1.1 利用陰影測量物體的高度

在我還很小的時候，曾在樹林中遇見一位禿頂的看林老人，只見他在一棵大松樹下擺弄著一個四方木板樣子的儀器，我很好奇地問他在干什么，他回答說他正在用儀器測量松樹的高度。我原本以為他要帶著那個小巧的儀器爬上樹梢去量樹高，然而他絲毫沒有上樹的意思，反而把那臺小儀器放回自己的口袋中，然后對大家說他已經測量完畢。

那時的我對此感到十分驚奇，要知道，對于當時年幼無知的我而言，測量樹高的方法應該只有把樹砍倒或者費力爬上樹梢測量這樣的笨辦法，但是這位禿頂的看林人僅僅用一個小儀器就測量出大松樹的高度，這簡直是神奇無比的魔術！

上學以后，我學習到了一些幾何學基本原理，才終于明白小時候百思不得其解的奇妙魔術不過是對最基本原理的簡單運用罷了。

運用幾何學基本原理來測量物體高度的方法數不勝數，其中最古老的測高法便是古希臘哲學家泰勒斯利用陰影對金字塔進行測高的方法。

公元前6世紀特殊的一刻，人在太陽光投射下的影子長度與人的身高相等。正是這一刻，在埃及最高的金字塔腳下，在疑惑的法老和祭司們面前，泰勒斯完成了對宏偉金字塔測高的任務。因為在那個時刻，金字塔投下的陰影長度正好與其高度相等，泰勒斯通過測量陰影的長度得到了金字塔的高度。

泰勒斯巧妙利用三角形的一個特性，借助陰影解決了測量金字塔高度的難題。而關于三角形的其他特性，大約在公元前300年，被另一位希臘數學家歐幾里得發現，并撰寫出一部著作，成為兩千年來人們學習幾何學必不可少的教材。一些今天我們每一個中學生都熟知的定理，其實都來自這部書，也正是有了泰勒斯、歐幾里得這樣無數前人的努力，才使得我們現在能站在巨人的肩膀上去看待和思考這些問題。

對于現在的中學生來說，泰勒斯當年使用的方法其實非常簡單，它包含了三角形的以下兩個特性（泰勒斯發現了其中的第一個特性）：

（1）等腰三角形的兩個底角相等。反過來，如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對應的兩邊也相等。

（2）任意三角形的三個角的角度之和為180°。

依據這兩個特性，泰勒斯推定出，當一個人的身影和他的身高等長時，太陽光應該正以45°角投射到平地上。因此，金字塔的塔尖頂點、塔底中心點和塔的陰影端點之間正好構成了一個等腰直角三角形。

這個方法在晴朗的日子里對獨立的樹木進行測量十分方便，但是有很大的局限性。一方面，如果在樹木林立的樹林里測量，樹木的影子往往會與旁邊樹木的陰影重疊在一起，不便于測量。另一方面，在一些高緯度地區，太陽經常低垂于地平線上，很難等到合適的測量時機（此時人的影子長度與身高相等），只有等到夏季的正午時分，才可使用這個方法。

當然，只要將上面的方法略加改進，我們并不一定非得等到那個特殊時機才可測量。在測高時，先測量出所測物的陰影長度，然后測出自己的身影或者一根木桿的陰影長度。這樣，根據它們之間的比例計算就可得到所測物的高度了（圖1-1）：

AB∶ab=BC∶bc

這個式子之所以成立，正是利用了相似三角形ABC和abc的相似性原理，簡單說來，就是樹影長度是你身影長度的幾倍，樹高也就是你身高的幾倍。

我們應該真正掌握這其中的幾何學原理，而不是死記規則。因為在另外一種情況下，這個規則就不適用了。如圖1-2所示，在路燈燈光投射出陰影的情況下，木柱AB比木樁ab大約高出2倍，然而木柱的陰影BC卻要比木樁bc的陰影多出約7倍。這是因為太陽光線和路燈光線并不一樣，路燈是點式光源，所以其光線是發散的，而太陽光線則是彼此平行的。

你也許會疑惑，太陽光線在放射出的瞬間就已交織在一起，又怎么判斷出太陽光線是平行的呢？的確，從理論精確的角度講，太陽光線的確存在角度，只是這個角度小得幾乎可以忽略不計。舉這樣一個簡單的幾何學計算就能證明。假設從太陽某點放射出的兩道光線，落在了地球表面相距1千米的兩個地點，有一把無限大的圓規，我們可以把圓規的一只腳放在發射光線的那個點上，另一只腳以日地距離（即150000000千米）為半徑畫一個圓。通過計算，兩道光線半徑之間的圓弧長度達到1千米。而畫出的這個巨大的圓的周長應為2π×150000000≈940000000千米。該圓周每一度的弧長都是圓周的，長度約為2600000千米；一弧分是一度的，也就是43000千米；而一弧秒則是一弧分的，也就是720千米。而我們假設的圓弧長只有1千米，因此，與之對應的角只是弧秒。再精確的天文儀器，也難以測量如此微小的角度。所以，在測量的實踐中，我們完全可以把太陽光線看作是彼此平行的直線。

不過，在運用這個方法進行實際測量的時候，還存在一個問題。由于太陽并不是一個點狀光源，而是由無數點及其放射出的光線所組成的巨大發光體。所以太陽光投射出的陰影盡頭總有一道輪廓模糊、顏色暗淡的半影，我們總是很難確定其界限，所以無法做到完全精確地測量出陰影的長度。如圖1-3所示，樹影BC段后面就有一段半影CD，而半影CD與樹頂A形成的角度與我們平時看太陽圓面時所夾的角度其實是相等的，叫作半度。因此即便在太陽所處位置并不低的時候，有時因這兩個陰影測量的不精確所帶來的誤差也可能達到5%及以上，有時再加上地面不夠平坦等不可避免的因素，使得誤差更大。因此，在一些諸如山區的地方，陰影測高法不建議采用。