1.2　時頻分析技術的研究方法

通常的信號分析與處理是在幅值、時間、頻率等域進行的。傅里葉變換建立了信號從時域到頻域的映射，經過一百多年的發展，以傅里葉變換為基礎的信號處理方法如幅值譜、功率譜、倒頻譜分析等已經成為信號分析與處理的重要工具。20世紀90年代，基于傅里葉變換的信息融合技術又將故障診斷技術引入了一個新的層次。將多傳感器信息融合思想應用于旋轉機械振動信號處理中，產生了三種振動信號的數據層融合分析方法：美國Bently公司提出的全譜理論、西安交通大學提出的全息譜理論和鄭州大學振動工程研究所提出的矢量譜理論。

全譜理論利用幾何知識將各單一頻率下的軸心軌跡分解為正負進動的圓，在圖譜表達上采用了用橫坐標的正負半軸來分別表示正負頻率，將正負進動圓半徑分別在正負頻率上表示的方法，通過比較正負進動圓半徑得出轉子的進動方向。全息譜理論提取轉子某些特征頻率下的振動，通過描點的方式把單一頻率點上的軸心軌跡在相應的頻率上畫出。矢量譜理論繼承了以上兩種方法的信息融合的思想，數值計算簡便、反映信息全面。

上述研究都是在傳統的時域分析和頻域分析的領域內進行的，而頻域分析中所用的頻譜分析、功率譜分析等都是假設信號為平穩信號。雖然傅里葉變換建立了從時域到頻域的映射，但它并沒有將時域和頻域合成一個域，因此，時域圖上無法確定任意時間點頻率分量的局部信息，同樣，頻域圖上也無法確定任意頻率處其譜分量的時間局部化信息。而機械故障診斷中面臨著大量的具有時變特性的信號，這些信號往往與設備的故障狀態緊密相關，研究這類信號的處理方法具有重要的現實意義和理論價值。從時間-頻率二維平面上對信號進行聯合分析的時頻分析方法被認為是研究非平穩信號的一個有力手段。

1.2.1　基于核函數的時頻分析方法

早在1932年Wigner就提出了Wigner分布的概念，并把它用于量子力學領域。直到1948年，Ville把它應用于信號分析領域，因此，Wigner分布又稱為Wigner-Ville分布（簡記為WVD）。在該分布中，信號出現了兩次（“雙線性”因之得名），并且不含任何窗函數，業已普遍承認，其時間-帶寬積達到了Heisenberg不確定性原理給出的下界，當時沒有任何一種時頻聯合分布的時頻分辨率能出其右。與Ville同時，Moyal在研究量子力學時，也采用類似的方法，得到了類似的分布表示形式。隨后，Margenal、Hill、Rihaczek和Page分別提出的Rihaczek分布和Page分布，從不同的角度、以不同的形式描述了信號在時頻平面上的能量分布情況。上述的幾種分布，推導方式不同，表現形式不同，并且各有特點，在1966年，Cohen總結了這些時頻分布，給出了一個統一的表示，這就是常說的Cohen類時頻分布。Cohen類時頻分布不僅概括了以前的幾種基于WVD的時頻分布，而且還可以選擇不同的核函數以及對核函數施加某些約束條件，以產生具有某些特性的時頻分布，對時頻分布的研究和發展具有重要的意義。1970年，Mark對時頻分布進行了較為全面和具有深遠意義的研究，強調指出了Wigner分布中存在的虛假值，即人們常說的交叉干擾項，對時頻分析所造成的困難。1973年，D.E.Bruijn對WVD作了評述，并給出了把WVD用于信號變換的新的數學基礎。20世紀80年代初，Classen和Mecklenbrauker對WVD的定義、性質等作了全面的論述，給出了離散情況下的表示形式，指出了Wigner分布與譜圖及其他分布間的關系。WVD具有許多優良的時頻特性，但對多分量信號存在嚴重的交叉項，交叉項的存在使得對分布結果的物理解釋出現困難，在一定程度上影響了它的應用。因此許多學者研究了抑制WVD交叉項的方法，比較著名的有1989年Chio和Williams提出的Chio-Williams分布，簡稱為CWD；1990年，Zhao和Atlas提出的錐形核分布；減少交叉項分布；平滑Wigner分布等。這些方法一般都是采用固定的核函數，主要原理是在模糊域利用固定的核函數對信號的模糊函數進行濾波，從而抑制交叉項。時頻分布的結果對信號類型有較強的依賴，對于某一類信號，某一種核函數對應的時頻分布可能既具有高的分辨率，又很好地抑制了交叉項，較好地描述了信號的時頻成分。但是，同一種分布對另外的信號卻常常不能盡如人意。因此，人們開始進一步研究自適應核函數的時頻分布。

其中，最有代表性的是G.B.Richard和L.J.Douglas提出的基于信號的自適應核時頻分析，使核函數根據信號的特點進行自適應調整，并首次提出了自適應優化核函數的設計準則。之后，G.B.Richard又在此基礎上，設計了徑向高斯核函數分布。N.C.Richard提出了自適應錐形核設計，根據信號屬性自適應調節錐形核的長度。Dongsheng Wu、Joel M.Morris根據上述最優核的設計準則，提出了自適應信號的巴特沃斯核分布。H.C.Antonio和G.Faye B-B提出了一種可以根據信號而變換核形式的可調核，其優點是通過選擇五個參數的取值，可以獲得不同的核形狀，對不同的信號具有較廣的適應性，并且給出了當核為條帶形、十字形、雪花形、橢圓形、菱形等的參數的取值范圍和設計原則。該方法的另一優點是通過對參數施加簡單的約束，可以保證時頻分布的許多良好的性質。但其最大的缺點是用戶必須指定模糊域自項和交叉項的邊界，這種自適應性能的缺陷影響了該方法的應用。

1.2.2　基于信號分解的時頻分析方法

1946年，Gabor提出了Gabor變換的概念，將一維的時間信號映射成以時間和頻率為自變量的二維信號，并通過離散時移和頻移構造一系列基函數，然后利用這些基函數將信號在時頻平面上展開，用于測量聲音信號的頻率定位。Gabor變換的提出，為此后在時間-頻率聯合域內分析信號奠定了理論基礎。為更好地理解語音信號，R.K.Potter等也提出了一種實用的時頻分析方法，即短時Fourier變換，并將其模的平方稱為“聲音頻譜圖”，此即為后來者所稱道的譜圖，后來逐漸發展成為兩種實用的時頻分析工具。短時Fourier變換克服了一般Fourier變換譜分析中時間域無限大的缺點，給信號加一個時間窗，使信號集中再現在這個窗口中，所加的窗在時間軸上移動，即可得到不同時刻的頻譜。短時傅里葉變換分析方法的不足之處是窗函數所確定的時頻窗口具有相同的時寬和頻寬，即窗口大小和形狀是固定不變的，這不符合實際問題中窗口大小應隨信號的頻率而變，頻率越高，窗口應越小的要求。要提高頻域分辨率就得加大時窗長度，這就會造成時域分辨率下降。此外，由于短時傅里葉變換假定信號在窗口內是局部平穩的，對于隨時間變化較快的信號，該前提條件難以保證，為提高頻域分辨率而加大時窗，信號的局部平穩性更難于保證。Gabor展開之所以有意義，在于可以構造使它們相對于時間和頻率都容易定位和高度集中的基函數，因此，Gabor系數可以顯示信號在時間-頻率點附近的時頻特性。但是，由于Gabor變換的時窗寬度在整個時間軸上和頻率軸上并沒有改變，這樣處理的結果是在低頻段和高頻段都具有相同時域分辨率和頻域分辨率。也就是說，Gabor變換，雖然已經具有了平移的功能，Gabor展開的基函數可以體現信號的時頻特征，但Gabor基的頻率、帶寬是固定的，對于非平穩信號，利用具有固定頻移的基函數進行變換并不適用。1982年，法國科學家J.Morlet放棄了Fourier變換中的不衰減的正交基，而采用一種被稱為“小波”的函數作為基函數，對信號進行處理，提出了小波分析的理論。小波分析理論一經提出，便引起理論工作者極大的研究興趣，很快成為一大研究熱點，法國數學家Y.Meyer對小波理論作出了突出的貢獻，Meyer憑借自己深厚的數學功底，建立了小波分析理論的數學基礎，構造了具有正交性的實值小波。1988年Daubechies構造出了一系列實用的緊支和正則小波，1989年Mallat總結了前人的工作，提出多分辨分析的框架理論，并給出了著名的Mallat塔式分解算法，奠定了小波分析在廣大工程領域應用的基礎，使得小波分析這一有力工具迅速在各個學科和工程領域內得到應用，如信號分析、圖像處理、地震數據分析、模式識別、故障診斷等。但是，小波變換也有其自身的缺點，首先，其時間-尺度圖不像時頻圖那樣直觀；其次，小波變換的時移、頻移變化是固定的，只是對時頻平面進行了機械的格型分割。對于非平穩信號的分析，人們更希望基函數能自適應選取，20世紀90年代，自適應信號分解的思想誕生了。

1.2.2.1　自適應最大投影法

Gabor基的頻率、帶寬是固定的，很難適用于時變信號的展開和參數估計，而小波變換所選擇的基信號只是對時頻平面進行了機械的格型分割，因此始終無法同時獲得高的時間分辨率和頻率分辨率。為了克服上述缺陷，S.Qian、D.Chen和Mallat幾乎同時提出了以投影能量最大為準則的自適應投影信號分解法。自適應投影信號分解法是將任一給定信號表示為一組基元函數的線性組合，通常基原子集是一無窮集，最大投影匹配原則即每次投影前都在信號集中選擇最佳的信號投影使得投影值最大。自適應信號投影分解是把被分析的信號擴展到一組有限的、具有較好的時頻局部化的基函數上，表征這些基函數的參數包含了被分析信號的局部時頻特征信息。相應的時頻分布有較高的時頻分辨率，而且對于多分量信號，自適應時頻分布無交叉項的干擾。

S.Qian和Mallat提出的分解方法區別在于基原子的不同，S.Qian和D.Chen提出了基于高斯型基函數的自適應投影信號分解法。它采用一組經過時移、頻移的高斯基原子集，根據信號在基函數上的最大投影來逐個自適應尋找最優基函數，即逐個搜索與信號特性最相近的基函數，從而完成信號的分解。S.Qian提出的基于高斯型基函數的自適應投影信號分解法的不足之處是基原子的頻率不變，對大多數變頻信號，無法進行有效的自適應匹配，這樣既影響分解結果反映真實信號的能力，又增加了計算量。Yin等提出了采用線性調頻的高斯信號作為分解基集，從而使參數由三維擴展為四維，對基函數實施尺度、時移、頻移和旋轉操作后與信號作內積，使原子集與信號的匹配性能更優，但由于指標集是四維的，最優基的遍歷搜索較困難。之后，又出現了自適應Chirp分解方法，將匹配參數上升至五維，計算更加復雜。

Mallat提出的匹配追蹤方法基本原理與此類似，只是匹配追蹤法的原子集為一組經過時移、頻移的小波基函數，時頻原子的類型由三個參數確定：尺度、頻率和平移參數。這些原子可在時域和頻域上很好地定位，根據不同類型原子的選擇方式，信號分解有不同的特性。該算法首先在原子集中選擇與信號最匹配的原子，使剩余量最小，接著用同樣的思路對剩余量分解，找出最佳匹配原子，如此分解下去，得到對信號的自適應分解。之后，在Mallat基函數的基礎上發展了小波包字典，字典是基函數的擴展，是參數化波形函數的集合，小波包字典包括標準的正交小波字典、Dirac字典、余弦字典等。該方法可獲得優于小波包分解的時頻分布。最大投影匹配追蹤法有很多優良的性質：較高的時頻分辨率，暫態結構的局部自適應性，信號結構的參數表示，算法對局部結構的自適應性，可描述相對較弱的暫態分量，分析時無需事先劃分頻帶，更具客觀性。但本文研究發現，這幾種字典也存在缺陷，當信號中有突變成分時，余弦原子無法匹配沖擊信號；小波包字典雖然可以匹配沖擊成分，但由于匹配中小波原子頻帶能量的泄漏與交疊，致使時頻分布中出現了虛假頻率。這是因為理論上二進制小波提供了一種理想的頻帶劃分情況，但以Morlet小波為例，其頻域窗內的能量為整個窗口能量的84.48%，所以這個窗口內的能量必然擴散到其他頻段，同時其他頻段的能量也會滲透到這一頻段內，可見小波分析各尺度之間存在頻域混疊現象。因此以此類小波為基礎的匹配追蹤自適應分解方法就會存在頻帶混疊、出現虛假頻率的問題。

1.2.2.2　基追蹤方法

S.S.Chen等提出一種基追蹤方法，基追蹤原子分解算法就是在給定的庫中尋找一個分解式，使分解系數的范數最小，它通過一個凸非二次優化來得到分解的最優解。基追蹤方法是信號稀疏表示領域的一種新方法，它尋求從完備（或過完備）的函數基集合中得到信號的最稀疏表示，即用盡可能少的基精確地表示原信號，從而獲得信號的內在本質特性。基追蹤方法采用表示系數的范數作為信號稀疏性的度量，通過最小化l1范數將信號稀疏表示問題定義為一類有約束的極值問題，進而轉化為線性規劃問題進行求解。

基追蹤方法使用了一種新的線性規劃算法——內點算法，要在所有的字典向量中極小化一個全局目標函數，計算量很大。因為求解大尺度線性規劃問題較困難，目前的基追蹤方法僅局限于一維信號的去噪和超分辨處理。

1.2.2.3　經驗模態分解法

1998年美國國家航空航天局的Norden E.Huang首次提出了經驗模態分解方法（Empirical Mode Decomposition，簡稱EMD），主要思想是把一個時間序列的信號分解成一組穩態和線性的數據序列集，即本征模函數。所謂本征模函數，必須滿足兩個條件：（1）對于一列數據，極值點和過零點數目必須相等或至多相差一點；（2）在任意點，由局部極大點構成的包絡線和局部極小點構成的包絡線的平均值為零。每個本征模函數序列都是單組分的，即序列的每一點只有一個瞬時頻率，無其他頻率組分的疊加。EMD方法是一種自適應的信號分解方法，它可以將復雜的多分量信號自適應地分解為若干個瞬時頻率具有物理意義的IMF（Intrinsic Mode Function，簡稱IMF）分量之和，從而得到原始信號完整的時頻分布。但是EMD方法在理論上還存在一些問題，如EMD方法中的過包絡、欠包絡、模態混淆和端點效應問題，這些問題仍然處在研究當中。

1.2.3　基于參數模型法的時頻分析方法

時間序列分析是采用參數模型對所觀察到的有序隨機數據進行分析和處理的一種數據處理方法，簡稱時序分析。時序模型以機械設備工作時的動態過程為研究對象，采用時序分析方法對系統輸出數據建立參數模型，可以將參數模型與系統分析直接緊密結合，認識系統的固有特性，從中分析和尋找系統的變化特征和發展趨勢。

在時間序列的參數模型中，有自回歸滑動平均模型、雙線性模型、門限自回歸模型、指數自回歸模型、狀態依賴模型等。工程上最常用的是自回歸模型，簡稱AR模型。AR模型的模型參數凝聚了系統狀態的重要信息，準確的AR模型能夠深刻集中地表達動態系統的客觀規律，具有對短序列建模的能力以及快速計算的特點。該參數模型法的分辨率不受采樣頻率和采樣點數的限制，特別適用于短數據序列的譜估計，可獲得高的譜分辨率。

平穩隨機過程的參數模型是常參數模型，對非平穩隨機信號，當所取的短數據序列是沿整個信號序列滑動而得時，就形成了信號的自適應譜。在綜合考慮模型參數估計的計算速度、算法的簡單性以及效率等因素后，人們常首選非平穩信號的時變AR建模以及模型參數估計算法。非平穩隨機過程的時變參數估計方法中，最簡單的一種方法是當過程不是遠非平穩時，可用自適應算法（遞歸誤差預測法、梯度算法、最小二乘算法等）來計算。若時變參數變化非常快，則自適應算法將不能跟蹤參數變化而失效。

較常用的時變參數估計方法是將參數作為一些已知函數（基函數）的線性加權組合進行近似，將線性非平穩時變問題轉化為線性平穩時不變問題。與假設在一段時間間隔上信號是平穩的參數估計方法相比，時變參數模型法可以進一步提高參數估計的精確度。常用的基函數有二階展開式，還有勒讓德（Legendre）多項式、傅里葉基、離散長球面波序列等。與平穩情況相比，求解非平穩隨機信號模型時變參數所需的計算量會顯著增加。