2.1　有限元法基礎(chǔ)

2.1.1　基本概念與技術(shù)優(yōu)勢(shì)

（1）基本概念

有限元法（Finite Element Method，F(xiàn)EM）的中心思想是：將一個(gè)連續(xù)求解域（對(duì)象）離散（剖分）成有限個(gè)形狀簡(jiǎn)單的子域（單元），利用有限個(gè)節(jié)點(diǎn)將各子域連接起來(lái)，使其分別承受相應(yīng)的等效節(jié)點(diǎn)載荷（如應(yīng)力載荷、熱載荷、流速載荷等），并傳遞子域間的相互作用；在此基礎(chǔ)上，借助子域插值函數(shù)和“平衡”條件構(gòu)建各子域的物理場(chǎng)控制方程；將這些方程按照某種規(guī)則組合起來(lái)，在給定的初始條件和邊界條件下進(jìn)行綜合計(jì)算求解，從而獲得對(duì)復(fù)雜工程問(wèn)題的近似數(shù)值解。其中，離散和子域（或曰分片）插值是有限元法的技術(shù)基礎(chǔ)。

圖2-1是對(duì)離散概念的圖解說(shuō)明。離散求解域的目的是為了將原來(lái)具有無(wú)限自由度的連續(xù)變量微分方程和邊界條件轉(zhuǎn)換成只含有限個(gè)節(jié)點(diǎn)變量的代數(shù)方程組，以方便計(jì)算機(jī)處理。

分片插值的概念可以借助圖2-2加以說(shuō)明。假設(shè)真實(shí)函數(shù)為曲線c₁，求解域?yàn)椋?i>a，b］。理論上講，只要定義在［a，b］上的試探函數(shù)（亦稱(chēng)插值函數(shù)）c₂具有足夠高的階次就能逼近真實(shí)函數(shù)c₁，但實(shí)際上c₂對(duì)c₁局部特征的逼近并不理想。如果將求解域劃分成若干長(zhǎng)度不等的小區(qū)間，則可在每一個(gè)小區(qū)間內(nèi)用較低階（例如一階或二階）的試探函數(shù)c₃來(lái)逼近c₁，并且通過(guò)適當(dāng)調(diào)整求解域局部小區(qū)間的數(shù)量或尺寸來(lái)提高逼近精度，從而獲得真實(shí)函數(shù)c₁的近似解。

通常，將構(gòu)建子域物理場(chǎng)方程的過(guò)程稱(chēng)為“單元分析”，將在初邊值條件支持下綜合求解子域方程組的過(guò)程稱(chēng)為“整體分析”。因此，有限元法的中心思想又可簡(jiǎn)略描述為：離散求解域→單元分析→整體分析。

利用子域（單元體）離散連續(xù)求解域（實(shí)體模型或?qū)ο螅┑倪^(guò)程又被形象地稱(chēng)為網(wǎng)格劃分，由此得到的離散模型被稱(chēng)為網(wǎng)格模型。

（2）技術(shù)優(yōu)勢(shì)

有限元法的技術(shù)優(yōu)勢(shì)主要體現(xiàn)在：該方法把連續(xù)體簡(jiǎn)化成由有限個(gè)單元組成的等效體（物理上的簡(jiǎn)化），針對(duì)等效體建立的基本方程是一組代數(shù)方程，而不是原先用于描述真實(shí)連續(xù)體的常微分或偏微分方程。由于不存在數(shù)學(xué)上的近似，故有限元法的物理概念清晰，通用性強(qiáng)，能夠靈活處理各種復(fù)雜的工程問(wèn)題。

（3）應(yīng)用有限元法求解工程問(wèn)題的一般流程

圖2-3為應(yīng)用有限元法求解工程問(wèn)題的一般流程。注意，圖2-3中的載荷是廣義的，視具體工程問(wèn)題而定。例如：分析模擬塑料制件的注射模塑過(guò)程，其載荷主要為注射壓力和注射速率；分析模擬汽車(chē)覆蓋件的拉深過(guò)程，其載荷主要為拉深速率和壓邊力。此外，圖中的幾何模型僅僅是有限元模型的物理載體，只有將其他相關(guān)元素（單元、材料參數(shù)、載荷、初邊值條件）加入到這個(gè)載體上，才會(huì)獲得求解實(shí)際工程問(wèn)題的有限元模型。