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1.11 萬能公式

這種似乎萬能的公式的確存在,而且并非僅適用于上述所提的圓柱、圓錐和圓臺,也可以普遍適用于所有種類的棱柱體、棱錐體、棱臺體以及球體。以下就是被稱作“辛普森公式”的著名萬能公式:

其中,h是立體的高度;b1是下底面積;b2是中部截面面積;b3是上底面積。

[題] 試著證明利用上述公式確實能計算出以下七類幾何體的體積:棱柱、棱錐、棱臺、圓柱、圓錐、圓臺、球體。

[解] 將上述公式分別用以計算以上七種幾何體體積,即可驗證。

對于棱柱和圓柱[圖1-16(a)],得出:

圖1-16 萬能公式適用的幾種幾何體

對于棱錐和圓錐[圖1-16(b)],得出:

對于圓臺[圖1-16(c)],得出:

對于棱臺的,也可用相似的證明方法。

最后,對于球體[圖1-16(d)],得出:

[題] 萬能公式還有一個有趣的特性:它還適用于平面圖形的面積計算,如平行四邊形、梯形、三角形。公式是一樣的,只要把公式當中的字母含義改換如下即可:

其中,h是圖形的高度;b1是下底長度;b2是中間線長度;b3是上底長度。

如何證明呢?

[解] 把萬能公式應用到平行四邊形(包括正方形和矩形)[圖1-17(a)]面積計算中:

圖1-17 適合用萬能公式的圖形

梯形[圖1-17(b)]的面積為:

三角形[圖1-17(c)]的面積為:

由此可見,“萬能公式”的“萬能”二字當之無愧。

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