2.1　粉體的幾何性能

粉體顆粒是構(gòu)成粉體的基本單位。粉體的諸多性質(zhì)都由顆粒的大小、形狀及分布狀態(tài)所決定。顆粒的粒徑（或粒度）是表征粉體所占空間范圍的代表性尺寸。單個(gè)顆粒，常用粒徑來(lái)表示幾何尺寸的大小；對(duì)顆粒群，可用平均粒徑、比表面積等表示。絕大多數(shù)顆粒群不可能是由同一粒徑的粒子所組成的單分散系統(tǒng)，而是由不同粒度的顆粒組成的多分散系統(tǒng)。為此，對(duì)于顆粒群最重要的粒度特征是平均粒度和粒度分布。

2.1.1　單顆粒粒徑大小的表示方法

球形顆粒的大小可用直徑表示，立方體顆粒可用其棱長(zhǎng)來(lái)表示，其他形狀規(guī)則的顆粒可用適當(dāng)?shù)某叽鐏?lái)表示。有些形狀規(guī)則的顆粒可能需要一個(gè)以上的尺寸來(lái)表示其大小，如錐體需要用直徑和高度表示，長(zhǎng)方體需用長(zhǎng)、寬、高來(lái)表示。

真正由規(guī)則球形顆粒構(gòu)成的粉體顆粒并不多。對(duì)于不規(guī)則的非球形顆粒，是利用測(cè)定某些與顆粒大小有關(guān)的性質(zhì)推導(dǎo)而來(lái)，并使之與線性量綱有關(guān)。常用如下方式來(lái)定義它們的大小和粒徑。

2.1.1.1　三軸徑

設(shè)一個(gè)顆粒以最大穩(wěn)定度置于一個(gè)水平面上，此時(shí)顆粒的投影如圖2-1所示。以顆粒的長(zhǎng)度l、寬度b、高度h定義的粒度平均值稱為三軸徑。下面是幾種不同意義的三軸徑的計(jì)算式。

算術(shù)三軸徑：　d_3a1=　　（2-1）

調(diào)和三軸徑：　　　　　　　　d_3a2=　　（2-2）

幾何三軸徑：　　　　　　　　　d_3a3=　　（2-3）

表面幾何三軸徑：　　　　　d_3a4=　　（2-4）

2.1.1.2　統(tǒng)計(jì)平均徑

統(tǒng)計(jì)平均徑是顯微鏡測(cè)定的一個(gè)術(shù)語(yǔ)。顯微鏡的線性目鏡測(cè)微標(biāo)尺如游絲測(cè)微標(biāo)尺，將顆粒的投影面積分成面積大致相等的兩部分。這個(gè)分界線在顆粒投影輪廓上截取的長(zhǎng)度，稱為“馬丁直徑”d_m。沿一定方向測(cè)量顆粒投影輪廓的兩端相切的切線間的垂直距離，在一個(gè)固定方向上的投影長(zhǎng)度，稱為“弗雷特直徑”d_f。如圖2-2所示。

顯然，在顯微鏡下，一個(gè)不規(guī)則的顆粒的粒徑d_m和d_f的大小均與顆粒取向有關(guān)。然而，當(dāng)測(cè)量的顆粒數(shù)目很多時(shí)，因取向所引起的偏差大部分可以互相抵消，故所得到的統(tǒng)計(jì)平均粒徑的平均值，還是能夠比較準(zhǔn)確地反映出了顆粒的真實(shí)大小。

還有一種表示顆粒統(tǒng)計(jì)平均粒徑的方式，是用一個(gè)與顆粒投影面積大致相等的圓的直徑來(lái)表示的，一般稱為投影直徑d_p。為了測(cè)定顆粒直徑，在顯微鏡目鏡下的聚焦平面上，放置一塊用玻璃板制成的量板，以取代線性目鏡測(cè)微標(biāo)尺。這種量板稱為“帕特森量板”，如圖2-3所示。量板上刻有直徑由小到大排列的10個(gè)暗的和10個(gè)明的圓圈，其上的數(shù)字表示各圓圈的相對(duì)直徑。利用顯微鏡物鏡測(cè)微標(biāo)尺，可以確定最小的那個(gè)圓圈所代表的直徑大小，從而可以計(jì)算出其余各圓圈所代表的顆粒尺寸。量板上的長(zhǎng)方形廓出了一部分待測(cè)的顆粒，將各個(gè)顆粒的投影面積與相應(yīng)的圓圈相比較，就得出各個(gè)顆粒的投影直徑d_p。這種方式簡(jiǎn)單、快速，但準(zhǔn)確性較差。

2.1.1.3　當(dāng)量直徑

“當(dāng)量直徑”是利用測(cè)定某些與顆粒大小有關(guān)的性質(zhì)推導(dǎo)而來(lái)，并使之與線性量綱有關(guān)。用得最多的是“球當(dāng)量徑”，如圖2-4所示。假如某棱長(zhǎng)為1的立方體，其體積等于直徑為1.24的圓球體積，則1.24就是該顆粒的等體積球當(dāng)量直徑。類似地，還有等表面積球當(dāng)量徑。

從幾何角度來(lái)看，球是最容易處理的，以球?yàn)榛A(chǔ)，將不規(guī)則的顆粒看作相當(dāng)?shù)那颍c顆粒具有相同體積的球直徑稱為等體積球當(dāng)量徑，計(jì)算公式：

d_V=　　（2-5）

與顆粒具有相同表面積的球直徑稱為等表面積球當(dāng)量徑，計(jì)算公式：

d_S=　　（2-6）

與顆粒具有相同比表面積的球直徑稱為等比表面積球當(dāng)量徑，計(jì)算公式：

　　（2-7）

對(duì)于薄片狀的二維顆粒，常用與圓形顆粒相類比的方法，所得到的粒徑稱為投影圓當(dāng)量徑，常用的有等投影面積圓當(dāng)量徑和等周長(zhǎng)圓當(dāng)量徑。與顆粒具有相同投影面積的圓直徑稱為等面積圓當(dāng)量徑，計(jì)算公式：

d_S=　　（2-8）

與顆粒具有相同投影周長(zhǎng)的圓直徑稱為等周長(zhǎng)圓當(dāng)量徑，計(jì)算公式：

d_S=　　（2-9）

2.1.2　顆粒形狀

絕大多數(shù)粉體顆粒都不是球形對(duì)稱的，顆粒的形狀影響粉體的流動(dòng)性、包裝性能、顆粒與流體相互作用以及涂料的覆蓋能力等性能。所以嚴(yán)格地說(shuō)，所測(cè)得的粒徑，只是一種定性的表示。如果除了粒徑大小外，還能給出顆粒形狀的某一指標(biāo)，那么就能較全面地反映出顆粒的真實(shí)形象。常用各種形狀因數(shù)來(lái)表示顆粒的形狀特征。

2.1.2.1　顆粒的扁平度和伸長(zhǎng)度

一個(gè)不規(guī)則的顆粒放在一平面上（例如，放在顯微鏡的載玻片上），一般的情形是顆粒的最大投影面與支承平面相黏合。此時(shí)，顆粒具有最大的穩(wěn)定度。如圖2-1所示，扁平度為短徑b與厚度h之比，伸長(zhǎng)度為長(zhǎng)徑l與短徑b之比，計(jì)算公式：

m=　　（2-10）

n=　　（2-11）

2.1.2.2　表面積形狀因數(shù)和體積形狀因數(shù)

不管顆粒形狀如何，只要它是沒(méi)有孔隙的，它的表面積就一定正比于顆粒的某一特征尺寸的平方，其體積正比于這一尺寸的立方。如果用d代表這一特征尺寸，那么有：

表面積形狀因數(shù)：　　　　　φ_S==　　（2-12）

體積形狀因數(shù)：　　　　　　φ_V==　　（2-13）

φ_S和φ_V分別稱為顆粒的表面積形狀因數(shù)和體積形狀因數(shù)。顯然，對(duì)于球形對(duì)稱顆粒φ_S=π、φ_V=。各種不規(guī)則形狀的顆粒，其φ_S和φ_V值如表2-1所示。

2.1.2.3　球形度?_c

球形度?_c是一個(gè)應(yīng)用較廣泛的形狀因數(shù)，其定義是：一個(gè)與待測(cè)顆粒體積相等的球形顆粒的表面積與該顆粒的表面積之比。

表2-2為理論計(jì)算的一部分形狀規(guī)則的顆粒的球形度值和少數(shù)幾種物料的實(shí)測(cè)球形度值。

2.1.3　顆粒群的平均粒徑

在粉體粒度的測(cè)定中，采用各式各樣的平均粒徑，來(lái)定量地表達(dá)顆粒群的粒度大小。本節(jié)簡(jiǎn)單介紹一些在工程技術(shù)上經(jīng)常采用的平均粒徑。設(shè)：

顆粒群粒徑分別為d₁、 d₂、d₃、d₄、…、d_i、…、d_n；

相對(duì)應(yīng)的顆粒個(gè)數(shù)為n₁、n₂、n₃、n₄、…、n_i、…、n_n；總個(gè)數(shù)N=∑n_i；

相對(duì)應(yīng)的顆粒質(zhì)量為w₁、w₂、w₃、w₄、…、w_i、…、w_n，總質(zhì)量W=∑w_i。

以顆粒個(gè)數(shù)為基準(zhǔn)和質(zhì)量為基準(zhǔn)的平均粒徑計(jì)算公式如下。

個(gè)數(shù)長(zhǎng)度平均徑：

D_nL=　　（2-14）

D_nL=　　（2-15）

長(zhǎng)度表面積平均徑：

D_LS=　　（2-16）

D_LS=　　（2-17）

表面積體積平均徑

D_SV=　　（2-18）

D_SV=　　（2-19）

體積四次矩平均徑

D_Vm=　　（2-20）

D_Vm=　　（2-21）

個(gè)數(shù)表面積平均徑

D_nS=　　（2-22）

D_nS=　　（2-23）

個(gè)數(shù)體積平均徑

D_nV=　　（2-24）

D_nV=　　（2-25）

長(zhǎng)度體積平均徑

D_LV=　　（2-26）

D_LS=　　（2-27）

平均粒徑表達(dá)式的通式歸納如下。

以個(gè)數(shù)為基準(zhǔn)：

D=　　（2-28）

以質(zhì)量為基準(zhǔn)：

D=　　（2-29）

在工程技術(shù)上，最常用的平均粒徑是D_nL和D_SV。前者主要用光學(xué)顯微鏡和電子顯微鏡測(cè)得，后者則主要用比表面積測(cè)定儀測(cè)得。同一種粉體物料，各種平均粒徑的大小，有時(shí)相差很大。

2.1.4　顆粒群的粒度分布

本節(jié)介紹如何用粒度分布的概念，來(lái)表征一堆多分散體的粉體物料的粒度。實(shí)踐證明，千奇百態(tài)的多分散體，其顆粒大小服從統(tǒng)計(jì)學(xué)規(guī)律，具有明顯的統(tǒng)計(jì)效果。如果將這種物料的粒徑看成是連續(xù)的隨機(jī)變量，那么，從一堆粉體中按一定方式取出一個(gè)分析樣品，只要這個(gè)樣品的量足夠大，完全能夠用數(shù)理統(tǒng)計(jì)的方法，通過(guò)研究樣本的各種粒徑大小的分布情況，來(lái)推斷出總體的粒度分布。有了粒度分布數(shù)據(jù)，便不難求出這種粉體的某些特征值，例如平均粒徑、粒徑的分布寬窄程度和粒度分布的標(biāo)準(zhǔn)偏差等，從而可以對(duì)成品粒度進(jìn)行評(píng)價(jià)。

2.1.4.1　粒度的頻率分布

在粉體樣品中，某一粒度大小（用D_p表示）或某一粒度大小范圍內(nèi)（用ΔD_p表示）的顆粒（與之相對(duì)應(yīng)的顆粒個(gè)數(shù)為n_p）在樣品中出現(xiàn)的百分含量（%），即為頻率，用f（D_p）或f（ΔD_p）表示。若樣品中的顆粒總數(shù)用N表示，則有如下關(guān)系：

f（D_p）=×100%　　（2-30）

或　　　　　　　　 　　f（ΔD_p）=×100%　　（2-31）

這種頻率與顆粒大小的關(guān)系，稱為頻率分布。

例2-1：設(shè)用顯微鏡觀察300個(gè)顆粒的粉體樣品。經(jīng)測(cè)定，最小顆粒的直徑為1.5μm，最大顆粒為12.2μm。將被測(cè)定出來(lái)的顆粒按由小到大的順序以適當(dāng)?shù)膮^(qū)間加以分組，組數(shù)用h來(lái)表示，一般多取10～25組。小于10組，數(shù)據(jù)的準(zhǔn)確性大大降低；大于25組，數(shù)據(jù)處理的過(guò)程又過(guò)于冗長(zhǎng)。取h=12。區(qū)間的范圍稱為組距，用ΔD_p表示。設(shè)ΔD_p=1μm。每一個(gè)區(qū)間的中點(diǎn)，稱為組中值，用d_i表示。落在每一區(qū)間的顆粒數(shù)除以N，便是f（ΔD_p）。將測(cè)量的數(shù)據(jù)加以整理，結(jié)果見(jiàn)表2-3。

這種頻率分布數(shù)據(jù)，可用一種圖形形象地表示出來(lái)，這種圖形稱為直方圖。根據(jù)表2-3的數(shù)據(jù)繪制的直方圖如圖2-5所示。每一個(gè)直方圖的底邊長(zhǎng)，就是組距ΔD_p；高度即為頻率；底邊的中點(diǎn)即為組中值d_i。

如果將各直方圖回歸成一條光滑的曲線，便形成頻率分布曲線（見(jiàn)圖2-5）。工程上往往采用分布曲線的形式來(lái)表示粒度分布。

如果進(jìn)而能用某種數(shù)學(xué)解析式來(lái)表示這種頻率分布曲線，則可以得到相應(yīng)的分布函數(shù)式，記為f（D_p）。頻率分布曲線與橫坐標(biāo)軸圍成的面積為：

f（D_p）dD_p=100%　　（2-32）

應(yīng)當(dāng)指出，粒度的頻率分布的縱坐標(biāo)，不限于用顆粒個(gè)數(shù)表示（當(dāng)然，對(duì)于顯微鏡觀測(cè)，因?yàn)榭梢詳?shù)出顆粒個(gè)數(shù)，故用顆粒的個(gè)數(shù)表示很方便），也可以使用顆粒質(zhì)量表示。這時(shí)所得到的分布，稱為質(zhì)量粒徑分布。

此外，粒徑分組的組距，不一定非為等組距不可，完全可以采用不等組距。這樣，粒度的直方圖分布，又可以分為等組距和不等組距兩種。

2.1.4.2　粒度的累積分布

將顆粒大小的頻率分布按一定方式累積，便得到相應(yīng)的累積分布。它可以用累積直方圖的形式表示，但更多的是用累積曲線表示。一般有兩種累積方式：一是按粒徑從小到大進(jìn)行累積，稱為篩下累積（用“-”號(hào)表示）；另一種是從大到小進(jìn)行累積，稱為篩上累積（用“+”號(hào)表示）。前者所得到的累積分布表示小于某一粒徑的顆粒數(shù)（或顆粒質(zhì)量）的百分?jǐn)?shù)，而后者則表示大于某一粒徑的顆粒數(shù)（或顆粒質(zhì)量）的百分?jǐn)?shù)。篩下累積分布常用D（D_p）表示，篩上累積分布常用R（D_p）表示。

將表2-3的數(shù)據(jù)進(jìn)行累積處理后，便得到表2-4。圖2-6便是根據(jù)表2-4繪制的累積直方圖和兩種累積曲線。

由表2-4中篩上和篩下分布中的數(shù)據(jù)和圖2-6中的篩上和篩下兩條分布曲線可以看出有這樣一些關(guān)系：

D（D_p）+R（D_p）=100%　　（2-33）

　　（2-34）

較之頻率分布，累積分布更有用。許多粒度測(cè)定技術(shù)，如篩析法、重力沉降法、離心沉降法等，所得的分析數(shù)據(jù)，都是以累積分布顯示出來(lái)的。它的優(yōu)點(diǎn)是消除了直徑的分組，特別適用于確定中位數(shù)粒徑等。

2.1.4.3　頻率分布和累積分布的關(guān)系

頻率分布f（D_p）和累積分布D（D_p）或R（D_p）之間的關(guān)系，是微分和積分的關(guān)系：

　　（2-35）

因此，f（D_p）又稱為顆粒粒度分布微分函數(shù)，而D（D_p）或R（D_p）又稱為顆粒粒度分布積分函數(shù)。

2.1.4.4　表征粒度分布的特征參數(shù)

（1）中位粒徑D₅₀　所謂中位粒徑D₅₀，乃是在粉體物料的樣品中，將樣品的個(gè)數(shù)（或質(zhì)量）分成相等兩部分的顆粒粒徑。如圖2-6所示。根據(jù)式（2-33）有：D（D₅₀）=R（D₅₀）=50%。這樣，若已知粒度的累積頻率分布，很容易求出該分布的中位粒徑。

（2）最頻粒徑　最頻粒徑以D_mo表示。在頻率分布坐標(biāo)圖上，縱坐標(biāo)最大值所對(duì)應(yīng)的粒徑，便是最頻粒徑，即在顆粒群中個(gè)數(shù)或質(zhì)量出現(xiàn)概率最大的顆粒粒徑。如果某顆粒群的頻率分布式f（D_p）已知，則令f（D_p）的一階導(dǎo)數(shù)為零，

便可求出D_mo；同樣，若D（D_p）或R（D_p）為已知，則令其二階導(dǎo)數(shù)等于零，也可求出D_mo。

（3） 標(biāo)準(zhǔn)偏差　標(biāo)準(zhǔn)偏差以σ表示，幾何標(biāo)準(zhǔn)偏差以σ_g表示。它是最常采用的表示粒度頻率分布的離散程度的參數(shù)，其值越小，說(shuō)明分布越集中。對(duì)于頻率分布，σ與σ_g的計(jì)算公式如下：

σ=　　（2-36）

σ_g=　　（2-37）

如圖2-7所示，雖然個(gè)數(shù)平均粒徑==D_nL（C），但因σ_A<σ_B<σ_C，故曲線A的分布最窄，C分布最寬。