第3章　增長與積累

一、概念題

1．資本—勞動比率（capital labor ratio）

答：資本—勞動比率又稱為人均資本或資本裝備率，指每個工人使用的可獲得的資本的數量。資本—勞動比率的變化路徑在技術層面也反映了資本深化的進程及其速度，是廠商對生產技術（投資）的選擇結果。

2．資本存量的黃金法則（golden－rule capital stock）

答：經濟增長是一個長期的動態過程，提高一個國家的人均消費水平是一個國家經濟發展的根本目的。在此前提下，經濟學家費爾普斯于1961年提出了黃金分割律：

穩態消費等于穩態收入減去穩態投資，即：

如圖3－1所示，在資本邊際產出的增加恰好足以滿足所需投資的增長時，穩態消費達到最大化，即，即當資本存量處在黃金法則水平上時，資本的邊際產出等于折舊率加上人口增長率。從黃金分割律可知，當穩態的人均資本量高于黃金分割律水平時，可以通過增加消費使人均資本量下降到黃金分割律水平；當穩態的人均資本量低于黃金分割律水平時，可以減少消費，提高資本存量，直到人均資本達到黃金分割律水平。

圖3－1  經濟增長的黃金分割律

3．勞動的邊際產量（marginal product of labor，MPL）

答：勞動的邊際產量指在其他要素投入保持不變的情況下，增加一單位勞動所獲得的產品的增量。勞動的邊際產量用公式可以表示為，當勞動的增加量非常小時，。勞動的邊際產量曲線的變化趨勢是倒U型的，這就意味著當邊際產出為零時總產出達到最大值。在圖形上，總產出曲線上各點切線的斜率值，就是各勞動投入量上邊際產出的數值。一個企業主在考慮再雇傭一名工人時，在勞動的平均產出和邊際產出中他更關心勞動的邊際產量。

4．柯布－道格拉斯生產函數（Cobb Douglas Production Function）

答：柯布－道格拉斯生產函數是由美國的數學家柯布和經濟學家道格拉斯提出來的生產函數。該生產函數的一般形式為：，式中，代表產量，和分別代表勞動和資本，、和為三個參數，且。

柯布－道格拉斯生產函數中的參數和β的經濟含義是：和分別表示勞動和資本在生產過程中的相對重要性，為勞動所得在總產量中所占的份額，為資本所得在總產量中所占的份額。

另外，如果，則生產為規模報酬不變的；如果，生產為規模報酬遞減；，則生產為規模報酬遞增。

5．增長核算（growth accounting）

答：增長核算是經濟學中解釋經濟增長的一套理論，該理論主要是對經濟增長源泉進行衡量。一國經濟中的國民總收入可以用多種要素建模來解釋。在一個簡單的模型中主要是資本、勞動力和技術。這里，國民總收入的增長由資本的增長、勞動力的增長以及所采用的技術的提升來解釋。國民收入水平、資本存量和勞動力的大小可以通過經濟統計來估算。這樣數理模型就可以由勞動力、資本和一個余值來解釋國民收入水平。這個余值被稱為“全要素生產率”，用來解釋沒有被資本和勞動投入水平變化所解釋的部分。這個全要素生產率通常被用來衡量所采用的技術的水平，有時也稱為“索洛余值”。

6．新古典增長理論（neoclassical growth theory）

答：新古典增長理論指以美國經濟學家索洛為代表提出的經濟增長理論。該理論討論了資本增長率、勞動力增長率以及儲蓄傾向變動對經濟增長的影響。新古典經濟增長模型認為，假定不存在技術進步（），勞動增長率與人口增長率一致且保持不變（），要使人均收入不變，就必須保持人均資本量不變。這也就是說，在人口增長條件下，維持人均收入不下降，資本增長率等于人口增長率，便達到了經濟的穩定狀態。

新古典經濟增長模型包括四個基本假設條件：①全社會只有一種產品；②勞動與資本可以相互替代，即資本—產出比可以變動；③資本或勞動的邊際生產力遞減，但規模報酬不變；④完全競爭市場，工資率和利潤率分別等于勞動與資本的邊際生產力。

7．消費（consumption）

答：消費在宏觀經濟學中是指某時期一人或一國用于消費品的總支出。嚴格地說，“消費”應僅指這一時期中那些完全用掉了的消費品。但在實際上，消費支出包括所有已購買的商品，而這其中許多商品的使用時間要遠遠超出考察時期，如家具、衣物和汽車等。

8．趨同（convergence）

答：趨同指如果兩個國家人口增長率、儲蓄率和生產函數相同，則它們最終將達到相同的收入水平的一種現象。新古典增長理論預言，具有相同的儲蓄率、相同的人口增長率并得到相同的技術的經濟將出現絕對的趨同。進而，如果國與國之間儲蓄率不同，它們在穩態中將達到不同的收入水平，但如果它們的技術進步率和人口增長率相同，它們的穩態增長率也將相同。

9．增長核算方程（growth accounting equation）

答：增長核算方程用生產函數說明技術進步與經濟增長的關系，描述了在規模收益不變 的情況下，技術、勞動和資本對于產出的貢獻情況。已知生產函數為，對其兩邊取自然對數，全微分后得：，即產出增長＝（勞動份額×勞動增長）＋（資本份額×資本增長）＋技術進步。這里，分別是勞動收益和資本收益在產出中所占的份額。

10．生產函數（production function）

答：生產函數指在生產技術給定的條件下，在一定時期內商品的最大產出量與生產要素的投入量之間的物質數量關系。其一般表達式為：，式中，代表商品的實物產出量，代表各種生產要素的投入量，如原材料、機器設備、勞動、土地、企業家才能等。

生產函數表示廠商產出一定量的產品取決于不同生產要素在一定組合比例下的投入量。所以，生產過程也就是投入變為產出的過程。生產函數總是以一定時期的技術水平作為前提條件，一旦技術水平有了改變，就會形成新的生產函數。這個新的生產函數很可能從同樣的投入量中產出更大的產量，但也有可能從既定的投入量中產出較少的產量。

11．邊際產量遞減（diminishing marginal product）

答：邊際產量遞減指在廠商的廠房、機器設備等資本投入不變的情況下，隨著可變投入量的增加，勞動的邊際產量一開始是遞增的，但當勞動投入量增加到一定程度之后，其邊際產量就會遞減，直到出現負數。這是一個普遍的規律，在技術給定和其他要素投入不變的情況下，連續增加一單位某一種要素所帶來的產量的增量遲早會出現下降（即使在開始階段可能會上升），這就是邊際產出遞減規律。

出現邊際產量遞減規律的主要原因是，隨著可變投入的不斷增加，不變投入和可變投入的組合比例變得愈來愈不合理。當可變投入較少的時候，不變投入顯得相對較多，此時增加可變投入可以使要素組合比例趨向合理從而提高產量的增量；而當可變投入與不變投入的組合達到最有效率的那一點以后，再增加可變投入，就使可變投入相對于不變投入來說顯得太多，從而使產出的增加量遞減。

邊際產量遞減規律是有條件的：①以技術不變為前提；②以其他生產要素固定不變，只有一種生產要素的變動為前提；③在可變要素增加到一定程度之后才出現；④假定所有的可變投入要素是同質的，即所有勞動者在操作技術、勞動積極性等各個方面都沒有差異。

12．增長理論（growth theory）

答：增長理論指試圖解釋生產為什么在一定時期內會增長，并且證實影響這種增長率的要素的理論。由于經濟增長一直是經濟學研究的焦點之一，理論流派眾多，從亞當·斯密和大衛·李嘉圖為代表的古典經濟理論到哈羅德—多馬經濟增長模型，再到索洛含技術進步因素的新古典經濟增長理論。近年來，又出現了以羅默和盧卡斯為代表人物的新經濟增長理論。

13．索洛剩余（Solow residual）

答：索洛剩余指實際勞動生產率與模型預測值之間的差額，它是對全要素生產率的一種衡量。經濟增長歸因于不同投資的貢獻，無法歸因于要素投入的剩余部分被認為是技術進步的貢獻，這被稱為索洛剩余。在生產函數為規模報酬不變的條件下，勞動和資本的邊際產量等于各自的實際報酬，這意味著總產出正好分為勞動的份額和資本的份額。勞動份額，資本份額，且。經過簡單變換就有：。

上述公式表明，收入的增長率（）等于以下三項之和：①技術進步率（）；②勞動投入增長率（）乘以勞動在總產量中的份額（）；③資本投入增長率（）乘以資本在總產量中的份額（）。技術進步率通常稱之為全要素生產率，表示在所有投入不變的條件下，由于生產方式改進導致的產出增加量，換句話說，用相同要素投入得到更多產出時，意味著全部要素的生產率提高了。技術進步率就是索洛剩余，反映了技術進步對經濟增長的貢獻度。

14．人均GDP（GDP per capita）

答：人均GDP即人均國內生產總值，是以某地區一定時期國內生產總值（現價）除以同時期平均人口所得出的結果。GDP衡量的是一個國家的經濟總量，人均GDP評價的是一個國家的富裕程度。在經濟學界，人們更多地用人均GDP作為劃分經濟發展階段的重要指標。

15．人力資本（human capital）

答：人力資本指為了提高勞動者的文化技術水平和勞動素質而投到勞動者身上的投資，是無形資本，它與物質資本（有形資本）共同構成了經濟增長因素中的投資。人力資本在經濟增長中的作用越來越重要，其自身不僅能形成遞增的收益還能使相關的勞動和資本也產生遞增的收益，從而使得整個經濟的規模收益是遞增的。

16．穩態均衡（steady state equilibrium）

答：穩態均衡指當經濟體系的均衡狀態遭到暫時破壞時，依靠其自身的力量最終還會恢復到原來正常狀態的一種均衡狀態。其特點是一個經濟體系的均衡狀態，在制約它的各種外部條件發生變動時，會使該經濟體系產生脫離均衡狀態的運動，但是，經濟體系內部又同時會自動地產生一種力量，這種力量使體系中的各種變量重新恢復到原來的均衡狀態。例如，當某一商品的供給曲線在均衡點的斜率大于需求曲線的斜率時，脫離均衡狀態的波動幅度會自動逐漸縮小以至消失，并最終停留在原均衡點上，這就是闡述動態均衡的蛛網理論所描述的收斂型蛛網情況。

17．資本的邊際產量（marginal product of capital，MPK）

答：資本的邊際產量指在其他要素投入保持不變的情況下，增加一單位資本所獲得的產品的增量。資本的邊際產量用公式可以表示為，當資本的增加量非常小時，。和勞動的邊際產出一樣，資本的邊際產出曲線的變化趨勢也是倒型的，這就意味著當邊際產量為零時總產出達到最大值。

18．勞動增進型技術（1abor－augmenting）

答：勞動增進型技術指新技術提高了勞動生產率，此時生產函數可寫成Y=F（K，AN）。具有勞動增進型技術進步的柯布－道格拉斯生產函數將勞動增進型技術進步納入柯布一道格拉斯生產函數，可得生產函數為：

19．全要素生產率（total factor productivity，TFP）

答：全要素生產率指生產活動在一定時間內的效率，它一般的含義為資源（包括人力、物力、財力）開發利用的效率。從經濟增長的角度來說，生產率與資本、勞動等要素投入都貢獻于經濟的增長。從效率角度考察，生產率等同于一定時間內國民經濟中產出與各種資源要素總投入的比值。從本質上講，它反映的則是一個國家（地區）為了擺脫貧困、落后和發展經濟在一定時期里表現出來的能力和努力程度，是技術進步對經濟發展作用的綜合反映。

20世紀50年代，諾貝爾經濟學獎獲得者索洛提出了具有規模報酬不變特性的總量生產函數和增長方程，形成了現在通常所說的生產率（全要素生產率）含義，并把它歸結為是由技術進步而產生的。按照他的理論，全要素生產率等于產出增長率與資本增長率和勞動增長率加權之差。

二、簡答題

1．生產函數提供了什么信息？

答：生產函數指在生產技術給定的條件下，在一定時期內商品的最大產出量與生產要素的投入量之間的物質數量關系。在宏觀經濟學中，生產函數提供了以下信息：

（1）可以使用生產函數來研究增長的兩個來源，生產函數提供了投入和產出間的數量關系。一般而言，生產函數是實際用于生產的勞動量（）、資本量（）的投入和技術水平（）與整個經濟的產出量（）之間的函數關系，記為。這說明，產出增長是通過增加要素投入以及通過技術改進導致的生產率提高和生產能力更強的勞動大軍實現的。

（2）生產函數反映的是與既定生產要素投入量相聯系的最大產出。而且產出取決于要素投入和技術水平，技術水平（）越高，給定水平的投入所生產的產量就越多。

（3）生產函數說明了資本與勞動兩種生產要素可以連續變動，而且可以相互替代。

（4）更多的投入意味著更高的產出，即勞動的邊際產品和資本的邊際產品都是正的。

（5）把生產函數加以變形，就可以分析生產要素和生產率提高對產出增長的貢獻。

2．索洛增長模型能否有助于解釋趨同現象？

答：趨同指如果兩個國家人口增長率、儲蓄率和生產函數相同，則這兩個國家最終將達到相同的收入水平。索洛增長模型能解釋趨同現象，原因如下：

索洛增長模型的公式為：。式中，為人均資本，為儲蓄率，為人均產量（），為勞動力的增長率，為資本的折舊率。為社會的人均儲蓄，為新增勞動力所配備的資本數量和資本折舊，稱為資本廣化（即意味著為每一個新生的工人提供平均數量的資本存量）；為人均資本的增加，稱為資本深化（即意味著每個工人占有的資本存量上升）。因而索洛新古典增長模型的基本方程又可表述為：資本深化＝人均儲蓄－資本廣化。

當經濟處于長期均衡狀態即穩態時，人均資本達到均衡值并維持在均衡水平不變，即；在忽略了技術變化的條件下，人均產量也達到穩定狀態，和達到一個持久性的水平。穩態的條件：，即。

因此，如果兩個國家的人口增長率、儲蓄率和生產函數相同，它們最終人均收入水平和穩態增長率也將相同。

3．考慮一個忽略自然資源存量的生產函數。何種情況下這種忽略確實會產生嚴重后果？

答：按照現代西方經濟學的理論，在分析生產函數時，常常假定自然資源（主要是土地、礦山、森林等資源）是不變的，主要分析勞動力、資本和技術的作用。例如柯布—道格拉斯生產函數，該生產函數的一般形式為：，式中，代表產量，和分別代表勞動和資本，、和為三個參數，且。

生產函數和其后的方程忽略了大量的資本和勞動以外的投入。在某些特定的時間和場合下，資本和勞動以外的投入可能會起很大的作用。自然資源與人力資本就是其他兩種重要的投入。忽略自然資源存量的生產函數不能準確預測自然資源存量的顯著變化對一國經濟表現的影響。例如，當發現新的石油儲量或一種全新資源對產出水平有較大影響時，這種生產函數是不能預測的。

美國早期繁榮在很大程度上歸因于該國有充足而肥沃的土地，與美國開發西部大致同一時間的俄國東部的開發，對俄國的經濟的增長也有相似的貢獻。所以，經濟增長模型不能忽視自然資源存量這個因素。

4．在標準生產函數的范圍內，代表實物資本，代表非熟練勞動，如果將索洛剩余（）解釋為“技術進步”，我們將犯錯誤。除了技術進步之外，對剩余還可作什么理解呢？你將如何擴展模型來消除這個問題？

答：如果只將索洛剩余解釋為“技術進步”，將會忽略人力資本（即熟練勞動）對產出的重要影響。此時的索洛剩余還應包括人力資本（）對產出增長率的重要影響。為了消除這種影響可以把人力資本（）加入到生產函數中。則生產函數就變為：

，其中。

此時產出增長率可以用下面的式子表達：

此時索洛剩余不僅包括技術進步因素所帶來的產出貢獻，還包括了人力資本因素所帶來的產出貢獻。

5．圖3－2提供了對索洛增長模型的基本說明。在進行說明時，要審慎解釋儲蓄線和必需的投資曲線的含義。為什么穩態出現在它們的交匯處？

圖3－2  穩態產出與投資

答：（1）索洛增長模型的公式為：。式中為人均資本，為儲蓄率，為人均產量（），為勞動力的增長率，為資本的折舊率。為社會的人均儲蓄，即圖3－2中的儲蓄線；為新增勞動力所配備的資本數量和資本折舊，稱為資本廣化（即意味著為每一個新生的工人提供平均數量的資本存量），即圖3－2中的投資線；為人均資本的增加，稱為資本深化（即意味著每個工人占有的資本存量上升）。因而索洛新古典增長模型的基本方程又可表述為：資本深化＝人均儲蓄－資本廣化。

（2）當經濟處于長期均衡狀態即穩態時，人均資本達到均衡值并維持在均衡水平不變，即；在忽略了技術變化的條件下，人均產量也達到穩定狀態，和達到一個持久性的水平。穩態的條件：，即。

（3）交點所對應的人均資本為，人均產量為，這時人均儲蓄恰好等于資本廣化的需要，即，人均儲蓄恰好能夠為不斷增長的人口提供資本（設備）和替換折舊資本而不會引起人均資本的變化。

在點以左，曲線比線高，這表明儲蓄高于資本廣化的需要。結果，當經濟運行在點左側時，就存在著資本深化。資本深化意味著每個工人占有的資本存量上升，即。因此，在點以左，經濟中的人均資本有上升的趨勢，如橫軸上的箭頭所示。隨著時間推移，向逼近，最終用于資本廣化所需的資本數量增加到這樣一點，即點，在這一點上，所有的儲蓄都僅用于保持人均資本不變，經濟達到穩定狀態。在點以右，情況正好相反，人均儲蓄不能滿足資本廣化的需要，這時有。所以，在點以右，人均資本有下降的趨勢，如圖中橫軸上的箭頭所示。

因此，只有在點經濟才能達到穩態。其中儲蓄函數，假定儲蓄是收入的一個固定部分。投資需求，即線，表示為保持固定的資本—勞動比率所必須的投資量。

6．決定人均產出穩態增長率的因素有哪些？還有什么其他因素會影響短期產出增長率呢？

答：（1）長期人口增長率決定了人均產出穩態增長率。新古典增長理論雖然假定勞動力按一個不變的比率增長，但當把作為參數時，就可以說明人口增長對產量增長的影響。

圖3－3  人口增長的影響

圖3－3中，經濟最初位于點的穩態均衡。現在假定人口增長率從增加到，則圖中的線便移動到線，這時，新的穩態均衡為點。比較點與點，可知，人口增長率的增加降低了人均資本的穩態水平（從原來的減少到），進而降低了人均產量的穩態水平。這是從新古典增長理論得出的又一重要結論。西方學者進一步指出，因為人口增長率上升產生的人均產量下降正是許多發展中國家面臨的問題。兩個有著相同儲蓄率的國家僅僅由于其中一個國家比另一個國家的人口增長率高，就可以有非常不同的人均收入水平。

對人口增長進行比較靜態分析的另一個重要結論是，人口增長率的上升增加了人均產出的穩態增長率，而儲蓄率的增加不能影響到穩態增長率，但確實能提高收入的穩態水平。也就是說儲蓄率的增加只有水平效應，絕沒有增長效應。

（2）在短期內，儲蓄率、技術進步和折舊率會對短期產出增長率產生影響。儲蓄率的上升和技術進步會提高短期產出增長率，而折舊率的上升會引起短期產出增長率的下降。

7．20世紀90年代中期以來，美國經濟在勞動生產率方面出現了一次變動浪潮，由給定。利用方程（2）對此次浪潮可以給出何種可能的解釋？

說明：題中提到的方程（2）為：

產出增長＝（勞動份額×勞動增長）＋（資本份額×資本增長）＋技術進步

答：勞動生產率定義為，即產出（）與勞動投入（）的比率。如果產出的增長快于勞動投入的增長，就會帶來勞動生產率的迅速提高。20世紀90年代中期以來GDP快速增長，美國經歷了一次這樣的勞動生產率的急劇變動。

美國勞動生產率的巨大變化可以由方程（2）中的兩方面因素來加以解釋。一方面為新技術的引進和現有技術更高的利用效率，即的快速增加。許多人認為對計算機技術的投資和應用的增加刺激了經濟增長。另一方面，全球競爭的加劇迫使許多工廠通過重組生產和削減一些工作來降低成本，即增長放慢。這樣，產出大量增長的同時，工作增長率卻相對比較低，這就最終造成了勞動生產率的提高。更高的熟練勞動力也有助于勞動生產率的提高。因為如果工人更加熟練，同樣數量的工人能生產更多的產出。

三、計算與分析題

1．在一個僅包含兩個生產要素的簡單經濟中，假設資本在收入中占的份額是0.4，勞動力的份額是0.6。資本和勞動的年增長率分別是6%和2%。假定沒有技術進步。

（1）產出增長率是多少？

（2）產出增加一倍要多長時間？

（3）假定技術進步率為2%。重新計算問題（1）、（2）的答案。

解：（1）根據教材中公式（2）可知：產出的增長率＝（勞動增長率×勞動力份額）＋（資本增長率×資本份額）＋技術進步增長率，即：

其中是勞動力所占的份額，是資本所占的份額，由于假設不存在技術進步因素，故，因此：

所以，產出的增長率為3.6%。

（2）根據通常的“70規則”：

產出增加1倍所用的時間＝70/產出增長率

由上題可知，產出增長率為3.6%，產出增加1倍所需的時間為：（年）。

（3）據公式可知，其他條件不變，，代入公式可得產出增長率：

則產出增加1倍所需時間為：（年）。

2．假定產出每年增長3%，資本與勞動力的收入份額分別是0.3和0.7。

（1）如果勞動力與資本每年都增長1%，那么全要素生產率增長是多少？

（2）如果勞動力與資本存量都固定不變，將會是什么結果？

解：（1）根據公式，可知：

（2）若勞動力與資本存量均固定不變并且產出增長3%，那么所有的增長要歸因于全部要素生產率的增長，即為。

3．再次假定資本與勞動力的收入份額分別是0.3和0.7。

（1）資本存量增長10%對產出有什么影響？

（2）勞動數量擴大10%對產出有什么影響？

（3）如果勞動力的增加完全歸因于人口增長，由此引起的產出增長會對人民福利會有影響嗎？

（4）如果勞動力的增長歸因于婦女參加勞動力隊伍，結果又將會怎樣？

答：（1）根據公式可知，其他條件不變，，代入公式可得產出增長率：

（2）根據公式可知，其他條件不變，，代入公式可得產出增長率：

（3）如果產出以增長是由于勞動力以增長，并且勞動力的增長完全是由于人口的增長，那么人均產出就會下降并且人們的福利也會下降。

（4）如果勞動力的增長歸因于婦女參加勞動力隊伍，那么總人口就沒有增加而人均產出將增加7%，因此人們的福利就會上升。

4．假定一次地震摧毀1/4的資本存量。討論該經濟的調整過程，并利用圖3－4顯示短期與長期增長會發生什么情況。

說明：如果儲蓄率提高，穩態的資本—勞動比率也將提高。

圖3－4  穩態產出與投資

答：（1）如圖3－5所示，以人均表示的生產函數為。儲蓄函數為，顯示了在每一資本—勞動比率上被儲蓄的那部分收入。直線表示為保證資本—勞動比率固定不變而要求的投資額。在二者相交處經濟達到穩態。假設在地震發生之前經濟處于穩態，人均資本是，并假設地震沒有影響人們的儲蓄行為。

圖3－5  經濟的調整過程

當地震摧毀了1/4的資本存量和不到1/4的勞動力時，資本—勞動比率就會從下降到，資本產出從下降到。現在儲蓄超過投資需求，即，資本存量和資本產出水平將會再次增長到穩態。

當地震摧毀了1/4的資本存量和比1/4更多的勞動力時，資本—勞動比率就會從上升到，資本產出從上升到。現在儲蓄少于投資需求，即，資本—勞動比率和人均產出水平將會再次下降到穩態。

地震正好摧毀了1/4的資本存量和勞動力，穩態還會繼續維持，即資本—勞動比率和資本產出不會發生變化。

（2）如果地震嚴重到影響人們的儲蓄行為，那么儲蓄線就會上下移動。這要依賴于儲蓄率的增長或下降。如果人們更多地儲蓄，則將有更多的投資用于災后的重建，儲蓄函數將向上移動。如圖3－6所示，儲蓄函數將向上移動至，若與直線交于點，重新達到穩態，此時資本—勞動比上升到，人均產出增至。

如果人們認為人生短暫，從而決定快樂地生活，他們就會減少儲蓄。這樣就會使儲蓄率下降，儲蓄函數下降到。此時與直線交于點，重新達到穩態，那么資本—勞動比率下降到，人均產量下降到。具體情況如圖3－6所示。

圖3－6  短期與長期增長的情況

5．假定人口增長率有所提高：

（1）以圖形顯示這會如何影響人均產出的增長率和短期以及長期的總產出增長率？（提示：使用如圖3－4的圖解）

（2）描繪該變化后的人均收入與人均資本存量的時間路徑。（提示：使用如圖3－7的圖解）

圖3－7  調整到新的穩態均衡

說明：圖中3－7中（a）、（b）兩圖表示人均產出與產出增長率根據圖3－4中儲蓄率的提高進行的調整。

答：（1）人口增長率（）的提高會影響到投資需求，投資線將會更陡。伴隨著人口的增長就會要求更多的儲蓄以使新工人擁有其他人已有的資本數量。由曲線與直線相交決定的新的最優資本—勞動比率會使人均產出（）下降。因此，在短期會有一個負的增長率。然而在長期中，由新的更高的人口增長率決定的穩態產出增長率將會增長。如圖3－8所示。

圖3－8  人口增長率的影響

（2）從人均產出水平為的穩態開始，人口增長率的增長將使資本—勞動比率從下降到。人均產出將會以一個持續的遞減速度下降到一個新的穩態水平，即。產出增長率將會逐漸調整到新的更高水平。如圖3－9和圖3－10所示。

圖3－9  人均收入的時間路徑

圖3－10  人口增長率增長對資本—勞動比率的影響

6．考慮一個形式為的生產函數，其中是對用于生產中自然資源的量度。假定生產函數的規模報酬不變，要素邊際報酬遞減。

（1）如果資本與勞動力均出現增長，而固定不變，人均產出有何變化？

（2）增加技術進步（的增長）后，再考慮問題（1）。

（3）在20世紀70年代，人們害怕自然資源耗盡會限制增長，請用問題（1）、（2）的答案來討論這種看法。

答：（1）設存在著如下形式的一種生產函數：，從而得。

由于，現在假設不存在技術進步，即，且資本和勞動的增長率相同，即。

如果資源固定不變，即可知，那么產出的增長率將是：

由此可知，由于，，產出的增長率將小于，因此，人均產量將下降。

（2）如果存在技術進步因素，即如果，那么產出的增長率將會變大，即。如果，那么產出的增長率將會大于，從而人均產量將會增加。

（3）如果自然資源的供給保持不變，那么產出的增長率將小于人口的增長率，從而可以預期當自然資源耗盡時，增長率就會受到限制。然而，如果技術進步的增長率非常大，即使自然資源的供給保持不變，產出的增長率也仍會大于人口的增長率。

7．考慮如下生產函數：，其中人口與勞動數量均以的速度增長。資本存量的折舊率是，標準化為1。

（1）資本與勞動的收入份額是多少？

（2）生產函數的形式是什么？

（3）若，測定和的穩態值。

（4）穩態的人均產出增長率是多少？總產出增長率是多少？如果全要素生產率以每年2%的比率增長（），結果會怎樣？

解：（1）因為生產函數為，并且標準化為1，可得。由此可見資本與勞動的收入份額均為50%。

（2）生產函數的形式是柯布—道格拉斯生產函數（C－D函數）。

（3）。兩邊除以，得，即。

因為穩態時有，得。

從而有，化簡得：，即。

（4）因為，可以得穩態的人均產出增長率為。因為，由于，現在假設不存在技術進步，即，且資本和勞動的增長率相同，即，則總產出增長率。

若全部要素生產率以每年2%的比率增長（），則把的移到右邊，得，可得，從而有：

8．假定技術水平固定不變，然后躍升至一個更高的新的恒定水平。

（1）如果保持資本—勞動比率不變，技術的躍升如何影響人均產出？

（2）給出新的穩態均衡。人均儲蓄和資本—勞動比率有什么變化？人均產出有什么變化？

（3）畫出向新的穩態調整的時間路徑。在轉變過程中，投資比率上升了嗎？如果上升，這種影響是暫時的嗎？

答：（1）如果存在技術進步，在資本—勞動比率保持不變的情況下，人均產出將會增加。函數將會增加為，從而儲蓄函數將會從增加為。

（2）如果固定不變，由可以推導出，曲線和直線的交點肯定會在一個更高水平的點上。從而，在新的穩態均衡狀態下，人均儲蓄將會增加，資本—勞動比率將會變大，人均產出也將會增加。如圖3－11所示。

圖3－11  穩態均衡

（3）如果存在技術進步，儲蓄水平和投資比率都將上升，直到資本—勞動比率達到一個最佳的新的更高的水平。為了達到更高水平的最佳資本—勞動比率，必須進行更多的投資，從而資本投資比率將會在轉變過程中上升。由技術進步帶來的影響是永久的，而不是暫時的。

新的穩態調整的時間路徑如圖3－12所示。

圖3－12  新的穩態調整的時間路徑

9．對于柯布－道格拉斯生產函數，證明是勞動的收入份額。（提示：勞動的收入份額是收入的一部分，是勞動的收入（）除以總收入。）

證明：柯布－道格拉斯生產函數是由美國的數學家柯布和經濟學家道格拉斯提出來的生產函數。對于柯布－道格拉斯生產函數：，式中代表產量，和分別代表勞動和資本，和為兩個參數，且。

勞動的邊際產出為：

可以得勞動的收入份額為：。

10．考慮一個經濟體，具有新古典生產函數的特征。再一次假定儲蓄率是0.1，人口增長率是0.02，平均折舊率是0.03。

（1）寫出人均資本形式的生產函數，找到穩定狀態的k和y。

（2）在穩定狀態下的k比黃金規則水平下的k大還是小?

（3）計算在該模型中，儲蓄率要達到多少才能得到黃金規則水平的資本k?

（4）在新古典增長模型中，一個國家可能會有太多的儲蓄嗎?

答：（1）人均資本形式的生產函數為：

穩態時有sy= =（n＋d）k，從而有0.1 =（0.02＋0.03）k。

解得穩定狀態的k=4，將k=4代入人均資本的生產函數中，得y=2。

（2）黃金規則下有，代入n=0.02，d=0.03得k=100。

而穩態時的k=4，穩態下的k比黃金規則下的k要小。

（3）黃金規則水平下的消費c=f（k）－（n＋d）k= 100^0.5－（0.02＋0.03）×100=5。

從而有儲蓄s=10－5=5，則儲蓄率=5/10=0.5時才能得到黃金規則水平的資本k。

（4）在新古典增長模型中，一個國家不會有太多儲蓄。若儲蓄過多，穩態的資本和收入也會越高，而k越高，維持資本－勞動比率不變所需要的投資越大，則被用于當前的消費越少，因此太多的儲蓄導致高收入和低消費。因此，要達到很高的儲蓄水平，就必須減少當期的消費，而這是很難達成的。