2011年燕山大學理學院432統計學[專業碩士]考研真題及詳解

一、名詞解釋：（共25分，每小題5分）

1．統計指標

答：略。

2．指標體系

答：略。

3．標志

答：略。

4．調查單位

答：略。

5．整群隨機抽樣

答：略。

二．簡答：（55分）

1．你認為應該如何科學分組？（12分）

答：根據統計研究的目的和客觀現象的內在特點，按某個標志（或幾個標志）把被研究的總體劃分為若干個不同性質的組，稱為統計分組。

統計分組的關鍵在于分組標志的選擇。選擇什么樣標志就有什么樣的分組、什么樣的分組體系。分組標志作為現象總體劃分為各個不同性質的組的標準或根據，選擇得正確與否，關系到能否正確地反映總體的性質特征、實現統計研究的目的任務。

科學的分組應遵循兩個原則：

（1）必須符合“窮盡原則”，就是使總體中的每一個單位都應有組可歸，或者說各分組的空間足以容納總體的所有單位。

（2）必須遵守“互斥原則”，即總體任一單位都只能歸屬于一組，而不能同時或可能歸屬于幾個組。

（3）在進行離散變量組距分組時，習慣上規定“上組限不在內”，即當相鄰兩組的上下限重疊時，恰好等于某一組上限的變量值不算在本組內，而計算在下一組內。而對于連續變量，可以采取相鄰兩組組限重疊的方法，根據“上組限不在內”的規定解決不重的問題，也可以對一個組的上限值采用小數點的形式，小數點的位數根據所要求的精度具體確定。

2．什么是抽樣調查?抽樣調究主要適用的范圍有哪些？（13分）

答：抽樣調查是從全體被研究對象中，按照一定的方法抽取一部分對象作為代表進行調查分析，并由此推斷全體被研究對象狀況的一種調查方式。

抽樣調查的適用范圍主要有：

（1）對于無限總體，不可能進行全面調查，只能采用抽樣調查；

（2）對于有限總體，總體數目標較多，全面調查雖然有可能，但是比較困難；

（3）對于某些產品的檢驗具有破壞性，比如輪胎的里程試驗，不可能去毀壞所有的產品達到調查的目的，只能進行抽樣調查；

（4）對于一些沒必要進行全面調查的社會現象，可以采用抽樣調查；

（5）對普查資料進行必要的修正。由于普查涉及面廣，工作量大，容易產生登記誤差，即出現重復登記或遺漏現象。通常，可以在普查開始之后，作一次小規模的抽樣調查，將抽樣調查的結果同原來的普查資料進行核對，計算出差錯（重復或遺漏）比率，然后以此作為修訂系數，對普查資料進行必要的修正。在復查工作完畢之后，還可利用抽樣法對普查質量進行檢查。

3．統計推斷的兩個基本內容是什么?并作簡單介紹。（15分）

答：統計推斷的兩個基本內容是參數估計與假設檢驗：

（1）參數估計用樣本統計量去估計總體的參數。比如，用樣本均值估計總體均值，用樣本比例估計總體比例，用樣本方差估計總體方差，等等。如果將總體參數籠統地用一個符號來表示，而用于估計總體參數的統計量用表示，參數估計也就是如何用來估計。

參數估計主要有區間估計和點估計：點估計就是用樣本統計量的某個取值直接作為總體參數的估計值；區間估計是在點估計的基礎上，給出總體參數估計的一個區間范圍，該區間通常由樣本統計量加減估計誤差得到。區間估計是參數估計的主要內容，主要包括：

①總體均值的區間估計；②總體比例的區間估計；③總體方差的區間估計；④兩個總體均值之差的區間估計；⑤兩個總體比例之差的區間估計；⑥兩個總體方差比的區間估計。

（2）假設檢驗是統計推斷的另一基本內容。與參數估計不同，假設檢驗是先對總體參數提出一個假設值，然后利用樣本信息判斷這一假設是否成立。在假設檢驗中，首先需要提出兩種假設，即原假設和備擇假設，然后在原假設成立的基礎上，尋找合適的檢驗統計量，搜集證據，在給定的顯著性水平上，做出決策，判斷是拒絕或接受原假設。做出決策時可以根據P值或給定顯著性水平下的臨界值。假設檢驗分為單側檢驗和雙側檢驗。主要檢驗內容有：①總體均值的檢驗；②總體比率的檢驗；③總體方差的檢驗；④兩總體均值差的檢驗；⑤兩總體比率之差的檢驗；⑥兩總體方差比的檢驗。

參數估計和假設檢驗是統計推斷的兩個組成部分，它們都是利用樣本對總體進行某種推斷，然而推斷的角度不同。參數估計討論的是用樣本統計量估計總體參數的方法，總體參數在估計前是未知的。而在假設檢驗中，則是先對的值提出一個假設，然后利用樣本信息去檢驗這個假設是否成立。

4．回歸模型檢驗的種類有哪些?并簡單說明。（15分）

答：回歸模型檢驗的類型主要有：

（1）回歸系數的顯著性檢驗。對回歸系數顯著性檢驗的目的，是為了根據樣本回歸估計的結果對總體回歸函數的回歸系數的有關假設進行檢驗，以檢驗總體回歸系數是否等于某特定的數值。實際中主要是對回歸系數是否為0進行顯著性檢驗，以此來判斷自變量對因變量的影響是否顯著。檢驗時，采用t統計量，在給定的顯著性水平下，作出決策。

（2）回歸模型整體的顯著性檢驗。對一元線性回歸模型來說，回歸系數的檢驗與模型整體的檢驗是一致的，但對于多元線性回歸模型，由于模型中包含了多個自變量，它們聯合起來同因變量之間是否存在顯著的線性關系還需要進一步作出判斷，即應當對回歸系數進行整體檢驗，該檢驗在方差分析的基礎上利用F檢驗進行。

三．計算題：（共70分）

1．抽樣調查某市某農村10個家庭的人均收入數據分別為：1500、750、780、660、1080、850、960、2000、1250、1630元。分別求10個家庭人均收入的極差、中位數、下四分位數、四分位差。（20分）

答：首先將10個家庭的收入數據按照從小到大的順序排列，結果如下：

660，750，780，850，960，1080，1250，1500，1630，2000

（1）

（2）

（3）下四分位數的位置為：

故

（4）上四分位數的位置為：

故上四分位數為：

2．為了研究某種商品的供應量Y和價格X之間的關系，考察了在給定時期內的價格和供應量的數據，資料如下表：

以供應量為因變量，價格為自變量，建立一元回歸模型進行統計分析。

要求：

（1）擬合樣本回歸函數；

（2）計算相關系數；

（3）計算可決系數；

（4）對X的回歸系數進行顯著水平為5%的顯著性檢驗（t檢驗），已知計算出的t值t＝15.809，請作出顯著性水平檢驗的判斷；

（5）假定該商品的價格為14，利用擬合的回歸方程，預測商品的供應量。（已知：t_0.05（8）＝1.8595，t_0.05（7）＝1.8946，t_0.05（6）＝1.9432，t_0.025（8）＝2.3060，t_0.025（7）＝2.3646，t_0.025（6）＝2.4469。）要求保留3位小數。（30分）

答：（1）設樣本回歸函數為：

根據最小二乘估計原理可得：

代入可得：

所以線性回歸方程為：

（2）樣本相關系數為：

代入數據可得：

（3）樣本可決系數為：

（4）

故拒絕的原假設，認為回歸系數是顯著的。

（5）當商品價格為14元時，代入回歸方程可得商品的供應量的預測值為：

3．設二維隨機變量（X，Y）的概率密度為

（1）求X與Y是否獨立?

（2）求X和Y的相關系數，說明X與Y是否相關（20分）

答：（1）首先求出X與Y的邊緣概率密度函數。如下：

由于

所以X與Y不獨立。

（2）

同理，，所以

所以X與Y不相關。