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三、題型分析

(一)數(shù)學(xué)運(yùn)算

1.概述

(1)定義

數(shù)學(xué)運(yùn)算是指每道題給出一道算術(shù)式子或者表達(dá)數(shù)量關(guān)系的一段文字,要求考生熟練運(yùn)用加、減、乘、除等基本運(yùn)算法則,并利用其他基本數(shù)學(xué)知識(shí),準(zhǔn)確迅速地計(jì)算或推出結(jié)果的題型。

(2)考查要點(diǎn)

數(shù)學(xué)運(yùn)算要求考生熟練運(yùn)用基本的數(shù)學(xué)知識(shí),依據(jù)題目給出的式子或文字,準(zhǔn)確迅速地計(jì)算或推出結(jié)果。

數(shù)學(xué)運(yùn)算考查的知識(shí)涵蓋從小學(xué)到高中的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí),不是單純的小學(xué)數(shù)學(xué)題,而是能力測(cè)試,是對(duì)考生的知識(shí)儲(chǔ)備量的考查。

文字型的應(yīng)用題將會(huì)成為數(shù)學(xué)運(yùn)算的主流形式,因?yàn)樗軌蚋玫販y(cè)查分析、推理能力。

2.題型

從題干的形式和考查的內(nèi)容上分析,數(shù)學(xué)運(yùn)算題可分為幾種不同類型。為了更加高效的解題,在考試當(dāng)中爭(zhēng)分奪秒,我們需要熟悉各個(gè)題型特點(diǎn),優(yōu)化解題思路。從歷年考試當(dāng)中可看出數(shù)學(xué)運(yùn)算題主要題型有:計(jì)算問題、幾何問題、組合問題、行程問題、比例問題和其他問題。

(1)計(jì)算問題

數(shù)的性質(zhì)

【例1】有一個(gè)整數(shù),用它分別去除157、324和234,得到的三個(gè)余數(shù)之和是100,求這個(gè)整數(shù)是(  )。

A.44

B.43

C.42

D.41

【答案】D

【解析】由題意可知,所求整數(shù)能夠整除157+324+234-100=615,615÷41=15。因此答案選D。

【例2】有四個(gè)自然數(shù)A,B,C,D,它們的和不超過400,并且A除以B商是5余5,A除以C商是6余6,A除以D商是7余7。那么,這四個(gè)自然數(shù)的和是(  )。

A.216

B.108

C.314

D.348

【答案】C

【解析】A=B×5+5=5×(B+1),A=C×6+6=6×(C+1),A=D×7+7=7×(D+1),故A是5、6、7的倍數(shù),又因?yàn)?,6,7的最小公倍數(shù)是210,所以A是210的倍數(shù),而A不超過400,故A=210,代入上述余數(shù)基本恒等式,得B=41,C=34,D=29,即這四個(gè)自然數(shù)的和是A+B+C+D=314。

【例3】2011×201+201100-201.1×2910的值為(  )。

A.20110

B.21010

C.21100

D.21110

【答案】A

【解析】2011×201+201100-201.1×2910=2011×(201+100-291)=2011×10=20110。

算式計(jì)算

【例1】已知兩列數(shù)2,5,8,11…… 2+(100-1)×3;5,9,13,17……5+(100-1)×4。它們都是100項(xiàng),則兩列數(shù)中相同的數(shù)有(  )項(xiàng)。

A.24

B.25

C.26

D.27

【答案】B

【解析】第一個(gè)這兩個(gè)數(shù)列中相同的項(xiàng)是5,且第一個(gè)數(shù)列的公差為3,第二個(gè)數(shù)列的公差為4,則這兩個(gè)數(shù)列中相同的項(xiàng)既是3的倍數(shù)又是4的倍數(shù),所求即轉(zhuǎn)換為求首項(xiàng)為5,公差為12的等差數(shù)列的項(xiàng)數(shù),又第一個(gè)數(shù)列最大的數(shù)為2+(100-1)×3=299,第二個(gè)數(shù)列最大的數(shù)為5+(100-1)×4=401,新數(shù)列最大不能超過299,又5+12×24=293,5+12×25=305,則兩列數(shù)中相同的數(shù)有25項(xiàng)。

【例2】小明今年(1995年)的年齡是他出生那年的年份的數(shù)字之和。問:小明今年多少歲?(  )

A.21

B.24

C.18

D.20

【答案】A

【解析】設(shè)小明出生時(shí)是19ab,則1+9+a+b=95-10a-b,從而11a+2b=85。當(dāng)a≥8時(shí),11a+2b>85;當(dāng)a≤6時(shí),11a+2b≤66+2×9=84,所以必有a=7,b=4,即小明今年是1+9+7+4=21歲。

【例3】如x⊕y=x2+y2,則3⊕1⊕3=(  )。

A.109

B.100

C.120

D.160

【答案】A

【解析】3⊕1=32+12=10,則3⊕1⊕3=10⊕3=102+32=109。

(2)幾何問題

平面幾何問題

【例】一個(gè)正三角形和一個(gè)正六邊形周長(zhǎng)相等,則正六邊形面積為正三角形的(  )。

A.

B.1.5倍

C.

D.2倍

【答案】B

【解析】設(shè)正三角形和一個(gè)正六邊形的周長(zhǎng)為6,六邊形的邊長(zhǎng)為1,三角形的邊長(zhǎng)為2;正六邊形可以分成6個(gè)邊長(zhǎng)為1的小正三角形,邊長(zhǎng)為2的正三角形可以分成4個(gè)邊長(zhǎng)為1的小正三角形。所以正六邊形面積:正三角形的面積=6:4,即正六邊形面積為正三角形的1.5倍。

立體幾何問題

【例】工作人員做成了一個(gè)長(zhǎng)60厘米、寬40厘米、高22厘米的箱子,因丈量錯(cuò)誤,長(zhǎng)和寬均比設(shè)計(jì)尺寸多了2厘米,而高比設(shè)計(jì)尺寸少了3厘米,那么該箱子的表面積與設(shè)計(jì)時(shí)的表面積相差多少平方厘米?(  )

A.4

B.20

C.8

D.40

【答案】C

【解析】由題意可知,原設(shè)計(jì)的箱子的表面積為2×(58×38+38×25+58×25),尾數(shù)為8,加工后的箱子表面積為2×(60×40+60×22+40×22),尾數(shù)為0,則表面積差為2×(58×38+38×25+58×25)-2×(60×40+60×22+40×22),8-0=8平方厘米。

幾何性質(zhì)問題

【例】N是正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn),如果NA:NB:NC=2:4:6,則∠ANB的度數(shù)為(  )。

A.120°

B.135°

C.150°

D.以上都不正確

【答案】B

【解析】過B作BN′⊥BN,且使BN′=BN,連接N′A,N′N,如下圖所示,因?yàn)椤螻′BN=∠ABC=90°,得∠N′BA=∠NBC。又因?yàn)锳B=BC,BN′=BN,有△N′AB≌△NCB,則N′A=NC,設(shè)NB=4x,NC=N′A=6x。在直角△NBN′中,∠NN′B=45°,且NN′=4x,在△N′AN中,N′A=N′N,所以∠N′NA=90°,得∠ANB=135°。

圖1-1

平面解析幾何

【例】在平面直角坐標(biāo)系中,如果點(diǎn)P(3a-9,1-a)在第三象限內(nèi),且橫坐標(biāo)縱坐標(biāo)都是整數(shù),則點(diǎn)P的坐標(biāo)是(  )。

A.(-1,-3)

B.(-3,-1)

C.(-3,2)

D.(-2,-3)

【答案】B

【解析】點(diǎn)P在第三象限,則橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)都小于0,即3a-9<0,1-a<0,解得1<a<3。由于橫縱坐標(biāo)都是整數(shù),所以a是整數(shù),則a=2。因此P點(diǎn)坐標(biāo)為(-3,-1)。

(3)組合問題

常規(guī)排列組合

【例】由0,1,2,3,4,5六個(gè)數(shù)組成的六位數(shù)從小到大排列,第五百個(gè)數(shù)是多少?(  )

A.504123

B.504213

C.504132

D.504231

【答案】C

【解析】由1為最高位,則根據(jù)排列組合規(guī)律,共有5×4×3×2×1=120個(gè)數(shù),同理,以2為最高位也有120個(gè)數(shù),依次類推,500÷120=4…20,則第500個(gè)數(shù)是以5為最高位、從小到大排列的第20個(gè)數(shù)字。以5為最高位,0為下一位的數(shù)字有4×3×2×1=24個(gè)。所以所求數(shù)字是以5為首位,0為萬位的數(shù)。以1為千位上的數(shù),則有3×2×1=6個(gè)數(shù)字,故所求數(shù)字的千位上的數(shù)不為1。以2為千位上的數(shù)字同理有6個(gè)數(shù)字,6+6=12,不到20。20÷6=3…2,依此類推可知千位數(shù)字為4的數(shù)字中有所求數(shù)字,且是千位為4的數(shù)字中第二小的數(shù)字。因此該數(shù)字為504132。

概率問題

【例】有5對(duì)夫婦參加一場(chǎng)婚宴,他們被安排在一張10個(gè)座位的圓桌就餐,但是婚禮操辦者并不知道他們彼此之間的關(guān)系。只是隨機(jī)安排座位。問5對(duì)夫婦恰好都被安排在一起相鄰而坐的概率是多少?(  )

A.不超過1%

B.超過1%

C.在5‰到1%之間

D.在1‰到5%之間

【答案】D

【解析】不附加任何條件,10人環(huán)線排列的情況總數(shù)是=9!;5對(duì)夫婦都相鄰而坐,則可以看成由兩步來完成,首先把每對(duì)夫婦看成一個(gè)人,5個(gè)人環(huán)線排列,然后考慮每對(duì)夫婦內(nèi)部的順序。第一步有=4!種情況;第二步有2×2×2×2×2=32種情況。所以情況總數(shù)是4!=32。5對(duì)夫婦恰好都被安排在一起相鄰而坐的概率=,這個(gè)數(shù)的值應(yīng)該略大于=2‰,D項(xiàng)最接近。

容斥原理

【例】某地區(qū)目前就業(yè)狀況如下:有2900人報(bào)考公務(wù)員,博士生有450人,研究生有600人,大學(xué)生有1200人,專科生有650人。要保證考上公務(wù)員的有600人是同一學(xué)歷,問至少有多少人考上公務(wù)員?(  )

A.2248人

B.601人

C.2150人

D.1200人

【答案】A

【解析】由題意可知,每一類別都有盡可能多的人考上,但是不到600人。此時(shí),再多一人,就達(dá)到了600人,則研究生599人,大學(xué)生599人,專科生599人,博士生450人,即最少有599×3+450+1=2248人,即最少有599×3+450+1=2248人。

抽屜原理

【例】對(duì)若干人進(jìn)行測(cè)試,一共5道題,規(guī)定每道題做對(duì)得2分,沒做得1分,做錯(cuò)得0分。考官說這次測(cè)試至少有3個(gè)人每道題的得分都一致。則至少有多少人參加測(cè)試?(  )

A.450

B.488

C.243

D.487

【答案】D

【解析】每道題都有3種得分的可能性,則得分情況共有35=243種,則至少有243×(3-1)+1=487人參加測(cè)試。

(4)行程問題

初等行程問題

【例】一個(gè)人從家到公司,當(dāng)他走到路程的一半的時(shí)候,速度下降了10%,問:他走完全程所用時(shí)間的前半段和后半段所走的路程比是(  )。

A.10:9

B.21:19

C.11:9

D.22:18

【答案】B

【解析】設(shè)前半程速度為10,則后半程速度為9,路程總長(zhǎng)為180,則前半程用時(shí)9,后半程用時(shí)10,總耗時(shí)19,一半為9.5。因此前半段時(shí)間走過的路程為90+9×(9.5-9)=94.5,后半段時(shí)間走過的路程為9×9.5=85.5。兩段路程之比為94.5:85.5=21:19。

相遇問題

【例】甲車從A地,乙車和丙車從B地同時(shí)出發(fā),相向而行。已知甲車每小時(shí)行65公里,乙車每小時(shí)行73公里,丙車每小時(shí)行55公里。甲車和乙車相遇后,經(jīng)過15小時(shí)又與丙車相遇,那么A、B兩地相距(  )公里。

A.10100

B.13800

C.10600

D.14800

【答案】B

【解析】由題意可知,設(shè)從出發(fā)到甲乙相遇經(jīng)過了t小時(shí),得65×15+55×15+55t=73t,得t=100;A、B兩地的距離應(yīng)為:65×100+73×100=13800公里。

追及問題

【例】甲和乙在長(zhǎng)400米的環(huán)形跑道上勻速跑步,如兩人同時(shí)從同一點(diǎn)出發(fā)相向而行,則第一次相遇的位置距離出發(fā)點(diǎn)有150米的路程;如兩人同時(shí)從同一點(diǎn)出發(fā)同向而行,問跑得快的人第一次追上另一人時(shí)跑了多少米?(  )

A.600

B.800

C.1000

D.1200

【答案】C

【解析】由“第一次相遇的位置距離出發(fā)點(diǎn)有150米的路程”可知,兩個(gè)人分別跑了250米和150米,兩人相差250-150=100米。若兩人同時(shí)從同一點(diǎn)出發(fā)同向而行,跑得快的人第一次追上另一人時(shí)定多跑了400米,而速度未變,則此時(shí)跑得快的人跑了400÷100×250=1000米。

行船問題

【例】小剛和小強(qiáng)租一條小船,向上游劃去,不慎把空塑料水壺掉進(jìn)江中,當(dāng)他們發(fā)現(xiàn)并調(diào)過頭時(shí),水壺與船已經(jīng)相距2千米,假定小船的速度是每小時(shí)4千米,水流速度是每小時(shí)2千米,那么他們追上水壺需要多少時(shí)間?(  )

A.0.2小時(shí)

B.0.3小時(shí)

C.0.4小時(shí)

D.0.5小時(shí)

【答案】D

【解析】根據(jù)題意,小船調(diào)轉(zhuǎn)船頭追水壺時(shí)為順流,小船的順流速度是4+2=6千米/時(shí);此時(shí)水壺與船已經(jīng)相距2千米,即追及路程是2千米,水壺的速度即為水流速度,則追及時(shí)間為=0.5小時(shí)。

其他行程問題

【例】一條環(huán)形賽道前半段為上坡,后半段為下坡,上坡和下坡的長(zhǎng)度相等,兩輛車同時(shí)從賽道起點(diǎn)出發(fā)同向行駛,其中A車上下坡時(shí)速相等,而B車上坡時(shí)速比A車慢20%,下坡時(shí)速比A車快20%。問在A車跑到第幾圈時(shí),兩車再次齊頭并進(jìn)?(  )

A.22

B.23

C.24

D.25

【答案】D

【解析】設(shè)A車速度為ν,則B車上坡速度為0.8ν、下坡速度為1.2ν,由等距離平均速度公式可知,B車完成一圈的平均速度為=O.96ν,則A車與B車的速度之比為25:24,即A車完成25圈時(shí),兩車同時(shí)回到起點(diǎn)。

(5)比例問題

工程問題

【例】一項(xiàng)工程,甲一人做完需30天,甲、乙合作完成需18天,乙、丙合作完成需15天。甲、乙、丙三人共同完成該工程需(  )。

A.10天

B.12天

C.8天

D.9天

【答案】A

【解析】設(shè)工作量為90,則甲效率為3,甲效率+乙效率=5,乙效率+丙效率=6,即甲效率為3,乙效率為2,丙效率為4,則三人合作所需時(shí)間為90÷(3+2+4)=10天。

濃度問題

【例】10個(gè)完全一樣的杯子,其中6個(gè)杯子裝有10克酒精,4個(gè)杯子裝有10克純水。如果從中隨機(jī)拿出4個(gè)杯子將其中的液體進(jìn)行混合,問最終得到50%酒精溶液的可能性是得到75%酒精溶液的可能性的多少倍?(  )

A.

B.

C.

D.

【答案】D

【解析】每個(gè)杯子液體質(zhì)量均為10克,則4杯液體的總質(zhì)量為40克,若混合液濃度為50%,則要求酒精為20克,即2杯,此時(shí)水也應(yīng)該為2杯;混合液濃度為75%,則要求酒精為30克,即3杯,則此時(shí)水應(yīng)該為1杯;得到50%濃度混合液的概率為,得到75%濃度混合液的概率為,兩個(gè)概率相除得

鐘表問題

【例】4時(shí)30分后,時(shí)針與分針第一次成直線的時(shí)刻為(  )。

A.4時(shí)40分

B.4時(shí)45

C.4時(shí)54

D.4時(shí)57分

【答案】C

【解析】時(shí)針一小時(shí)走30度,每分鐘走0.5度;分針1分鐘走6度。四點(diǎn)半時(shí),時(shí)針與分針的夾角是45度,則第一次成直線需要(180-45)÷(6-0.5)=24又分,即4點(diǎn)54又分時(shí)第一次成直線。

牛吃草問題

【例】林子里有猴子喜歡吃的野果,23只猴子可以在9周內(nèi)吃光,21只猴子可以在12周內(nèi)吃光,問如果有33只猴子一起吃,則需要幾周吃光?(假定野果生長(zhǎng)的速度不變)(  )

A.2周

B.13周

C.4周

D.5周

【答案】C

【解析】設(shè)一只猴子每周吃的野果量為1個(gè)單位,每周生長(zhǎng)的野果量為(21×12-23×9)÷(12-9)=15個(gè)單位。原有的野果量為(23-15)×9=72個(gè)單位。所以33只猴子一共可以吃72÷(33-15)=4周。

(6)其他問題

年齡問題

【例】趙先生34歲,錢女士30歲。一天他們碰上了趙先生的三個(gè)鄰居,錢女士問起了他們的年齡,趙先生說:他們?nèi)说哪挲g各不相同,三人的年齡之積是2450,三人的年齡之和是我倆年齡之和。問三個(gè)鄰居中年齡最大的是多少歲?(  )

A.42

B.45

C.49

D.50

【答案】D

【解析】三人年齡之積為2450=1×2×5×5×7×7,但同時(shí)三人年齡之和必須為64,則有10×5×49=2450,10+5+49=64,即最大的為49歲。

日期問題

【例】小孫出差歸來,發(fā)現(xiàn)日歷有好幾天沒翻了,就一次翻了6張,這6天的日期數(shù)字加起來是123,請(qǐng)問今天的日期應(yīng)該是(  )。

A.26號(hào)

B.24號(hào)

C.23號(hào)

D.21號(hào)

【答案】B

【解析】6個(gè)日期數(shù)之和是123,平均數(shù)就是123÷6=20.5,也就是說中間兩天的日期應(yīng)該是20號(hào)和21號(hào),這6天的日期依次是18、19、20、21、22、23。那么今天的日期應(yīng)該是24號(hào)。

利潤(rùn)問題

【例】小王周末組織朋友自助游,費(fèi)用均攤,結(jié)賬時(shí),如果每人付450元,則多出100元;如果小王的朋友每人付430元,小王自己要多付60元才剛好,這次活動(dòng)人均費(fèi)用是(  )。

A.437.5元

B.438.0元

C.432.5元

D.435.0元

【答案】A

【解析】設(shè)參加活動(dòng)的人數(shù)為x,即450x-100=430x+60,得x=8。因此每個(gè)人的均攤費(fèi)用為(450×8-100)÷8=437.5元。

統(tǒng)籌規(guī)劃問題

【例】某公司的6名員工一起去用餐,他們各自購買了三種不同食品中的一種,且每人只購買了一份。已知蓋飯15元一份,水餃7元一份,面條9元一份,他們一共花費(fèi)了60元。問他們中最多有幾人買了水餃?(  )

A.1

B.2

C.3

D.4

【答案】C

【解析】設(shè)買蓋飯、水餃、面條的人分別有x、y、z個(gè)。由題意則有15x+7y+9z=60,x+y+z=6。兩式聯(lián)立得y=3(x-1),由于都是整數(shù),所以y只能取0、3、6。由題意可知,y最多取3。

趣味雜題

【例】一次測(cè)驗(yàn)共有10道問答題,每題的評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)是:回答完全正確,得5分;回答不完全正確,得3分;回答完全錯(cuò)誤或不回答,得0分。至少(  )人參加這次測(cè)驗(yàn),才能保證至少有3人的得分相同。

A.89人

B.90人

C.91人

D.92人

【答案】C

【解析】由評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)可知,最高得分為50分,最低得分為0分,由于在0~50分之間,1分、2分、4分、7分、47分、49分不可能出現(xiàn),故共有51-6=45種不同得分情況,最不利的情況是每種得分情況都有兩個(gè)人對(duì)應(yīng),那么若再加一人,則無論他是哪種得分情況都可以保證至少有3人的得分相同,即至少有45×2+1=91人參賽。

3.技巧點(diǎn)撥

公考題量多,時(shí)間緊,考生在應(yīng)試過程中要抓住技巧,快速解題。從分析數(shù)學(xué)運(yùn)算的考查點(diǎn)來看,數(shù)學(xué)運(yùn)算考查內(nèi)容并非在于應(yīng)考者的知識(shí)積累,而在于應(yīng)考者的反應(yīng)速度及應(yīng)變能力。因此,考生要善于總結(jié)方法,熟練掌握一些基本的解題技巧:

(1)湊整法

利用交換律和結(jié)合律,從整數(shù)入手,能夠幫助考生快速抓住題干的重點(diǎn),快速進(jìn)行計(jì)算,得出正確答案。

(2)查找隱含規(guī)律法

找規(guī)律解題是最為明智的選擇。在行測(cè)中,各個(gè)題目或多或少,或明或暗都隱含著一定的規(guī)律,考生要善于抓住隱含的規(guī)律,總結(jié)一類題目的解題策略。

(3)基準(zhǔn)數(shù)法。基準(zhǔn)數(shù)字能夠?yàn)閿?shù)字運(yùn)算提供一個(gè)大致的標(biāo)準(zhǔn),提高考生的運(yùn)算速度。例如:當(dāng)遇到兩個(gè)以上的數(shù)字相加時(shí),可以找一個(gè)合適的中間數(shù)作為基準(zhǔn),然后再加上或減去每個(gè)加數(shù)與基準(zhǔn)數(shù)的差,從而求得它們之和。

(4)歸納總結(jié)、舉一反三法

只有善于總結(jié)歸納,舉一反三,考生才能充分掌握公考的考查規(guī)律,提升自己的解題能力。

(5)其他

排除法、比較法等常用的客觀題解題技巧的運(yùn)用會(huì)幫助考者快速、準(zhǔn)確地選出正確的答案,從而提高答題的效率。

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