1.8.2　基爾霍夫定律

在電路中，支路電流和支路電壓受到兩類約束。一類是元件特性構成的約束。如線性電阻元件的電壓和電流在關聯參考方向條件下必須滿足u=Ri的關系，這種關系稱為元件的組成關系或電壓電流關系（VCR）。另一類是元件之間相互連接所帶來的支路電流和支路電壓之間的約束關系，這類約束關系稱為拓撲約束?；鶢柣舴蚨删褪敲枋鲞@類約束關系的電路定律，它是電路中電壓和電流所遵循的基本規律，是分析和計算較為復雜電路的基礎，包括基爾霍夫電流定律（KCL）和基爾霍夫電壓定律（KVL）?；鶢柣舴蚨杉瓤梢杂糜谥绷麟娐贩治?，也可以用于交流電路分析，還可以用于含有電子元件的非線性電路分析。

1.基爾霍夫電流定律（KCL）

基爾霍夫電流定律（KCL）指出：在集總電路中，任何時刻，對于任一節點，所有流入該節點的支路電流的代數和恒等于零，即

∑i=0　?。?-20）

此處，電流的代數和是以電流流出節點還是流入節點來判斷的。根據電流的參考方向，流入節點的電流前面取“+”號，流出節點的電流前面取“-”號。

如圖1-22所示，對節點a列寫KCL方程，有

-i₁-i₂+i₃=0

上式可改寫為

i₃=i₁+i₂

此式表明，流入a節點的支路電流之和等于流出該節點的支路電流之和。因此，KCL也可表述為：在集總電路中，任何時刻，流入任一節點的支路電流之和恒等于流出該節點的支路電流之和。

KCL不僅適用于電路中的任一節點，還適用于包含幾個節點的閉合面S。在圖1-22中，虛線包圍的閉合面S包含b、c、d共3個節點，對其中的每個節點列寫KCL方程，有

i₁-i₄+i₆=0

i₂+i₄-i₅=0

-i₃+i₅-i₆=0

將以上三式相加，得到閉合面S的電流的代數和為

i₁+i₂-i₃=0

其中，i₁和i₂流入閉合面，i₃流出閉合面。

可見，通過一個閉合面的支路電流的代數和恒等于零，或者說，流入閉合面的電流之和恒等于流出同一閉合面的電流之和。KCL的實質是電流連續性的原理，也是電荷守恒定律的具體體現?；鶢柣舴螂娏鞫墒谴_定電路中任意節點處各支路電流之間關系的定律，因此又稱為節點電流定律。

2.基爾霍夫電壓定律（KVL）

基爾霍夫電壓定律（KVL）指出：在集總電路中，任何時刻，沿任意回路，所有支路電壓的代數和恒等于零，即

∑u=0　?。?-21）

應當指出：在列寫回路電壓方程時，首先要對回路選取一個回路“繞行方向”，各電壓變量前的正、負號取決于各電壓的參考方向與回路“繞行方向”的關系（是相同，還是相反）；各電壓值的正、負，反映了該電壓的實際方向與參考方向的關系（是相同，還是相反）。通常規定，對參考方向與回路“繞行方向”相同的電壓取正號，對參考方向與回路“繞行方向”相反的電壓取負號?；芈贰袄@行方向”是任意選定的，通常在回路中以虛線表示。

在圖1-23中，由元件（1，3，4，6）構成的回路指定繞行方向如圖中所示。對該回路列寫KVL方程，有

-u₁+u₃+u₆-u₄=0

由上式可知：

u₆=u₁-u₃+u₄

上式說明，對于節點b、c來說，不論是沿著由元件6構成的路徑，還是沿著由元件（1，3，4）構成的路徑，節點間的電壓值是相等的。KVL實質上是電壓與路徑無關這一性質的具體反映。

KVL通常應用于回路，但對于一段不閉合電路也可以應用。如圖1-24所示，設a、b端子間電壓為u_ab，對于由a、b端子以及元件（1，2，3）所構成的一段不閉合路徑，按圖示繞行方向應用KVL，可得

u₁+u₂-u₃-u_ab=0

進一步求得：

u_ab=u₁+u₂-u₃

上式說明：電路中任意兩點之間的電壓等于由起點到終點沿途各電壓的代數和，電壓方向與路徑方向（由起點到終點的方向）一致時為正，相反取負。

基爾霍夫定律僅與元件的互相連接有關，與元件的性質無關。因此，無論元件是線性的還是非線性的，是時變的還是時不變的，基爾霍夫定律對于集總電路是普遍適用的。

利用KCL和KVL求解電路時，應對電路中的各節點和支路編號，并指定回路的繞行方向，同時指定各支路電流和支路電壓的參考方向。一般兩者取關聯參考方向。

【例1-4】如圖1-25所示，R₁=2Ω，R₂=3Ω，R₃=2Ω，u_s1=4V，u_s2=6V，求支路電流i₁、i₂和i₃。

解：各支路電流和電壓的參考方向如圖中所示。求解時，除了需要應用KCL和KVL外，還要用到元件的VCR。對節點①應用KCL，有

i₁+i₂-i₃=0

對于回路Ⅰ和Ⅱ，按圖示繞行方向分別列寫KVL方程，有

回路Ⅰ：-u_s1+u₁+u₃=0

回路Ⅱ：u_s2-u₃-u₂=0

由元件的VCR可知：u₁=R₁i₁，u₂=R₂i₂，u₃=R₃i₃，分別代入回路Ⅰ和Ⅱ的KVL方程，有

回路Ⅰ：-u_s1+R₁i₁+R₃i₃=0

回路Ⅱ：u_s2-R₃i₃-R₂i₂=0

將各元件參數值代入，并與KCL方程聯立，有

解得：i₁=0.5（A），i₂=1（A），i₃=1.5（A）。