5.2　課后習題詳解

一、習題

1．在簡單回歸模型（5.16）中，我們在前4個高斯-馬爾可夫假定下證明了形如式（5.17）的估計量是斜率β₁的一致估計量。給定這樣一個估計量，定義β₀的一個估計量為

證明。

證明：簡單回歸模型為：y＝β₀＋β₁x＋u，則其期望值是：E（y）＝β₀＋β₁E（x）＋E（u） ，或μ_y＝β₀＋β₁μ_x。因為E（u）＝0，則μ_y＝E（y），μ_x＝E（x₁）。因此β₀＝μ_y－β₁μ_x，則，現在，可得：

根據大數定律可知：，，因此。

2．數據集SMOKE.RAW包含美國成人個人隨機樣本在抽煙行為和其他變量方面的信息。變量cigs為（平均）每天抽煙的數量。你是否認為在美國這個總體中，cigs具有正態分布？試做解釋。

答：在美國這個總體中，cigs不具有正態分布。大多數人不抽煙，因此對一半以上的美國人而言，cigs＝0。正態分布隨機變量的概率大于零并沒有特殊的意義。另外，cigs的分布是左偏的，而正態分布隨機變量是對稱的。

3．假設模型pctstck＝β₀＋β₁funds＋β₂risktol＋u，滿足前4個高斯-馬爾可夫假定，其中，pctstck表示工人養老金投資于股票市場的百分比，funds表示工人可以選擇的共同基金的個數，而risktol表示對風險承受能力的某種度量（risktol越大，則表明這個人對風險的承受能力越強）。如果funds和risktol正相關，pctstck對funds簡單回歸的斜率系數有怎樣的不一致性？

答：對風險的承受能力越強，就更愿意在資本市場上投資，因此β₂＞0。假定可供選擇的共同基金的個數與個人承受風險的能力是正相關的，使用公式5.5，δ₁＞0：plim（β₁）＝β₁＋β₂δ₁＞β₁，因此有一個正的不一致性（漸進偏誤）。這個結論是有意義的，如果省略個人對風險的承受能力這一變量，而它與可選擇的共同基金個數相關，因此估計出來的funds對pctstck的影響實際上包括了risktol對pctstck的影響。

4．在滿足假定MLR.1～MLR.4的簡單回歸中，我們證明了斜率估計量是β₁的一致估計。

利用證明[你在使用β₀＝E（y）－β₁E（X₁）的同時，還需要使用的一致性和大數定律。

證明：簡單模型為：y＝β₀＋β₁x＋u，期望值是E（y）＝β₀＋β₁E（x）＋E（u），或μ_y＝β₀＋β₁μ_x。因為E（u）＝0，則μ_y＝E（y），μ_x＝E（x）。因此β₀＝μ_y－β₁μ_x，則，根據大數定律

又

則對等式兩邊同時取概率極限得：

二、計算機習題

1．本題使用WAGE1.RAW中的數據。

（i）估計方程

wage＝β₀＋β₁educ＋β₂exper＋β₃tenure＋u

保留殘差并畫出其直方圖。

（ii）以log（wage）作為因變量重做第（i）部分。

（iii）你認為是水平值—水平值模型還是對數—水平值模型更接近于滿足假定MLR.6？

答：（i）估計模型為：

526個殘差，i＝1，2，…，526的直方圖如圖5-1所示，根據STATA手冊中的公式建議，對直方圖使用了27個排序格，正態分布是適合圖中描繪內容的數據分布。

圖5-1

（ii）log（wage）作為因變量的估計方程為：

從方程中推出的殘差直方圖，以及最合適的正態分布重疊圖如圖5-2所示：

圖5-2

（iii）log（wage）回歸的殘差看起來更符合正態分布，第（ii）部分的直方圖的分布密度比第（i）部分直方圖更好。wage殘差直方圖是顯著左偏的。在wage的回歸中，存在一些很大的殘差（甚至等于15），這是基于殘差平均值等于0的標準估計誤差（）。在對數—水平值模型中殘差不等于0并沒有造成太大的問題，因此，對數—水平值模型更接近于滿足假定MLR.6。

2．本題使用GPA2.RAW中的數據。

（i）使用所有4137個觀測，估計方程colgpa＝β₀＋β₁hsperc＋β₂sat＋u并以標準形式報告結論。

（ii）使用前2070個觀測再重新估計第（i）部分中的方程。

（iii）求出第（i）部分與第（ii）部分所得到的標準誤的比率。并將這個比率與式（5.10）中的結論相比較。

答：（i）4137個觀測值的回歸模型為：

（ii）使用開始的2070個觀測值的回歸模型為：

（iii）使用2070個觀測值的標準誤與使用4137個觀測值的比率為1.31。從5.10可知，，大于真實標準誤的比率。

3．在第4章的方程（4.42）中，計算檢驗motheduc和fatheduc是否聯合顯著的LM統計量。在求約束模型的殘差時一定要注意，估計約束模型所用的觀測，都包含于無約束模型所有變量可以使用的數據中。（參見例4.9。）

答：首先使用motheduc和fatheduc這兩個變量無損壞的1191個觀測值關于colgpa對cigs、parity和fatheduc回歸。此時得到殘差，再對cigs_i、parity_i、faminc_i、motheduc_i和fatheduc_i，也可以僅對motheduc_i和fatheduc_i無損壞的1191個觀測值進行回歸。回歸的判定系數為0.0024。在1191個觀測值的基礎上，卡方分布統計量為1.191×0.0024＝2.86。p值為0.239，距離F檢驗的p值0.242非常近。

4．有幾個統計量常被用于偵查潛在總體分布的非正態性。這里，我們將研究一個度量了分布偏斜程度的統計量。記得任何一個正態隨機變量都是圍繞著其均值對稱分布的。因此，如果我們把一個對稱分布的隨機變量標準化，比如z＝（y－μ_y）/σ_y，其中，μ_y＝E（y），σ_y＝sd（y），那么，Z的均值就是0，方差為1，而且E（Z³）＝0。給定一個數據樣本｛y_i：i＝1，…，n｝，假定樣本均值記為，樣本標準差記為，那么，利用

我們就可以把樣本中的y_i加以標準化。（我們忽視它們是基于樣本的估計值這一事實。）度量偏斜程度的一個樣本統計量就是，或者將其中的自由度n調整為（n－1）。如果Y在總體中服從正態分布，那么，對于樣本中標準化之后的數據而言，這個偏斜指標就不應該顯著異于0。

（i）首先使用數據集40IKSUBS.RAW中具有fsize＝1的那些觀測。求出inc的偏斜指標。同樣求出log（inc）的偏斜程度。哪個變量的偏斜程度更大，并因而看上去更不像正態分布？

（ii）然后使用BWGHT2.RAW。求出bwght和log（bwght）的偏斜指標。你得到什么結論？

（iii）評價如下命題：“對數變換總是使得一個恒為正的變量看上去更像正態分布。”

（iv）如果我們對回歸背景下的正態性假定感興趣，我們應該評價y和log（y）的無條件分布嗎？請給出你的解釋。

答：（i）inc的偏度為1.86。當使用log（inc）時，偏度為0.360，可知對數形式時偏度較小，這意味著其分布更接近正態分布。實際上，income的偏態分布是有據可查的。

（ii）bwght的偏度是－0.60，當采用log（bwght）時，偏度為－2.95。在這個案例中，使用自然對數之后偏度更大。

（iii）第（ii）問的案例已經明確地表明了這種狀態不一定總是正確的。采用自然對數變換可能引入偏態。從實證問題角度而言，對許多經濟變量尤其是以美元計的變量，采用對數形式通常都會有助于減少或消除偏態。但是它并不必然一定會消除。

（iv）為了進行回歸分析，應該評價條件分布，也就是說，y和log（y）在解釋變量x₁，…，x_k條件下的分布。如果均值分布如假定MLR.1和MLR.3提到一樣是線性的，這就相當于研究總體誤差u。實際上，這個問題中偏態的衡量常常適用于OLS回歸中的殘差分析。