第二節(jié)　數(shù)與代數(shù)

一、考點精講

（一）數(shù)的整除

1．奇偶性與質(zhì)合性

（1）奇數(shù)與偶數(shù)

能被2整除的整數(shù)稱為偶數(shù)，不能被2整除的整數(shù)為奇數(shù)，0是偶數(shù)。關(guān)于偶數(shù)和奇數(shù)有下面的性質(zhì)：

①兩個連續(xù)整數(shù)中必是一個奇數(shù)一個偶數(shù)。

②奇數(shù)與奇數(shù)的和或差是偶數(shù)；偶數(shù)與奇數(shù)的和或差是奇數(shù)；任意多個偶數(shù)的和都是偶數(shù)；單數(shù)個奇數(shù)的和是奇數(shù)；雙數(shù)個奇數(shù)的和是偶數(shù)。即“同奇同偶則為偶，一奇一偶則為奇”。

③奇數(shù)與奇數(shù)的積是奇數(shù)；偶數(shù)與偶數(shù)的積是偶數(shù)；奇數(shù)與偶數(shù)的積是偶數(shù)。即“乘數(shù)有偶則為偶，乘數(shù)無偶則為奇”。

④若干個整數(shù)的連乘積，如果其中有一個偶數(shù)，乘積必然是偶數(shù)。

⑤相鄰偶數(shù)最大公約數(shù)為2，最小公倍數(shù)為它們乘積的一半。

⑥除2外所有的正偶數(shù)均為合數(shù)。

⑦偶數(shù)的平方被4整除，奇數(shù)的平方被8除余1。

【例】若x，y，z是三個連續(xù)的負整數(shù)，并且x＞y＞z，則下列表達式中屬于正奇數(shù)的是（　　）。

A．yz－x

B．（x－y）（y－z）

C．x－yz

D．x（y＋z）

【答案】B

【解析】x、y、z為三個連續(xù)的負整數(shù)，且x＞y＞z，則x－y＝1，y－z＝1，所以（x－y）（y－z）＝1。

（2）質(zhì)數(shù)與合數(shù)

①質(zhì)數(shù)

如果一個大于1的正整數(shù)，只能被1和它本身整除，那么這個正整數(shù)叫做質(zhì)數(shù)（質(zhì)數(shù)也稱素數(shù)），如2、3、5、7、11、13……一個數(shù)。

②合數(shù)

一個正整數(shù)除了能被1和它本身整除外，還能被其他的正整數(shù)整除，這樣的正整數(shù)叫做合數(shù)，如4、6、8、9、10……

③1既不是質(zhì)數(shù)也不是合數(shù)。

④質(zhì)因數(shù)

每個合數(shù)都可以寫成幾個質(zhì)數(shù)相乘，這幾個質(zhì)數(shù)都叫這個合數(shù)的質(zhì)因數(shù)。

2．約數(shù)與倍數(shù)

（1）定義

如果一個自然數(shù)a能被自然數(shù)b整除，則稱a為b的倍數(shù)，b為a的約數(shù)。其中，一個數(shù)的最小約數(shù)是1，最大約數(shù)是它本身。

（2）公約數(shù)與公倍數(shù)

①幾個自然數(shù)公有的約數(shù)，叫做這幾個自然數(shù)的公約數(shù)。公約數(shù)中最大的一個公約數(shù)，稱為這幾個自然數(shù)的最大公約數(shù)。

②幾個自然數(shù)公有的倍數(shù)，叫做這幾個自然數(shù)的公倍數(shù).公倍數(shù)中最小的一個大于零的公倍數(shù)，叫這幾個數(shù)的最小公倍數(shù)。

【例】某生產(chǎn)車間有若干名工人，按每四個人一組分，多一個人；按每五個人一組分，也多一個人；按每六個人一組分，還是多一個，該車間至少有多少名工人？（　　）

A．31

B．41

C．61

D．122

【答案】C

【解析】由題意可知，該車間工人數(shù)減去1以后是4、5、6的公倍數(shù)，而4、5、6的最小公倍數(shù)為60，因此該車間至少有60＋1＝61人。

3．余數(shù)

余數(shù)相關(guān)問題主要有：

（1）基本余數(shù)問題

①余數(shù)基本關(guān)系式

被除數(shù)÷除數(shù)＝商…余數(shù)（0≤余數(shù)＜除數(shù)）

②余數(shù)基本恒等式

被除數(shù)＝除數(shù)×商＋余數(shù)

③核心公式

被除數(shù)＝除數(shù)×商＋余數(shù)（0≤余數(shù)＜除數(shù)）；被除數(shù)－余數(shù)＝除數(shù)×商

也可以看作具有整除性質(zhì)，在余數(shù)計算中常有使用。

【例】有一個整數(shù)，用它分別去除157、324和234，得到的三個余數(shù)之和是100，求這個整數(shù)。（　　）

A．44

B．43

C．42

D．41

【答案】D

【解析】設(shè)這個整數(shù)為x，商分別為a、b、c，則有x（a＋b＋c）＋100＝157＋324＋234，即x（a＋b＋c）＝615，即所求數(shù)應(yīng)能將615整除，只有41符合。

（2）同余問題

同余指兩個整數(shù)，他們除以同一個整數(shù)所得的余數(shù)相同。

①余同取余

如果一個被除數(shù)的除數(shù)不同，余數(shù)相同，那么這個數(shù)的通項公式可以表示為幾個除數(shù)的公倍數(shù)加上除數(shù)共同的余數(shù)。

②和同加和

如果一個被除數(shù)的除數(shù)不同，除數(shù)與余數(shù)的和相等，那么這個數(shù)的通項公式可以表示為幾個除數(shù)的公倍數(shù)加上除數(shù)與余數(shù)的和。

③差同減差

如果一個被除數(shù)的除數(shù)不同，除數(shù)與余數(shù)的差相等，那么這個數(shù)的通項公式可以表示為幾個除數(shù)的公倍數(shù)減去除數(shù)與余數(shù)的差。

【例1】一個整數(shù)除以5余3，用所得的商除以6余2，再用所得的商除以7余1，用這個整數(shù)除以35，則余數(shù)為（　　）。

A．8

B．19

C．24

D．34

【答案】A

【解析】由題意可知，題中除數(shù)與余數(shù)相加均為8，由同余問題的口訣“差同減差，和同加和，余同取余，公倍數(shù)作周期”可知，這個數(shù)為210n＋8。又因為210能被35整除，則這個數(shù)除以35的余數(shù)為8。因此答案選A。

【例2】有一個兩位數(shù)，除以3的余數(shù)為2，除以4的余數(shù)是1，則這個數(shù)除以12的余數(shù)是（　　）。

A．0

B．5

C．1

D．6

【答案】B

【解析】由“和同加和，公倍數(shù)做周期”可知，滿足條件的整數(shù)為5＋12n（n≥1），故該整數(shù)除以12的余數(shù)為5。