小阻抗，電壓很低，從而將所需頻率的信號放大取出，將其他頻率的信號抑制掉，達到選頻的目的。

③電感電流與電容電流近乎大小相等，相位相反。

④電感或電容支路的電流有可能大大超過總電流。并聯諧振的品質因數為電感或電容支路的電流與總電流之比，即：

即I₁=I_C=QI。因為這兩支路的電流是電源供給電流的Q倍，所以當電路的品質因數Q較大時，必然出現電感或電容支路的電流大大超過總電流的情況。同串聯諧振一樣，并聯諧振在電子線路設計中是十分有用的，但在電力系統中應避免出現并聯諧振，以防因此帶來的電力系統過電流。

五、功率因數的提高

1.使電源設備得到充分利用

電源設備的額定容量S_N是指設備可能發出的最大功率。實際運行中設備發出的功率P還要取決于cosφ，功率因數越高，發出的功率越接近于額定功率，電源設備的能力就越能得到充分發揮。

2.降低線路損耗和線路壓降

輸電線上的損耗為P₁=I²R₁，其中R₁為線路電阻，線路壓降為U₁=IR₁，而線路電流，由此可見，當電源電壓U及輸出有功功率P一定時，提高功率因數可以使線路電流減小，從而降低傳輸線上的損耗，提高供電質量。提高功率因數，還可在相同線路損耗的情況下節約用銅，因為功率因數提高，電流減小，在P₁一定時，線路電阻可以增大，故傳輸導線可以做細一些，這樣就節約了銅材。

3.提高功率因數的方法

實際負載大多數是感性的，如工業中大量使用的感應電動機、照明日光燈等，這些感性負載的功率因數大都較低，為了提高電網的經濟運行水平，充分發揮設備的潛力，減少線路功率損失和提高供電質量，有必要采取措施提高電路的功率因數。并聯電容是提高功率因數的主要方法之一。一般將功率因數提高到0.9～0.95即可，負載可按此要求來計算所并聯電容器的容量。

對感性負載提高功率因數的電路如圖3-19（a）所示。

由圖3-19（b）還可以看出，并聯電容后，電容電流補償了一部分感性負載電流的無功分量I_Lsinφ₁，因而減小了線路中電流的無功分量。顯然，并入電容支路的電流有效值為I_C=I_Lsinφ₁-Isinφ，因為，所以，要使電路的功率因數由原來的cosφ₂提高到cosφ，需要并聯的電容器的電容量為。

感性負載并聯電容后，實質上是用電容消耗的無功功率補償了一部分感性負載消耗的無功功率，它們進行了一部分能量交換，減少了電源供給的無功功率，從而提高了整個電路的功率因數。因此，并聯電容的無功功率為

-Q_C=Q_L-Q=P（tanφ₁-tanφ）　　        （3-16）

其中，P為感性負載的有功功率。

式（3-16）就是提高功率因數所需電容的計算公式。應當注意，在外施電壓U不變的情況下，感性負載并聯電容后消耗的有功功率P沒有發生變化，這是因為有功功率P只由電阻消耗產生，并聯電容后電阻上的電壓、電流有效值沒有改變，因而有功功率P沒有發生變化。提高功率因數在電力系統中很重要，在實際生產中，并不要求功率因數提高到1，這是因為此時要求并聯的電容太大，需要增加設備的投資，從經濟效益來看反而不經濟了。因此，功率因數達到多大為宜，要比較具體的經濟技術等指標后才能確定。

實驗八　單相交流電路的認識及測量

實驗目的

①學會使用交流電壓表（萬用表）測電壓。

②加深對RL串聯電路的理解。

實驗原理

RL串聯電路的特點

實驗設備（表3-1）

實驗電路圖（圖3-20）

實驗內容及步驟

①按圖3-20連接電路。

②按表3-2測量各電壓并記錄。

實驗數據分析及結論

①感抗與頻率之間有什么關系？

②總電壓與各元件電壓之間有什么關系？