第10章　機(jī)械振動(dòng)和電磁振蕩

一、選擇題

1．圖10-1中A、B、C為三個(gè)不同的簡(jiǎn)諧振動(dòng)系統(tǒng)。組成各系統(tǒng)的各彈簧的原長(zhǎng)、各彈簧的勁度系數(shù)及重物質(zhì)量均相同。A、B、C三個(gè)振動(dòng)系統(tǒng)的ω²（ω為固有角頻率）值之比為（　  ）。[華南理工大學(xué)2009研]

圖10-1

A．2:1:　 

B．1:2:4

C．2:2:1

D．1:1:2

【答案】B

【解析】圖10-1（a）為兩彈簧串聯(lián)即，

圖10-1（a）為兩彈簧并聯(lián)即，

故A、B、C三個(gè)振動(dòng)系統(tǒng)的ω²（ω為固有角頻率）值之比為:

2．把一根十分長(zhǎng)的繩子拉成水平，用手握其一端，維持拉力恒定，使繩端在垂直于繩子的方向上作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，則（　　）。[華南理工大學(xué)2009研]

A．振動(dòng)頻率越高，波長(zhǎng)越長(zhǎng)

B．振動(dòng)頻率越低，波長(zhǎng)越長(zhǎng)

C．振動(dòng)頻率越高，波速越大

D．振動(dòng)頻率越低，波速越大

【答案】B

【解析】此簡(jiǎn)諧波為橫波，柔軟繩索中橫波的傳播速度為（為繩索中的張力，為繩索單位長(zhǎng)度的質(zhì)量），故當(dāng)維持拉力恒定時(shí)則波速恒定。又波速、波長(zhǎng)和頻率滿(mǎn)足如下關(guān)系:，故振動(dòng)頻率越低，波速不變時(shí)波長(zhǎng)越長(zhǎng)。

3．兩相干波源S₁和S₂相距λ／4，（λ為波長(zhǎng)），S₁的相位比S₂的相位超前，在S₁，S₂的連線(xiàn)上，S₁外側(cè)各點(diǎn)（例如P點(diǎn)）兩波引起的兩諧振動(dòng)的相位差是（　　）。[華南理工大學(xué)2010研]

圖10-2

A．0　 

B．

C．

D．

【答案】C

【解析】如：假設(shè)兩個(gè)波源相位相同，由于S1更靠近P ,所以其在P引起的振動(dòng)應(yīng)當(dāng)超前；又由于S1本身比S2超前，所以S1 在P引起的振動(dòng)應(yīng)當(dāng)超前

4．一質(zhì)點(diǎn)沿著x軸作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，周期為T(mén)、振幅為A，質(zhì)點(diǎn)從x₁＝0運(yùn)動(dòng)到所需要的最短時(shí)間為（　　）。[電子科技大學(xué)2009研]

A．　 

B． 

C．　

D．

【答案】A

【解析】設(shè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程為：，則

假設(shè)x₁＝0時(shí)對(duì)應(yīng)，將代入運(yùn)動(dòng)方程得

當(dāng)k＝0時(shí)有最短時(shí)間。

5．兩質(zhì)點(diǎn)1和2均沿x軸作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，振幅分別為A₁和A₂，振動(dòng)頻率相同。在t＝0時(shí)，質(zhì)點(diǎn)1在平衡位置向x軸負(fù)向運(yùn)動(dòng)，質(zhì)點(diǎn)2在處向x軸正向運(yùn)動(dòng)，則兩質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)的位相差為（　　）。[電子科技大學(xué)2010研]

A．　

B．　

C．　

D．

【答案】D

【解析】設(shè)質(zhì)點(diǎn)1、2的振動(dòng)方程分別為，當(dāng)t＝0時(shí)＝0且向x軸負(fù)向運(yùn)動(dòng)，＝且向x軸正向運(yùn)動(dòng)，那么：

得

6．一質(zhì)點(diǎn)作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，其振動(dòng)方程為x＝Acos（ωt＋φ）。在求質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)動(dòng)能時(shí)，得出下面5個(gè)表達(dá)式：

其中m是質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量，K是彈簧的勁度系數(shù)，T是振動(dòng)的周期。這些表達(dá)式中（　　）。[華南理工大學(xué)2010研]

A．（1），（4）是對(duì)的

B．（2），（4）是對(duì)的

C．（1），（5）是對(duì)的

D．（3），（5）是對(duì)的

E．（2），（5）是對(duì)的

【答案】D

【解析】在振動(dòng)中，質(zhì)點(diǎn)機(jī)械能守恒。在質(zhì)點(diǎn)速度為0時(shí)，其勢(shì)能為，也就是系統(tǒng)的總機(jī)械能。在任意時(shí)刻，動(dòng)能與勢(shì)能之和不變，所以動(dòng)能可以表示為

又

則

故（1）（3）（5）正確。

二、填空題

1．一質(zhì)點(diǎn)同時(shí)參與了三個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)，它們的振動(dòng)方程分別為

其合成運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程為x＝（　　）。[華南理工大學(xué)2011研]

【答案】x＝0；

【解析】運(yùn)用矢量圖進(jìn)行簡(jiǎn)化計(jì)算：

2．一列火車(chē)以20m／s的速度行駛，若機(jī)車(chē)汽笛的頻率為600Hz，一靜止觀測(cè)者在機(jī)車(chē)前和機(jī)車(chē)后所聽(tīng)到的聲音頻率分別為（　　）和（　　）（設(shè)空氣中聲速為340m／s）。[華南理工大學(xué)2011研]

【答案】637.5Hz；566.7Hz

【解析】（1）多普勒公式為 其中，、分別為波源和觀察者的速度；當(dāng)觀察者站在機(jī)車(chē)前面時(shí)，為0，為20，帶入數(shù)值可得：。

（2）同理可得，機(jī)車(chē)后面接受到的頻率為：。

3．一圓錐擺擺長(zhǎng)為l、擺錘質(zhì)量為m，在水平面上作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，擺線(xiàn)與鉛直線(xiàn)夾角θ，則

（1）擺線(xiàn)的張力T＝（　　）；

（2）擺錘的速率v＝（　　）。[華南理工大學(xué)2010研]

圖10-3

【答案】；

【解析】在豎直方向上；在水平方向上，解得

三、計(jì)算題

1．一振幅為10cm，波長(zhǎng)為200cm的一維余弦波。沿x軸正向傳播，波速為100cm／s，在t＝0時(shí)原點(diǎn)處質(zhì)點(diǎn)在平衡位置向正位移方向運(yùn)動(dòng)。求

（1）原點(diǎn)處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方程。

（2）在x＝150cm處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方程。[華南理工大學(xué)2011研]

解：（1）設(shè)波動(dòng)方程為：，由已知條件可知，

，，。

則對(duì)于原點(diǎn)O的振動(dòng)方程為：

t＝0時(shí)刻原點(diǎn)的位移為

t＝0時(shí)刻原點(diǎn)O的速度為：

由題意可知

所以

故波動(dòng)方程為：

原點(diǎn)位置處的振動(dòng)方程為：

（2）當(dāng)時(shí)，振動(dòng)方程為：

2．如圖10-4所示，一簡(jiǎn)諧波向x軸正向傳播，波速u(mài)＝500m/s，x₀＝1m，P點(diǎn)的振動(dòng)方

（1）按圖所示坐標(biāo)系，寫(xiě)出相應(yīng)的波的表達(dá)式；

（2）在圖上畫(huà)出t＝0時(shí)刻的波形曲線(xiàn)。[華南理工大學(xué)2009研]

圖10-4

解：（1）∵x₀＝1m，P點(diǎn)的振動(dòng)方程為

∴相應(yīng)波的表達(dá)式為:

（2）由題知，波長(zhǎng) ，

令得，零時(shí)刻波形為：，其波形如下：

圖10-5

3．如圖10-6所示，已知一平面余弦波振幅A＝0.05m，波速v＝3ms^－1，周期T＝1s，若波源O距反射面B的距離為L(zhǎng)＝3m，OC＝L/3，波源的初相位為零，求：

（1）反射波方程；

（2）與原點(diǎn)O相距x的P點(diǎn)處的合成波方程；

（3）與原點(diǎn)相距x＝1m處C點(diǎn)的振動(dòng)方程。[南京航空航天大學(xué)2007研]

圖10-6

解：（1）如圖10-6所示，建立坐標(biāo)系；則入射波方程為：

設(shè)反射波方程為：

在反射面B點(diǎn)有：

解得：

所以反射波的波動(dòng)方程為：

（2）合成的波的波動(dòng)方程為：

（3）C點(diǎn)的振動(dòng)方程為：