1.1 奇妙的最短航線

在一次小學(xué)數(shù)學(xué)課堂上，數(shù)學(xué)老師在黑板上用粉筆畫了兩個點(diǎn)，然后把粉筆遞給一名學(xué)生說：“請在兩點(diǎn)之間畫出一條最短的路線。”

學(xué)生接過粉筆，小心翼翼地在兩點(diǎn)之間畫出了一條彎彎曲曲的線（圖1-1）。

女老師驚訝又生氣地說：“兩點(diǎn)之間直線最短！是誰告訴你最短路線是曲線的？”

“老師，是我爸爸說的，他每天都要開公交車。”學(xué)生回答。

請你先別急著嘲笑那名小學(xué)生，因為如果你知道了圖1-2里那條彎曲的虛線正是好望角和澳大利亞南端之間最短的路線的話，你恐怕就笑不出來了。實際上，還有你更意想不到的事情，比如，圖1-3上從日本橫濱到巴拿馬運(yùn)河的兩條路線中，那條半圓形路線要比直線短得多！

如果你還是以為我在開玩笑，你就錯了。上述都是地圖測繪員承認(rèn)且無法辯駁的真實情況。

那么，該如何解釋這個問題呢？我們要先從地圖，特別是航海圖的基本知識談起。首先你要知道，因為地球是個球體，所以從精確的角度來講，它的任何一個部分都無法完全展開為一個沒有任何重疊或者破裂的平面。即使我們想要在紙上畫出部分大陸，也并非易事。在繪制地圖時，人們也就不可避免地會進(jìn)行一些歪曲，所以你也根本找不到一張沒有歪曲的地圖。

至于航海家所使用的航海圖，是以16世紀(jì)荷蘭地理學(xué)家墨卡托發(fā)明的方法制成的，這個方法又被叫作“墨卡托投影法”（圖1-3和圖1-6）。這種帶格子的地圖易懂之處在于：所有的經(jīng)線用平行直線表示，而所有的緯線用垂直于經(jīng)線的直線表示。

那么，同一緯度上兩個海港間的最短航線應(yīng)該如何找到呢？答案是，我們只要知道最短航線在哪個方向及位置就可以了。你也許會很自然地聯(lián)想到，最短航線必定是在兩個海港同處的那條緯線上了，既然地圖上緯線是用直線表示的，兩點(diǎn)之間直線最短的原理肯定錯不了了。但我得告訴你，你又錯了，處在緯線上的航線的確不是最短的航線。

其實球面上兩點(diǎn)間的最短路線應(yīng)該是經(jīng)過它們的大圈弧線。這是因為，經(jīng)過同樣兩點(diǎn)的大圈弧線要比任何一個小圈弧線的曲率要小，且圓的半徑越大，其曲率越小。而緯線都是小圈，因此最短的路線并不在緯線上。做一個實驗就可以證明這一點(diǎn)。你可以用一條細(xì)線在地球儀上經(jīng)過某兩點(diǎn)，并把細(xì)線拉直，你就會發(fā)現(xiàn)細(xì)線肯定不是沿著緯線的（圖1-4）。拉緊的線必然代表最短的航線，如果它不與地球儀上的緯線重合，則意味著在航海圖上最短距離也必然不是用直線表示的。因為作為曲線的緯線在地圖上反而是用直線表示的，反過來說，在地圖上任何一條不與直線相重合的線，都應(yīng)該是曲線。

由此可知，航海圖上的最短航線是曲線，而并非直線了吧。

再舉一個例子。傳說在多年以前的俄國，人們對于如何修筑一條從圣彼得堡到莫斯科的十月鐵路（當(dāng)時叫尼古拉鐵路）有很大的爭議，最后俄皇尼古拉一世出面結(jié)束了爭議：他決定從圣彼得堡到莫斯科之間應(yīng)該用一條直線的鐵路連接起來。假如當(dāng)時他所用的地圖是由墨卡托制圖法制成的，恐怕他會對結(jié)果感到意外：這樣鋪設(shè)而成的鐵路根本不是直線，而是曲線。

此外，我們還可以通過以下計算再次驗證這個結(jié)論。假設(shè)有兩個相距60°的港口與圣彼得堡都位于北緯60°上（實際是否存在這兩個港口與我們的計算并無關(guān)系）。如圖1-5所示，O點(diǎn)為地心，A、B分別為兩港口，弧AB在緯線圈上，弧長為60°，C點(diǎn)是緯線圈圓心。以地心O為圓心，經(jīng)過A、B畫一條大圈弧線，其半徑OB=OA=R；大圈弧線與緯線圈弧線很接近，但并不重合。對每一條弧線長度的計算如下：由于點(diǎn)A和點(diǎn)B同處緯度60°，所以半徑OA、OB與地軸OC的夾角都為30°。而在直角三角形ACO中30°夾角的對邊AC（與圍圈半徑r相等），應(yīng)為直角三角形弦AO的一半。即。而緯線圈弧線AB長60°，即整個緯線圈長度（360°）的。而緯線圈半徑又是大圈半徑的一半，因此緯線圈長度亦為大圈長度的一半。大圈全長40000千米，所以緯線圈弧線AB長等于。

若是還要求出經(jīng)過A、B的大圈弧線的長度（即兩點(diǎn)間最短路線），則必須還要求得∠AOB的大小。小圈60°弧的對弦AB正是小圈內(nèi)接正六角形的一邊，所以。作直線OD連接地球中心O和AB弦中中點(diǎn)D，三角形ODA是直角三角形，角ADO是90°，而，OA=R。

可得

由三角函數(shù)表得

∠AOD=14°28′5″

所以

∠AOB=28°57′

計算出這些數(shù)據(jù)后，我們就很容易得出最短路線的長度了。對地球來說，大圈1′的長度等于1海里，即約1.85千米，又因，28°57′=1737′，所以最短路線的長度為1737×1.85≈3213千米。

綜上所述，在航海圖上沿緯線圈上的直線航線為3333千米，而大圈上的航線（地圖上是曲線）為3213千米，也就是說，前者比后者長了120千米。

如果你想檢驗圖中所畫的曲線是不是大圈弧線，方法也很簡單，只需用一條線和一個地球儀就可以了。圖1-2中非洲好望角到澳大利亞的直線航線為6020海里，而曲線航線只有5450海里，二者相差了570海里，即約1055千米。在地圖上你可以看到，從倫敦到上海畫一條直線航空線，它必須穿過里海，但實際上最短的航空線只要經(jīng)過圣彼得堡北面就行了。在航行時，如果不事先弄清航線問題，可能會浪費(fèi)很多燃料和時間。

而節(jié)省時間和燃料在當(dāng)代有多么重要，相信無須多言大家即可明白，因為我們已經(jīng)不是處在那個原始的帆船航海時代，對時間意識不重視了。輪船的出現(xiàn)，意味著時間變成了金錢，航線變短，就意味著使用的燃料減少，所需要的費(fèi)用自然也就少了。所以在當(dāng)代，航海家往往不用墨卡托地圖，而使用一種大圈弧線以直線表示的所謂“心射”投影地圖，這是為了確保輪船始終在沿著最短的航線航行。

但是，為什么以前的航海家在航海時還使用墨卡托地圖，并沒有選擇最短航線呢？是因為他們那時候還不知道上述所說的知識嗎？當(dāng)然不是。凡事都如雙刃劍，這是因為墨卡托地圖雖然有某些缺陷，但是在某些情況下對航海家有著很大的幫助。

首先，墨卡托地圖中所表示的小陸地區(qū)域輪廓基本沒有歪曲，除非在遠(yuǎn)離赤道的地方。在那里，地圖上所表示的陸地輪廓要比實際的稍大，而且緯度越高，輪廓越大。不了解其中特性的人看到這種航海圖，也許會產(chǎn)生誤解。例如，在墨卡托地圖上，格陵蘭島和非洲大陸看起來好像一樣大，阿拉斯加甚至比澳大利亞看起來還要大，但事實上格陵蘭島不過非洲的，而阿拉斯加和格陵蘭島加在一起也只有澳大利亞的。然而，對于早已熟悉其特點(diǎn)的航海家來說，這些都不是問題，且愿意包容。畢竟在小區(qū)域范圍內(nèi)，航海圖上的陸地形狀輪廓跟實際相差不大（圖1-6）。

其次，墨卡托地圖在實際的領(lǐng)航運(yùn)用中比較方便，因為它是唯一以直線表示輪船定向航線的地圖。“定向”航行是指輪船航行時固定在一個方向，“方向角”不變，這意味著輪船的航線與所有經(jīng)線相交的角度都將相等。“定向”航行中的航線叫作斜航線，只有在以平行直線表示經(jīng)線的地圖上，航線才能通過直線的方式表示出來。在地球上，所有緯線圈與經(jīng)線圈相交的角都為直角，因此在墨卡托地圖上緯線圈都是垂直于經(jīng)線的直線。簡單來說，看上去全是經(jīng)緯線繪成的方格，這也是墨卡托地圖的一大特色。

你現(xiàn)在終于明白為什么航海家喜歡使用墨卡托地圖了吧，如果船長決定要到某個海港，他就會用尺子在出發(fā)地和目的地之間畫一條直線，再量出它跟經(jīng)線的夾角以確定航向。在浩瀚的大海上，輪船只要始終沿著這個方向航行，最后就可以準(zhǔn)確地到達(dá)目的地。由此可見，“斜航線”雖不是最短、最經(jīng)濟(jì)的航線，但對船長和船員們來說，卻是最方便的。例如，假如我們要從好望角出發(fā)去往澳大利亞最南端（圖1-2），只要使輪船一直朝著南偏東87°50′的方向航行即可。但是如果想要走最短的大圈航線，則不得不一直改變航向。首先要往南偏東42°50′的方向，到達(dá)某個地方時又改為南偏東39°50′的方向（實際上，這條所謂的最短航線并不存在，因為它已經(jīng)延伸到南極地區(qū)了）。

有意思的是，斜航線和大圈航線在某些地方可能重合，那是當(dāng)沿赤道或者經(jīng)線航行的時候，因為那時大圈航線在墨卡托方法繪制的航海圖上也正好是用直線表示的。但除此以外的任何情況，這兩種航線都不相同。