三、題型分析

（一）數學運算

1．概述

（1）定義

數學運算是指每道題給出一道算術式子或者表達數量關系的一段文字，要求考生熟練運用加、減、乘、除等基本運算法則，并利用其他基本數學知識，準確迅速地計算或推出結果的題型。

（2）考查要點

①數學運算要求考生熟練運用基本的數學知識，依據題目給出的式子或文字，準確迅速地計算或推出結果。

②數學運算考查的知識涵蓋從小學到高中的數學基礎知識，不是單純的小學數學題，而是能力測試，是對考生的知識儲備量的考查。

③文字型的應用題將會成為數學運算的主流形式，因為它能夠更好地測查分析、推理能力。

2．題型

從題干的形式和考查的內容上分析，數學運算題可分為幾種不同類型。為了更加高效的解題，在考試當中爭分奪秒，我們需要熟悉各個題型特點，優化解題思路。從歷年考試當中可看出數學運算題主要題型有：計算問題、幾何問題、組合問題、行程問題、比例問題和其他問題。

（1）計算問題

①數的性質

【例1】有一個整數，用它分別去除157、324和234，得到的三個余數之和是100，求這個整數是（　　）。

A．44

B．43

C．42

D．41

【答案】D

【解析】由題意可知，所求整數能夠整除157＋324＋234－100＝615，615÷41＝15。因此答案選D。

【例2】有四個自然數A，B，C，D，它們的和不超過400，并且A除以B商是5余5，A除以C商是6余6，A除以D商是7余7。那么，這四個自然數的和是（　　）。

A．216

B．108

C．314

D．348

【答案】C

【解析】A＝B×5＋5＝5×（B＋1），A＝C×6＋6＝6×（C＋1），A＝D×7＋7＝7×（D＋1），故A是5、6、7的倍數，又因為5，6，7的最小公倍數是210，所以A是210的倍數，而A不超過400，故A＝210，代入上述余數基本恒等式，得B＝41，C＝34，D＝29，即這四個自然數的和是A＋B＋C＋D＝314。

【例3】2011×201＋201100－201.1×2910的值為（　　）。

A．20110

B．21010

C．21100

D．21110

【答案】A

【解析】2011×201＋201100－201.1×2910＝2011×（201＋100－291）＝2011×10＝20110。

②算式計算

【例1】已知兩列數2，5，8，11…… 2＋（100－1）×3；5，9，13，17……5＋（100－1）×4。它們都是100項，則兩列數中相同的數有（　　）項。

A．24

B．25

C．26

D．27

【答案】B

【解析】第一個這兩個數列中相同的項是5，且第一個數列的公差為3，第二個數列的公差為4，則這兩個數列中相同的項既是3的倍數又是4的倍數，所求即轉換為求首項為5，公差為12的等差數列的項數，又第一個數列最大的數為2＋（100－1）×3＝299，第二個數列最大的數為5＋（100－1）×4＝401，新數列最大不能超過299，又5＋12×24＝293，5＋12×25＝305，則兩列數中相同的數有25項。

【例2】小明今年（1995年）的年齡是他出生那年的年份的數字之和。問：小明今年多少歲？（　　）

A．21

B．24

C．18

D．20

【答案】A

【解析】設小明出生時是19ab，則1＋9＋a＋b＝95－10a－b，從而11a＋2b＝85。當a≥8時，11a＋2b＞85；當a≤6時，11a＋2b≤66＋2×9＝84，所以必有a＝7，b＝4，即小明今年是1＋9＋7＋4＝21歲。

【例3】如x⊕y＝x²＋y²，則3⊕1⊕3＝（　　）。

A．109

B．100

C．120

D．160

【答案】A

【解析】3⊕1＝3²＋1²＝10，則3⊕1⊕3＝10⊕3＝10²＋3²＝109。

（2）幾何問題

①平面幾何問題

【例】一個正三角形和一個正六邊形周長相等，則正六邊形面積為正三角形的（　　）。

A．倍

B．1.5倍

C．倍

D．2倍

【答案】B

【解析】設正三角形和一個正六邊形的周長為6，六邊形的邊長為1，三角形的邊長為2；正六邊形可以分成6個邊長為1的小正三角形，邊長為2的正三角形可以分成4個邊長為1的小正三角形。所以正六邊形面積:正三角形的面積＝6:4，即正六邊形面積為正三角形的1.5倍。

②立體幾何問題

【例】工作人員做成了一個長60厘米、寬40厘米、高22厘米的箱子，因丈量錯誤，長和寬均比設計尺寸多了2厘米，而高比設計尺寸少了3厘米，那么該箱子的表面積與設計時的表面積相差多少平方厘米？（　　）

A．4

B．20

C．8

D．40

【答案】C

【解析】由題意可知，原設計的箱子的表面積為2×（58×38＋38×25＋58×25），尾數為8，加工后的箱子表面積為2×（60×40＋60×22＋40×22），尾數為0，則表面積差為2×（58×38＋38×25＋58×25）－2×（60×40＋60×22＋40×22），8－0＝8平方厘米。

③幾何性質問題

【例】N是正方形ABCD內一點，如果NA:NB:NC＝2:4:6，則∠ANB的度數為（　　）。

A．120°

B．135°

C．150°

D．以上都不正確

【答案】B

【解析】過B作BN′⊥BN，且使BN′＝BN，連接N′A，N′N，如下圖所示，因為∠N′BN＝∠ABC＝90°，得∠N′BA＝∠NBC。又因為AB＝BC，BN′＝BN，有△N′AB≌△NCB，則N′A＝NC，設NB＝4x，NC＝N′A＝6x。在直角△NBN′中，∠NN′B＝45°，且NN′＝4x，在△N′AN中，N′A＝N′N，所以∠N′NA＝90°，得∠ANB＝135°。

圖1-1

④平面解析幾何

【例】在平面直角坐標系中，如果點P（3a－9，1－a）在第三象限內，且橫坐標縱坐標都是整數，則點P的坐標是（　　）。

A．（－1，－3）

B．（－3，－1）

C．（－3，2）

D．（－2，－3）

【答案】B

【解析】點P在第三象限，則橫坐標和縱坐標都小于0，即3a－9＜0，1－a＜0，解得1＜a＜3。由于橫縱坐標都是整數，所以a是整數，則a＝2。因此P點坐標為（－3，－1）。

（3）組合問題

①常規排列組合

【例】由0，1，2，3，4，5六個數組成的六位數從小到大排列，第五百個數是多少？（　　）

A．504123

B．504213

C．504132

D．504231

【答案】C

【解析】由1為最高位，則根據排列組合規律，共有5×4×3×2×1＝120個數，同理，以2為最高位也有120個數，依次類推，500÷120＝4…20，則第500個數是以5為最高位、從小到大排列的第20個數字。以5為最高位，0為下一位的數字有4×3×2×1＝24個。所以所求數字是以5為首位，0為萬位的數。以1為千位上的數，則有3×2×1＝6個數字，故所求數字的千位上的數不為1。以2為千位上的數字同理有6個數字，6＋6＝12，不到20。20÷6＝3…2，依此類推可知千位數字為4的數字中有所求數字，且是千位為4的數字中第二小的數字。因此該數字為504132。

②概率問題

【例】有5對夫婦參加一場婚宴，他們被安排在一張10個座位的圓桌就餐，但是婚禮操辦者并不知道他們彼此之間的關系。只是隨機安排座位。問5對夫婦恰好都被安排在一起相鄰而坐的概率是多少？（　　）

A．不超過1％

B．超過1％

C．在5‰到1％之間

D．在1‰到5％之間

【答案】D

【解析】不附加任何條件，10人環線排列的情況總數是＝9！；5對夫婦都相鄰而坐，則可以看成由兩步來完成，首先把每對夫婦看成一個人，5個人環線排列，然后考慮每對夫婦內部的順序。第一步有＝4！種情況；第二步有2×2×2×2×2＝32種情況。所以情況總數是4！＝32。5對夫婦恰好都被安排在一起相鄰而坐的概率＝＝＝，這個數的值應該略大于＝2‰，D項最接近。

③容斥原理

【例】某地區目前就業狀況如下：有2900人報考公務員，博士生有450人，研究生有600人，大學生有1200人，專科生有650人。要保證考上公務員的有600人是同一學歷，問至少有多少人考上公務員？（　　）

A．2248人

B．601人

C．2150人

D．1200人

【答案】A

【解析】由題意可知，每一類別都有盡可能多的人考上，但是不到600人。此時，再多一人，就達到了600人，則研究生599人，大學生599人，專科生599人，博士生450人，即最少有599×3＋450＋1＝2248人,即最少有599×3＋450＋1＝2248人。

④抽屜原理

【例】對若干人進行測試，一共5道題，規定每道題做對得2分，沒做得1分，做錯得0分。考官說這次測試至少有3個人每道題的得分都一致。則至少有多少人參加測試？（　　）

A．450

B．488

C．243

D．487

【答案】D

【解析】每道題都有3種得分的可能性，則得分情況共有3⁵＝243種，則至少有243×（3－1）＋1＝487人參加測試。

（4）行程問題

①初等行程問題

【例】一個人從家到公司，當他走到路程的一半的時候，速度下降了10％，問：他走完全程所用時間的前半段和后半段所走的路程比是（　　）。

A．10:9

B．21:19

C．11:9

D．22:18

【答案】B

【解析】設前半程速度為10，則后半程速度為9，路程總長為180，則前半程用時9，后半程用時10，總耗時19，一半為9.5。因此前半段時間走過的路程為90＋9×（9.5－9）＝94.5，后半段時間走過的路程為9×9.5＝85.5。兩段路程之比為94.5:85.5＝21:19。

②相遇問題

【例】甲車從A地，乙車和丙車從B地同時出發，相向而行。已知甲車每小時行65公里，乙車每小時行73公里，丙車每小時行55公里。甲車和乙車相遇后，經過15小時又與丙車相遇，那么A、B兩地相距（　　）公里。

A．10100

B．13800

C．10600

D．14800

【答案】B

【解析】由題意可知，設從出發到甲乙相遇經過了t小時，得65×15＋55×15＋55t＝73t，得t＝100；A、B兩地的距離應為：65×100＋73×100＝13800公里。

③追及問題

【例】甲和乙在長400米的環形跑道上勻速跑步，如兩人同時從同一點出發相向而行，則第一次相遇的位置距離出發點有150米的路程；如兩人同時從同一點出發同向而行，問跑得快的人第一次追上另一人時跑了多少米？（　　）

A．600

B．800

C．1000

D．1200

【答案】C

【解析】由“第一次相遇的位置距離出發點有150米的路程”可知，兩個人分別跑了250米和150米，兩人相差250－150＝100米。若兩人同時從同一點出發同向而行，跑得快的人第一次追上另一人時定多跑了400米，而速度未變，則此時跑得快的人跑了400÷100×250＝1000米。

④行船問題

【例】小剛和小強租一條小船，向上游劃去，不慎把空塑料水壺掉進江中，當他們發現并調過頭時，水壺與船已經相距2千米，假定小船的速度是每小時4千米，水流速度是每小時2千米，那么他們追上水壺需要多少時間？（　　）

A．0.2小時

B．0.3小時

C．0.4小時

D．0.5小時

【答案】D

【解析】根據題意，小船調轉船頭追水壺時為順流，小船的順流速度是4＋2＝6千米/時；此時水壺與船已經相距2千米，即追及路程是2千米，水壺的速度即為水流速度，則追及時間為＝0.5小時。

⑤其他行程問題

【例】一條環形賽道前半段為上坡，后半段為下坡，上坡和下坡的長度相等，兩輛車同時從賽道起點出發同向行駛，其中A車上下坡時速相等，而B車上坡時速比A車慢20％，下坡時速比A車快20％。問在A車跑到第幾圈時，兩車再次齊頭并進？（　　）

A．22

B．23

C．24

D．25

【答案】D

【解析】設A車速度為ν，則B車上坡速度為0.8ν、下坡速度為1.2ν，由等距離平均速度公式可知，B車完成一圈的平均速度為＝＝O.96ν，則A車與B車的速度之比為25:24，即A車完成25圈時，兩車同時回到起點。

（5）比例問題

①工程問題

【例】一項工程，甲一人做完需30天，甲、乙合作完成需18天，乙、丙合作完成需15天。甲、乙、丙三人共同完成該工程需（　　）。

A．10天

B．12天

C．8天

D．9天

【答案】A

【解析】設工作量為90，則甲效率為3，甲效率＋乙效率＝5，乙效率＋丙效率＝6，即甲效率為3，乙效率為2，丙效率為4，則三人合作所需時間為90÷（3＋2＋4）＝10天。

②濃度問題

【例】10個完全一樣的杯子，其中6個杯子裝有10克酒精，4個杯子裝有10克純水。如果從中隨機拿出4個杯子將其中的液體進行混合，問最終得到50％酒精溶液的可能性是得到75％酒精溶液的可能性的多少倍？（　　）

A．

B．

C．

D．

【答案】D

【解析】每個杯子液體質量均為10克，則4杯液體的總質量為40克，若混合液濃度為50％，則要求酒精為20克，即2杯，此時水也應該為2杯；混合液濃度為75％，則要求酒精為30克，即3杯，則此時水應該為1杯；得到50％濃度混合液的概率為，得到75％濃度混合液的概率為，兩個概率相除得。

③鐘表問題

【例】4時30分后，時針與分針第一次成直線的時刻為（　　）。

A．4時40分

B．4時45分

C．4時54分

D．4時57分

【答案】C

【解析】時針一小時走30度，每分鐘走0.5度；分針1分鐘走6度。四點半時，時針與分針的夾角是45度，則第一次成直線需要（180－45）÷（6－0.5）＝24又分，即4點54又分時第一次成直線。

④牛吃草問題

【例】林子里有猴子喜歡吃的野果，23只猴子可以在9周內吃光，21只猴子可以在12周內吃光，問如果有33只猴子一起吃，則需要幾周吃光？（假定野果生長的速度不變）（　　）

A．2周

B．13周

C．4周

D．5周

【答案】C

【解析】設一只猴子每周吃的野果量為1個單位，每周生長的野果量為（21×12－23×9）÷（12－9）＝15個單位。原有的野果量為（23－15）×9＝72個單位。所以33只猴子一共可以吃72÷（33－15）＝4周。

（6）其他問題

①年齡問題

【例】趙先生34歲，錢女士30歲。一天他們碰上了趙先生的三個鄰居，錢女士問起了他們的年齡，趙先生說：他們三人的年齡各不相同，三人的年齡之積是2450，三人的年齡之和是我倆年齡之和。問三個鄰居中年齡最大的是多少歲？（　　）

A．42

B．45

C．49

D．50

【答案】D

【解析】三人年齡之積為2450＝1×2×5×5×7×7，但同時三人年齡之和必須為64，則有10×5×49＝2450，10＋5＋49＝64，即最大的為49歲。

②日期問題

【例】小孫出差歸來，發現日歷有好幾天沒翻了，就一次翻了6張，這6天的日期數字加起來是123，請問今天的日期應該是（　　）。

A．26號

B．24號

C．23號

D．21號

【答案】B

【解析】6個日期數之和是123，平均數就是123÷6＝20.5，也就是說中間兩天的日期應該是20號和21號，這6天的日期依次是18、19、20、21、22、23。那么今天的日期應該是24號。

③利潤問題

【例】小王周末組織朋友自助游，費用均攤，結賬時，如果每人付450元，則多出100元；如果小王的朋友每人付430元，小王自己要多付60元才剛好，這次活動人均費用是（　　）。

A．437.5元

B．438.0元

C．432.5元

D．435.0元

【答案】A

【解析】設參加活動的人數為x，即450x－100＝430x＋60，得x＝8。因此每個人的均攤費用為（450×8－100）÷8＝437.5元。

④統籌規劃問題

【例】某公司的6名員工一起去用餐，他們各自購買了三種不同食品中的一種，且每人只購買了一份。已知蓋飯15元一份，水餃7元一份，面條9元一份，他們一共花費了60元。問他們中最多有幾人買了水餃？（　　）

A．1

B．2

C．3

D．4

【答案】C

【解析】設買蓋飯、水餃、面條的人分別有x、y、z個。由題意則有15x＋7y＋9z＝60，x＋y＋z＝6。兩式聯立得y＝3（x－1），由于都是整數，所以y只能取0、3、6。由題意可知，y最多取3。

⑤趣味雜題

【例】一次測驗共有10道問答題，每題的評分標準是：回答完全正確，得5分；回答不完全正確，得3分；回答完全錯誤或不回答，得0分。至少（　　）人參加這次測驗，才能保證至少有3人的得分相同。

A．89人

B．90人

C．91人

D．92人

【答案】C

【解析】由評分標準可知，最高得分為50分，最低得分為0分，由于在0～50分之間，1分、2分、4分、7分、47分、49分不可能出現，故共有51－6＝45種不同得分情況，最不利的情況是每種得分情況都有兩個人對應，那么若再加一人，則無論他是哪種得分情況都可以保證至少有3人的得分相同，即至少有45×2＋1＝91人參賽。

3．技巧點撥

公考題量多，時間緊，考生在應試過程中要抓住技巧，快速解題。從分析數學運算的考查點來看，數學運算考查內容并非在于應考者的知識積累，而在于應考者的反應速度及應變能力。因此，考生要善于總結方法，熟練掌握一些基本的解題技巧：

（1）湊整法

利用交換律和結合律，從整數入手，能夠幫助考生快速抓住題干的重點，快速進行計算，得出正確答案。

（2）查找隱含規律法

找規律解題是最為明智的選擇。在行測中，各個題目或多或少，或明或暗都隱含著一定的規律，考生要善于抓住隱含的規律，總結一類題目的解題策略。

（3）基準數法。基準數字能夠為數字運算提供一個大致的標準，提高考生的運算速度。例如：當遇到兩個以上的數字相加時，可以找一個合適的中間數作為基準，然后再加上或減去每個加數與基準數的差，從而求得它們之和。

（4）歸納總結、舉一反三法

只有善于總結歸納，舉一反三，考生才能充分掌握公考的考查規律，提升自己的解題能力。

（5）其他

排除法、比較法等常用的客觀題解題技巧的運用會幫助考者快速、準確地選出正確的答案，從而提高答題的效率。

（二）數字推理

1．概述

（1）定義

數字推理是指每道題給出一個含有一定規律的數列，但其中缺少一項，要求考生仔細觀察這個數列各數字之間的關系，找出其中的規律，然后從四個供選擇的答案中選出最合適、最合理的一個來填補空缺項，使之符合原數列的排列規律的題。

（2）考查要點

從數字推理考查的重點看，實質就是考查考生對數字的敏感度，主要體現在以下幾點：

①歸納數字特點。考生要善于歸納數字特點，提升對數字的認識程度，這是最基本的能力。

②概括數間關系。對數間關系的認識能力是數字推理所考查的最重要的能力。

③判斷數列結構。對題干結構的判斷能力反映的是考生對數字推理題干的整體認識程度。

2．主要題型

（1）多級數列

【例】1，8，22，50，99，（　　）。

A．120

B．134

C．142

D．176

【答案】D

【解析】依次將相鄰兩項做差得7、14、28、49；再次作差得7、14、21，是公差為7的等差數列，即所填數字為21＋7＋49＋99＝176。

（2）遞推數列

【例】3，7，16，65，321，（　　）。

A．4542

B．4544

C．4546

D．4548

【答案】C

【解析】7＝2²＋3，16＝3²＋7，65＝7²＋16，321＝16²＋65，第一項²＋第二項＝第三項，即所填數字為65²＋321。尾數為5＋1＝6。因此答案選C。

（3）分數數列

【例】，，（　　）。

A．

B．

C．

D．

【答案】D

【解析】分子依次為：2＝1＋1，5＝2＋3，13＝5＋8；分母依次為：3＝1＋2，8＝3＋5，21＝8＋13。從第二項開始，分數的分子為前一個分數的分子、分母之和，分母為前一個分數的分母與所求項分數的分子之和，即所填數字為＝。

（4）冪次數列

【例】1，，，2，（　　）。

A．

B．，

C．

D．

【答案】D

【解析】1＝，＝，＝，＝，規律為（n≥1），即所填數字為＝＝。

（5）組合數列

【例】2，11，14，（　　），34。

A．18

B．21

C．24

D．27

【答案】D

【解析】3＝1²＋2，2＝2²－2，11＝3²＋2，14＝4²－2，冪次項的底數是公差為1的等差數列，指數均為2；偶數項＝冪次項－2，奇數項＝冪次項＋2。即所填數字為5²＋2＝27。

（6）圖形數陣

【例】（　　）。

A．7

B．5

C．3

D．9

【答案】C

【解析】從每一行來看，15＋2＋3＝20，22＋4＋14＝40，從上至下，若加入10，則每一行三個數字之和可構成公差為10的等差數列，即所填數字為30－10－17＝3。

3．技巧點撥

數字推理有一定的難度，并且朝著混合數列的方向發展，著重考查考生的思維能力。考生在備考過程中，要善于總結解題技巧，在提高準確率的基礎上加快速度，節省時間。基本解題步驟如下：

（1）快速總結數列特點。快速掌握數列的特點是準確解題的關鍵，考生要培養對數列特點的觀察能力，熟悉常見的數列規律，提高對數列的認識能力。

（2）觀察鄰項之間的關系。在難以得出數列特點的情況下，可以通過考察鄰項之間的關系，找出數列之間的規律。

（3）回歸數字本身。在上述方法行不通的情況下，考生可以通過回歸數列中的每一個數字本身，尋找其在構成上的特點。

備考數字推理的要領在于培養數字的敏感度，逐步建立“單數字發散、多數字聯系”的思維方式；多視角、全方位的觀察數字特征，熟練掌握基本題型，開闊視野，以培養對新題型的適應能力。