第1章　描述統(tǒng)計(jì)

1.1　考點(diǎn)歸納

一、統(tǒng)計(jì)圖表

1．統(tǒng)計(jì)圖

（1）概念：統(tǒng)計(jì)圖是用圖形的形式呈現(xiàn)研究的數(shù)量化結(jié)果的一種形式。

（2）組成及特點(diǎn)如下：

①統(tǒng)計(jì)圖一般由圖題、變量說明、坐標(biāo)軸及單位、圖形4個(gè)部分組成。常見的統(tǒng)計(jì)圖有線性圖、條形圖、圓形（扇形）圖和組織圖等。

②統(tǒng)計(jì)圖比統(tǒng)計(jì)表更直觀，更易于理解。但是，統(tǒng)計(jì)圖和統(tǒng)計(jì)表一樣，不能代替研究報(bào)告中的有關(guān)文字?jǐn)⑹觯荒苡脕韽?qiáng)調(diào)某些重要的數(shù)據(jù)關(guān)系。

③不同的統(tǒng)計(jì)圖表達(dá)的效果是有區(qū)別的，即使選用同一種統(tǒng)計(jì)圖，繪制方法的不同（如采用不同的軸單位尺度）也可能造成表達(dá)效果的差異。

2．統(tǒng)計(jì)表

（1）概念：統(tǒng)計(jì)表是用表格的形式呈現(xiàn)研究的數(shù)量化結(jié)果的方式之一。

（2）組成及特點(diǎn)如下：

①一個(gè)統(tǒng)計(jì)表通常包括表題、表體和表注三部分。表題是統(tǒng)計(jì)表的標(biāo)題。表體是統(tǒng)計(jì)表的主體內(nèi)容，包括研究的對象或特征，研究對象或特征的指標(biāo)、類別、數(shù)據(jù)結(jié)果等內(nèi)容。表注是對統(tǒng)計(jì)表中有關(guān)內(nèi)容的說明，包括對表的來源、用途等作的注的說明。有時(shí)可以說明統(tǒng)計(jì)推論的結(jié)果和結(jié)論。

②研究的對象或特征名稱一般列在表的左邊一列；研究對象或特征的指標(biāo)、類別名稱一般列在表的上邊一欄；同一縱列上的數(shù)據(jù)所保留的小數(shù)位要一致，位數(shù)要對齊。

③統(tǒng)計(jì)表的類型主要包括原始數(shù)據(jù)表、次數(shù)分布表和分析結(jié)果表等。

二、集中量數(shù)

1．算術(shù)平均數(shù)

（1）概念：算術(shù)平均數(shù)是所有觀察值的總和除以總頻數(shù)所得之商，簡稱為平均數(shù)或均數(shù)。它是一種集中量數(shù)，是某一特質(zhì)“真值”的漸進(jìn)、最佳的估計(jì)值。

表達(dá)公式：

式中N為數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)，X_i為每一個(gè)數(shù)據(jù)，∑為相加求和。

（2）算術(shù)平均數(shù)的優(yōu)點(diǎn)是：反應(yīng)靈敏；計(jì)算方便；適合代數(shù)運(yùn)算；受抽樣變動(dòng)的影響較小。具體表現(xiàn)在以下幾個(gè)方面：

①當(dāng)只知一組觀察值的總和及總頻數(shù)就可以求出算術(shù)平均數(shù)；

②用加權(quán)法可以求出幾個(gè)平均數(shù)的總平均數(shù)；

③用樣本數(shù)據(jù)推斷總體集中量時(shí)，算術(shù)平均數(shù)最接近于總體集中量的真值，它是總體平均數(shù)的最好估計(jì)值；

④在計(jì)算方差、標(biāo)準(zhǔn)差、相關(guān)系數(shù)以及進(jìn)行統(tǒng)計(jì)推斷時(shí)，都要用到它。

（3）算術(shù)平均數(shù)的缺點(diǎn)：易受兩極端數(shù)值（極大或極小）的影響并且當(dāng)一組數(shù)據(jù)中某個(gè)數(shù)值的大小不夠確切時(shí)就無法計(jì)算其算術(shù)平均數(shù)。

（4）算術(shù)平均數(shù)的條件要求如下：

①數(shù)據(jù)必須是同質(zhì)的，即同一種測量工具所測量的某一特質(zhì)；

②數(shù)據(jù)取值必須明確；

③數(shù)據(jù)離散不能太大。

（5）算術(shù)平均數(shù)的特點(diǎn)：

①在一組數(shù)據(jù)中每個(gè)變量與平均數(shù)之差（稱離均差）的總和等于零；

②在一組數(shù)據(jù)中，每個(gè)數(shù)都加上一常數(shù)C，所得的平均數(shù)為原來的平均數(shù)加常數(shù)C；

③在一組數(shù)據(jù)中，每個(gè)數(shù)據(jù)都乘以一個(gè)常數(shù)C，所得的平均數(shù)為原來的平均數(shù)乘以常數(shù)C。

（6）應(yīng)用平均數(shù)的原則

①同質(zhì)性原則，即使用同一種觀測手段，采用相同的觀測標(biāo)準(zhǔn)，能反映某一問題的同一方面特質(zhì)的數(shù)據(jù)；

②平均數(shù)和個(gè)體數(shù)值相結(jié)合的原則；

③平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差、方差相結(jié)合原則。

2．中數(shù)（Median，符號為M_d）

（1）概念：中數(shù)，又稱中位數(shù)，中點(diǎn)數(shù)，中值，是位于依一定順序排列的一組數(shù)據(jù)中央位置的數(shù)值，在這一數(shù)值上、下各有一半頻數(shù)分布著。即在這組數(shù)據(jù)中，有一半的數(shù)據(jù)比它大，有一半的數(shù)據(jù)比它小。這個(gè)數(shù)可能是數(shù)據(jù)中的某一個(gè)，也可能根本不是原有的數(shù)。

（2）中數(shù)的計(jì)算方法

①原始數(shù)值計(jì)算方法

將一組原始數(shù)據(jù)依大小順序排列后，若總頻數(shù)為奇數(shù)，就以位于中央的數(shù)據(jù)作為中位數(shù)；若總頻數(shù)為偶數(shù)，則以最中間的兩個(gè)數(shù)據(jù)的算術(shù)平均數(shù)作為中位數(shù)。

②頻數(shù)分布表計(jì)算法

若一組原始數(shù)據(jù)已經(jīng)編成了頻數(shù)分布表，可用內(nèi)插法，通過頻數(shù)分布表計(jì)算中位數(shù)。

（3）中位數(shù)雖然也具備一個(gè)良好的集中量所應(yīng)具備的某些條件，例如比較嚴(yán)格確定，簡明易懂，計(jì)算簡便，受抽樣變動(dòng)影響較小，但是它不適合進(jìn)一步的代數(shù)運(yùn)算。它適用于以下幾種情況：

①一組數(shù)據(jù)中有特大或特小兩極端數(shù)值時(shí)；

②一組數(shù)據(jù)中有個(gè)別數(shù)據(jù)不確切時(shí)；

③資料屬于等級性質(zhì)時(shí)；

④當(dāng)需要快速估計(jì)一組數(shù)據(jù)的代表值時(shí)。

3．眾數(shù)（Mode，簡稱M_o）

（1）概念：眾數(shù)又稱為范數(shù)，密集數(shù)，是指在次數(shù)分布中出現(xiàn)次數(shù)最多的那個(gè)數(shù)的數(shù)值。它也是一種集中量數(shù)，也可用來代表一組數(shù)據(jù)的集中趨勢。

（2）計(jì)算眾數(shù)的方法

①直接觀察求眾數(shù)。直接觀察求眾數(shù)的方法很簡單，就是只憑觀察找出出現(xiàn)次數(shù)最多的那個(gè)數(shù)據(jù)就是眾數(shù)。數(shù)據(jù)整理成次數(shù)分布表后，觀察次數(shù)最多的那個(gè)分組區(qū)間的組中值為眾數(shù)。依據(jù)次數(shù)分組表計(jì)算眾數(shù)受分組的影響。

②用公式計(jì)算的眾數(shù)稱為數(shù)理眾數(shù)。當(dāng)次數(shù)分布曲線的形式已知時(shí)，可用積分的方法求眾數(shù)。這種方法較復(fù)雜，在心理與教育統(tǒng)計(jì)中很少應(yīng)用，而應(yīng)用較多的是皮爾遜經(jīng)驗(yàn)法和金氏插補(bǔ)法。

（3）眾數(shù)的意義與應(yīng)用

眾數(shù)的概念簡單明了，容易理解，但它不穩(wěn)定，受分組影響，亦受樣本變動(dòng)影響。較少受極端數(shù)目的影響，反應(yīng)不夠靈敏。眾數(shù)只是一個(gè)估計(jì)值。同時(shí)，眾數(shù)不能作進(jìn)一步代數(shù)運(yùn)算。所以眾數(shù)不是一個(gè)優(yōu)良的集中量數(shù)，應(yīng)用也不廣泛。

三、差異量數(shù)

1．離差與平均差

（1）離差表示每一個(gè)觀測值與平均數(shù)的距離大小，正負(fù)號說明了重量施于什么方向，離均差的總和為零，標(biāo)志著完全平衡。有時(shí)又稱離均差或偏差。

（2）平均差是次數(shù)分布中所有原始數(shù)據(jù)與平均數(shù)絕對離差的平均值。一般用符號A.D.或M.D.來表示。如果使用原始數(shù)據(jù)求平均差，使用下面的公式：

平均差是根據(jù)分布中每一個(gè)觀測值計(jì)算求得的，它較好地代表了數(shù)據(jù)分布的離散程度。然而，由于它在計(jì)算中要對離均差取絕對值，不利于進(jìn)一步做統(tǒng)計(jì)分析，應(yīng)用受到了限制，屬于一種低效差異量數(shù)，在統(tǒng)計(jì)實(shí)踐中不太常用。

2．方差與標(biāo)準(zhǔn)差

方差和標(biāo)準(zhǔn)差是最常用的差異量數(shù)。度量數(shù)據(jù)變異性即離散趨勢的統(tǒng)計(jì)量稱差異量數(shù)。標(biāo)準(zhǔn)差是方差的算術(shù)平方根。

（1）概念：方差，又稱變異數(shù)、均方。常用符號為：S2、SD2（樣本統(tǒng)計(jì)量），σ2（總體參數(shù)）。它是每個(gè)數(shù)據(jù)與該組數(shù)據(jù)平均數(shù)之差乘方后的均值，即離均差平方后的平均數(shù)。

標(biāo)準(zhǔn)差即方差的平方根，常用符號為：SD、S（樣本統(tǒng)計(jì)量），（總體參數(shù)）

用下列公式表示：

①方差：

②標(biāo)準(zhǔn)差：

（2）意義：方差和標(biāo)準(zhǔn)差適合于代數(shù)運(yùn)算方法，數(shù)值較穩(wěn)定且反應(yīng)靈敏，在計(jì)算中全部數(shù)據(jù)都參與運(yùn)算，是數(shù)據(jù)離散程度的最好的指標(biāo)。這也是標(biāo)準(zhǔn)差和方差優(yōu)于其他差異量數(shù)的特點(diǎn)。

標(biāo)準(zhǔn)差表示數(shù)據(jù)的分散程度，標(biāo)準(zhǔn)差大表示分散，標(biāo)準(zhǔn)差小表示相對集中。

①若一個(gè)班的分?jǐn)?shù)之標(biāo)準(zhǔn)差大，說明該班學(xué)習(xí)成績不齊，好的好，差的差。此時(shí)標(biāo)準(zhǔn)差小好，說明成績整齊。

②若一個(gè)老師所出的試卷，學(xué)生考完后標(biāo)準(zhǔn)大，說明這張?jiān)嚲沓龅煤茫巡煌瑢W(xué)生的水平區(qū)分開了。此時(shí)標(biāo)準(zhǔn)差小不好。

③同一測量的標(biāo)準(zhǔn)差大，說明誤差較大。

（3）標(biāo)準(zhǔn)差的特點(diǎn)：

①每一個(gè)觀測值都加一個(gè)相同常數(shù)C之后，計(jì)算得到的標(biāo)準(zhǔn)差等于原標(biāo)準(zhǔn)差；

②每個(gè)觀測值都乘以一個(gè)相同的常數(shù)C，則所得的標(biāo)準(zhǔn)差等于原標(biāo)準(zhǔn)差乘以這個(gè)常數(shù)；

③以上兩點(diǎn)相結(jié)合，每一個(gè)觀測值都乘以同一個(gè)常數(shù)C（C0），再加一個(gè)常數(shù)d，所得的標(biāo)準(zhǔn)差等于原標(biāo)準(zhǔn)差乘以這個(gè)常數(shù)C。

3．變異系數(shù)

（1）概念：變異系數(shù)，又稱差異系數(shù)、相對標(biāo)準(zhǔn)差等，它是一種相對差異量，用CV來表示，為標(biāo)準(zhǔn)差對平均數(shù)的百分比。

（2）表達(dá)公式：

（3）應(yīng)用

①同一團(tuán)體不同測量間變異的比較，例如相同班級不同科目考試成績之變異比較。

②不同團(tuán)體同一測量間變異的比較，例如不同年級同一種試卷成績變異大小的比較。

四、相對量數(shù)

1．百分位數(shù)

百分位數(shù)是相對于某一百分等級的分?jǐn)?shù)點(diǎn)。它是指量尺上的一個(gè)點(diǎn)，在此點(diǎn)以下，包括數(shù)據(jù)分布中全部數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)的一定百分比，第P百分位數(shù)就是指在其值為P的數(shù)據(jù)以下，包括分布中全部數(shù)據(jù)的百分之p，其符號是P_p，公式如下：

式中，P_p為所求的第P個(gè)百分位數(shù)；L_b為百分位數(shù)所在組的精確下限；f為百分位數(shù)所在組的次數(shù)；F_b為小于L_b的各組次數(shù)的和；N為總次數(shù)；i為組距。

2．百分等級

一個(gè)分?jǐn)?shù)的百分等級可定義為在常模團(tuán)體中低于該分?jǐn)?shù)的人數(shù)的百分比。百分等級指示個(gè)體在常模團(tuán)體中的相對位置，百分等級越低，個(gè)體所處的地位越低。百分等級是百分位數(shù)的逆運(yùn)算，當(dāng)已知原始分?jǐn)?shù)，求某一分?jǐn)?shù)在總體中所處的百分位置時(shí)，用百分等級，當(dāng)已知百分等級時(shí)，可以求得處于某一百分等級的原始分?jǐn)?shù)值。

百分等級的計(jì)算公式是：

式中，P_R為百分等級；X為給定的原始分?jǐn)?shù)；f為該分?jǐn)?shù)所在組的頻數(shù)；L_b為該分?jǐn)?shù)所在組的精確下限；F_b為小于L_b的各組次數(shù)的和；N為總次數(shù)；i為組距。

3．標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)

（1）概念：標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)又稱為基分?jǐn)?shù)或Z分?jǐn)?shù)，是以標(biāo)準(zhǔn)差為單位表示一個(gè)原始分?jǐn)?shù)在團(tuán)體中所處位置的相對位置量數(shù)。

（2）標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)可以通過線性轉(zhuǎn)換或者通過非線性轉(zhuǎn)換得到，由此可將標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)分為兩類：

①線性轉(zhuǎn)換的標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)

根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)的定義，可通過下式將原始分?jǐn)?shù)直接轉(zhuǎn)換成標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)：

a．總體

b．樣本

因?yàn)闃?biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)是從原始分?jǐn)?shù)（X）中減去一個(gè)恒定值（平均數(shù)）再除以一個(gè)恒定值（標(biāo)準(zhǔn)差S）得到的，所以這是一種線性轉(zhuǎn)換。有時(shí)也把線性轉(zhuǎn)換的標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)簡稱作標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)或Z分?jǐn)?shù)。

②常態(tài)化的標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)

當(dāng)原始分?jǐn)?shù)不是常態(tài)時(shí)，可先把原始分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化為百分等級，然后從正態(tài)曲線面積表中便可得到對應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)。由這種方式所得到的分?jǐn)?shù)就叫常態(tài)化的標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)。在將分?jǐn)?shù)常態(tài)化時(shí)有一個(gè)前提：只有所測特質(zhì)的分?jǐn)?shù)實(shí)際上應(yīng)該是常態(tài)分布，只是由于測驗(yàn)本身的缺陷或取樣誤差而使分布稍有偏斜時(shí)，才能計(jì)算常態(tài)化標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)。

（3）標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)的性質(zhì)

①Z分?jǐn)?shù)無實(shí)際單位，是以平均數(shù)為參照點(diǎn)，以標(biāo)準(zhǔn)差為單位的一個(gè)相對量。

②一組原始分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)換得到的Z分?jǐn)?shù)可以是正值，也可以是負(fù)值。凡小于平均數(shù)的原始分?jǐn)?shù)的Z值為負(fù)數(shù)，大于平均數(shù)的原始分?jǐn)?shù)的Z值為正數(shù)，等于平均數(shù)的原始分?jǐn)?shù)的Z值為零。所有原始分?jǐn)?shù)的Z分?jǐn)?shù)之和為零，Z分?jǐn)?shù)的平均數(shù)也為零。即，，根據(jù)求平均數(shù)及Z分?jǐn)?shù)的公式可以證明。

③一組原始數(shù)據(jù)中，各個(gè)Z分?jǐn)?shù)的標(biāo)準(zhǔn)差為1，即s_Z＝1。根據(jù)Z分?jǐn)?shù)的第二條性質(zhì)和標(biāo)準(zhǔn)差公式可以推證。

④若原始分?jǐn)?shù)呈正態(tài)分布，則轉(zhuǎn)換得到的所有Z分?jǐn)?shù)值的均值為0，標(biāo)準(zhǔn)差為1的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。

（4）標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)的優(yōu)點(diǎn)

①可比性。標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)以團(tuán)體平均分作為比較的基準(zhǔn)，以標(biāo)準(zhǔn)差為單位。因此不同性質(zhì)的成績，一經(jīng)轉(zhuǎn)換為標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)（均值為零，標(biāo)準(zhǔn)差為1），相當(dāng)于處在不同背景下的分?jǐn)?shù)，放在同一背景下去考慮，具有可比性。

②可加性。標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)是一個(gè)不受原始分?jǐn)?shù)單位影響的抽象化數(shù)值，能使不同性質(zhì)的原始分?jǐn)?shù)具有相同的參照點(diǎn)，因而可以相加。

③明確性。知道了某一被試的標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)，利用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)值表，可以知道該分?jǐn)?shù)在全體分?jǐn)?shù)中的位置，即百分等級，也就知道了該被試分?jǐn)?shù)在全體被試分?jǐn)?shù)中的地位。所以，標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)較原始分?jǐn)?shù)意義更為明確。

④穩(wěn)定性。原始分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)換為標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)后，規(guī)定標(biāo)準(zhǔn)差為1，保證了不同性質(zhì)的分?jǐn)?shù)在總分?jǐn)?shù)中的權(quán)重一樣。

（5）標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)的應(yīng)用

①用于比較幾個(gè)分屬性質(zhì)不同的觀測值在各自數(shù)據(jù)分布中相對位置的高低；

②計(jì)算不同質(zhì)的觀測值的總和或平均值，以表示在團(tuán)體中的相對位置；

③表示標(biāo)準(zhǔn)測驗(yàn)分?jǐn)?shù)。

五、相關(guān)量數(shù)

相關(guān)量數(shù)用于描述雙變量數(shù)據(jù)相互之間的關(guān)系，這兩個(gè)變量之間的關(guān)系不同于因果關(guān)系和共變關(guān)系，在相關(guān)關(guān)系中，兩個(gè)變量之間不能確定因果，并且不同時(shí)受第三因素的影響。統(tǒng)計(jì)學(xué)中所講的相關(guān)是指具有相關(guān)關(guān)系的不同現(xiàn)象之間的關(guān)系程度，前提是事物之間的這種聯(lián)系又不能直接做出因果關(guān)系的解釋。有時(shí)，相關(guān)被解釋為兩種特征相伴隨的變化。相關(guān)有三種：正相關(guān)、負(fù)相關(guān)和零相關(guān)，其變化范圍在－1至＋1之間。

1．積差相關(guān)

（1）概念：積差相關(guān)是英國統(tǒng)計(jì)學(xué)家皮爾遜于20世紀(jì)初提出的一種計(jì)算相關(guān)的方法，因而被稱為皮爾遜積差相關(guān)，適用于正態(tài)分布中的雙列變量，即用等距等比量表測得的數(shù)據(jù)。常用的是皮爾遜相關(guān)。

（2）計(jì)算公式如下：

①直接用原始數(shù)據(jù)計(jì)算的公式：

②運(yùn)用標(biāo)準(zhǔn)差與離均差的計(jì)算公式：

其中，X、Y為兩個(gè)變量的離均差，，；N為成對數(shù)據(jù)的數(shù)目；為X變量的標(biāo)準(zhǔn)差；為Y變量的標(biāo)準(zhǔn)差。

③應(yīng)用標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)計(jì)算積差相關(guān)系數(shù)的公式：

其中，Z_X為X變量的標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)；Z_Y為Y變量的標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)。

（3）積差相關(guān)系數(shù)適合的情況：

①兩列數(shù)據(jù)都是測量的數(shù)據(jù)，而且兩列變量各自總體的分布是正態(tài)的，即正態(tài)雙變量。這里只要求保證雙變量總體為正態(tài)分布，而對要計(jì)算相關(guān)系數(shù)的兩樣本的觀測數(shù)據(jù)并不一定要求正態(tài)分布。

②兩列變量之間的關(guān)系應(yīng)是直線性的。如果是非直線性的雙列變量，不能計(jì)算線性相關(guān)。判斷兩列變量之間的相關(guān)是否直線式，可以作相關(guān)散點(diǎn)圖進(jìn)行線性分析。

③實(shí)際測驗(yàn)中，計(jì)算信度涉及的積差相關(guān)時(shí)，分半的兩部分測驗(yàn)須滿足在平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差、分布形態(tài)、測題間相關(guān)、內(nèi)容、形式和題數(shù)都相似的假設(shè)條件。

（4）相關(guān)系數(shù)的合并

在心理與教育工作研究中，常遇到需將取自同一總體的幾個(gè)樣本的相關(guān)系數(shù)合成、求平均的相關(guān)系數(shù)這一問題，由于相關(guān)系數(shù)不是等距的尺度，因此，對其不能采用簡單合成的辦法，必須將其轉(zhuǎn)換成等距的尺度后再求平均，這樣方有意義。求平均的相關(guān)系數(shù)，一般采用Z-r轉(zhuǎn)換法。具體步驟如下：

①查費(fèi)舍Z-r轉(zhuǎn)換表，先將各樣本的r轉(zhuǎn)換成費(fèi)舍Z分?jǐn)?shù)

②求每一樣本的Z分?jǐn)?shù)之和

③求平均Z分?jǐn)?shù)，即

其中，Z_i由各樣本r_i查Z-r轉(zhuǎn)換表得到；n_i為各樣本的成對數(shù)目。

④再查費(fèi)舍Z-r轉(zhuǎn)換表，將轉(zhuǎn)換成相應(yīng)的r值，即平均的r。

2．等級相關(guān)

（1）等級相關(guān)方法

等級相關(guān)方法對變量的總體分布不作要求，故又稱這種相關(guān)法為非參數(shù)的相關(guān)方法。適用于等級變量和非正態(tài)分布的變量之間的相關(guān)分析。常用的等級相關(guān)是斯皮爾曼相關(guān)，也是線性相關(guān)。其公式為：

其中，N為等級個(gè)數(shù)，，指二列成對變量的等級差數(shù)。

（2）等級序數(shù)法

如果不用等級差數(shù)，可以直接用等級序數(shù)計(jì)算，可用下式：

其中，R_X與R_Y為兩列變量各自排列的等級序數(shù)。

具體的計(jì)算步驟：①賦予等級：②計(jì)算兩個(gè)變量每對數(shù)據(jù)所賦予的等級數(shù)之差D，及差數(shù)的平方之和；③將有關(guān)數(shù)據(jù)代入等級相關(guān)的計(jì)算公式。

3．肯德爾等級相關(guān)

（1）肯德爾等級相關(guān)方法有很多種，有適合兩列等級變量資料的交錯(cuò)系數(shù)和相容系數(shù)，它們的功用與斯皮爾曼等級相關(guān)相同。另外還有適合多列等級變量資料的方法，比如肯德爾和諧系數(shù)和肯德爾U分?jǐn)?shù)。

（2）肯德爾W系數(shù)

①適用范圍：適用于多列等級變量的相關(guān)。

②計(jì)算公式如下：

其中，

式中，R_i代表評價(jià)對象獲得的K個(gè)等級之和，N代表被等級評定的對象的數(shù)目，K代表等級評定者的數(shù)目。

W值介于0與1之間，計(jì)算值都為正值，若表示相關(guān)方向，可從實(shí)際資料中進(jìn)行分析。如果K個(gè)評價(jià)者意見完全一致，則W＝1；若K個(gè)評價(jià)者的意見存在一定的關(guān)系，但又不完全一致，則0＜W＜1；如果K個(gè)評價(jià)者的意見完全不一致，則W＝0。也就是說，如果各變量完全一致，那么各個(gè)評價(jià)者對每個(gè)被評價(jià)的事物（或人）評定的等級應(yīng)該相同，其等級和的最大變異即最大可能的s應(yīng)為。如果每個(gè)評價(jià)者給予的等級不同，則s變小，一致性程度降低，等級差異越大，一致性越低。如果完全沒有相關(guān)，則每個(gè)被評價(jià)事物實(shí)際獲得的等級之和應(yīng)該相等，其最大可能的變異（s）應(yīng)為0。這樣實(shí)際獲得的等級（原始數(shù)據(jù)資料）總和的變異與最大可能的等級總和的變異的比值，便是和諧系數(shù)，其值必然介于0到1之間。

（3）肯德爾U系數(shù)又稱一致性系數(shù)，適用于對K個(gè)評價(jià)者的一致性進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析。它與肯德爾W系數(shù)所處理的問題相同，但更適合評價(jià)者采用對偶比較的方法所得數(shù)據(jù)，所處理的資料的獲得方法不同，計(jì)算的結(jié)果也不一樣。肯德爾U系數(shù)的計(jì)算公式如下：

其中，N為被評價(jià)事物的數(shù)目，即等級數(shù)，K為評價(jià)者的數(shù)目；∑r_ij為對偶比較記錄表中i＞j（或i＜j）格中的擇優(yōu)分?jǐn)?shù)。

計(jì)算步驟：將被評價(jià)的事物用符號代表，分別橫列與縱列，這樣可畫成N×N個(gè)格子。將每一對事物擇優(yōu)比較的結(jié)果按優(yōu)者記1，非優(yōu)者記0，難以判定記0.5的方法記分，將分?jǐn)?shù)填到相應(yīng)的格子中，這便是。兩相同事物不用比較，因此在整個(gè)方格中，位于對角線位置的小格空著。在對角線以下每格的次數(shù)記為i＞j，對角線以上的每格中的次數(shù)記為i＜j。將整理后的資料，代入公式計(jì)算。

4．點(diǎn)二列相關(guān)與二列相關(guān)

（1）點(diǎn)二列相關(guān)適用于一列為等距正態(tài)變量的測量數(shù)據(jù)，另一列為二分名義變量的資料。常應(yīng)用于試卷的信度分析。公式如下：

（2）二列相關(guān)適用于兩列變量都為正態(tài)等距變量，但其中一列變量被人為地分成兩類資料。公式如下：

（3）點(diǎn)二列相關(guān)和二列相關(guān)的選擇

二列相關(guān)不太常用，但有些數(shù)據(jù)只適用于這種方法。在測驗(yàn)中，二列相關(guān)常用于對項(xiàng)目區(qū)分度指標(biāo)的確定。二者之間的主要區(qū)別是二分變量是否為正態(tài)分布。總的原則是，如果不是十分明確，觀測數(shù)據(jù)的分布形態(tài)是否為正態(tài)分布，這時(shí)，不管觀測數(shù)據(jù)代表的是一個(gè)真正的二分變量，還是一個(gè)基于正態(tài)分布的人為二分變量，這時(shí)就用點(diǎn)二列相關(guān)。當(dāng)確認(rèn)數(shù)據(jù)分布形態(tài)為正態(tài)分布時(shí)，都應(yīng)選用二列相關(guān)。只要有任何疑問，選用點(diǎn)二列相關(guān)總是較好的選擇。在實(shí)際的研究當(dāng)中，二列相關(guān)很少使用。

5．Φ相關(guān)

（1）Φ相關(guān)是指當(dāng)兩個(gè)分布都只有兩個(gè)點(diǎn)值或只是表示某些質(zhì)的屬性，如工作狀態(tài)（有工作與無工作）、吸煙狀況（吸煙者與非吸煙者）等，可以運(yùn)用列聯(lián)表計(jì)算，因此它又稱列聯(lián)系。適用資料是除四分相關(guān)（當(dāng)兩個(gè)變量都是連續(xù)變量，且每個(gè)變量的變化都被人為地分為兩種類型時(shí)，采用四分相關(guān)）之外的四格表（計(jì)數(shù)）資料，是表示兩因素兩項(xiàng)分類資料相關(guān)程度最常用的一種相關(guān)系數(shù)。

（2）若直接用四格表內(nèi)數(shù)據(jù)計(jì)算可用下式：

圖1-1變量四格表

Φ接近1為高相關(guān)，接近0為低相關(guān)。