1.2　課后習題詳解

1-1  英制中系統采用華氏溫標，它規定在標準大氣壓（101325Pa）下純水的冰點是32°F，汽點是212°F，試推導華氏溫度與攝氏溫度的換算關系。

解：由題意可知，純水的冰點為0℃，汽點是100℃。

1-2  英制系統中，朗肯溫度與華氏溫度的關系為{T}°_R{t}_°F＋459.67。已知熱力學絕對溫標及朗肯溫標在純水冰點的讀數分別是273.15K和491.67°R；汽點的讀數分別是373.15K和671.67°R。

（1）導出朗肯溫度和開爾文溫度的關系式；

（2）開爾文溫標上絕對零度在朗肯溫標上是多少度？

解:（1）設任意溫度T在朗肯溫標上讀數為T（°R），在熱力學絕對溫標上讀數為T{K}，則由題意可得：

（2）由（1）可知，當T（K）＝0時，T（°R）＝0

1-3  設一新溫標，用符號°N表示溫度單位（它的絕對溫標是用°Q表示溫度單位）。規定純水的冰點和汽點分別為100°N和1000°N。試求：

（1）該新溫標與攝氏溫標的關系；

（2）若該溫標的絕對零度與熱力學溫標零度相同，則該溫標讀數為0°N時，其絕對溫標讀數是多少°Q？

解:（1）由題意可知

（2）設T（°Q）＝T（°N）＋C，C為常數

則有

據題設有當T（K）＝0時，有T（°Q）＝0

即有0＝9（0－273.15）＋900＋C

得C＝2358.35

因此有T（°Q）＝T（°N）＋2358.35

當T（°N）＝0時，有T（°Q）＝2358.35°Q

1-4  直徑為1m的球形剛性容器，抽氣后真空度為752.5mmHg，若當地大氣為0.101MPa，求：

（1）容器內絕對壓力為多少Pa？

（2）容器表面受力多少N？

解：（1）由題意可知

p＝p_b－p_v＝0.101×10⁶－752.5×133.3＝691.75Pa

（2）由題意可知

1-5  用U型壓力計測量容器中氣體的壓力，在水銀柱上加一段水，測得水柱高1020mm，水銀柱高900mm，如圖1-1所示，若當地大氣壓為755mmHg，求容器中氣體的壓力（MPa）。

解：由圖1-1可知，

圖1-1

p＝p_空＋p_水諸＋p_水銀柱

＝（755×133.3）＋（1020×9.81）＋（900×133.3）

＝2.306×10⁵Pa

1-6  容器中的真空度為p_v＝600mmHg，氣壓計上水銀柱高度為p_b＝755mm，求容器中的絕對壓力（以MPa表示）。如果容器中的絕對壓力不變，而氣壓計上水銀柱高度為p＇_b＝770mm，求此時真實表上的讀數（以mmHg表示）是多少？

解：由題意可得絕對壓力

p＝p_b－p_v＝（755－600）×133.3＝0.0207MPa＝155mmHg

若容器中絕對壓力保持不變，而大氣壓力變為p＇_b＝770mmHg

則此時真空表上的讀數為p＇_v＝p＇_b－p＝（770－155）mmHg＝615mmHg

1-7  用斜管壓力計測量鍋爐煙道煙氣的真空度（見圖1-2）管子的傾斜角α＝30°，壓力計中使用密度ρ＝0.8×10³kg/m³的煤油，斜管中液柱長度l＝200mm。當地大氣壓力p_v＝745mmHg。求煙氣的真空度（以mmH₂O表示）及絕對壓力（以Pa表示）。

圖1-2

解：由題意可知，傾斜壓力計上讀數即為煙氣的真空度

得p_v＝ρlgsinα＝0.8×10³×200×10^－3×9.81×0.5Pa＝80×9.81Pa

又因為1mmH₂O＝9.81Pa，所以p_v＝80×9.81Pa＝80mmH₂O

絕對壓力p＝p_b－p_v＝（745×133.3）－（80×9.81）＝9.85×10⁴Pa

1-8  壓力鍋因其內部壓力和溫度比普通鍋高，而縮短了蒸煮食物的時間。壓力鍋的蓋子密封良好，蒸汽只能從蓋子中間的縫隙逸出，在縫隙的上方有一個可移動的小柱塞，所以只有鍋內蒸汽的壓力超過了柱塞的壓力后，蒸汽才能逸出（圖1-3）。蒸汽周期性逸出使鍋內壓力近似認為恒定，也防止了鍋內壓力過高產生的危險。若蒸汽逸出時壓力鍋內壓力應達到201kPa，壓力鍋蓋縫隙的橫截面積為4mm²，當地大氣壓力平均為101kPa，試求小柱塞的質量。

圖1-3

解:由題意可知，蒸汽逸出時壓力鍋內壓力即為柱塞的壓力，即有

p_鍋＝p_柱＝p_b＋mg/A

所以

1-9  容器被分隔成AB兩室，如圖1-4所示，已知當地大氣壓p_b＝0.1013MPa，氣壓表2讀數為p_e2＝0.04MPa，氣壓表1的讀數為p_e1＝0.294MPa，求氣壓表3的讀數（用MPa表示）。

圖1-4

解：由題意可知

p_A＝p_b＋p_e1

p_B＝p_b＋p_e3

p_e2＝︱p_A－p_B︱＝︱p_e1－p_e3︱

所以p_e3＝p_e1±p_e2

當p_A＞p_B時，有p_e3＝p_e1－p_e2＝0.294－0.04＝0.254MPa

當p_A＜p_B時，有p_e3＝p_e1＋p_e2＝0.294＋0.04＝0.334MPa

1-10  起重機以每秒2m的恒速提升總質量為450kg的水泥塊，試求所需功率。

解:由題意可知，當勻速提升總質量為450kg的水泥塊時，其功率

P＝Fv＝mgv＝450×9.81×2＝8826W

1-11  電阻加熱器的電阻15Ω，現在10A的電流流經電阻絲，求功率。

解:由題意可知

P＝UI＝I²R＝10²×15＝1500W

1-12  氣缸中密封有空氣，初態為p₁＝0.2MPa，V₁＝0.4m³，緩慢脹到V₂＝0.8m³。

（1）過程中pV保持不變；

（2）過程中氣體先從{p}_MPa＝0.4－0.5{V}m³膨脹到V_a＝0.6m³，再維持壓力不變，膨脹到V₂＝0.8m³。分別求出兩過程中氣體做的膨脹功。

解:（1）由題設可知

（2）當膨脹到V_a＝0.6mm³時，此時的壓力p₂＝0.4－0.5×0.6＝0.1MPa

1-13  某種理想氣體在其狀態變化過程中服從pvⁿ＝常數的規律，其中n是定值，p是壓力，v是比體積。試據，導出氣體在該過程中做的功為

解：由題意可知

證畢

1-14  測得某汽油機氣缸內燃氣的壓力與容積對應值如下表所示，求燃氣在該膨脹過程中所做的功。

表1-1

解:由表1-1可知，缸內燃氣壓力波動較大，為了簡化該過程，特取兩狀態之間的平均壓力進行近似計算。所以

1-15  有一絕對真空的鋼瓶，當閥門打開時，在大氣壓p₀＝1.013×10⁵Pa的作用下，有體積為0.1m³的空氣被輸入鋼瓶，求大氣對輸入鋼瓶的空氣所做的功為多少？

解:由題意可知

W＝p₀V＝1.013×10⁵×0.1＝1.013×10⁴J

1-16  某種氣體在氣缸中進行一緩慢膨脹過程。其體積由0.1m³增加到0.25m³。過程中氣體壓力循{p}_MPa＝0.24－0.4{V}m³變化。若過程中氣缸與活塞的摩擦保持為1200N；當地大氣壓力為0.1MPa；氣缸截面積為0.1m²。試求

（1）氣體所作的膨脹功W；

（2）系統輸出的有用功W_u；

（3）若活塞與氣缸無摩擦，系統輸出的有用功W_u，re。

解:（1）由題意可知

（2）氣體膨脹排斥大氣的消耗功W₁

W₁＝p_b（V₂－V₁）＝0.1×（0.25－0.1）×10⁶＝0.015×10⁶J

摩擦力消耗的功W₂

所以W_u＝W－W₁－W₂＝0.0255×10⁶－0.015×10⁶－1800＝8700J

（3）若活塞與氣缸無摩擦，則有用功W_u，re

W_u，re＝W－W₁＝0.0255×10⁶－0.015×10⁶＝10500J

1-17  某蒸汽動力廠加入鍋爐的每1MW能量要從冷凝器排出0.58MW能量，同時水泵消耗0.02MW的功，求汽輪機輸出功率和電廠的熱效率。

解：由題意可知，汽輪機的輸出功率P_出

P_出＝P_產－P_水泵－P_冷＝1－0.02－0.58＝0.4MW

電廠的效率為

1-18  汽車發動機的熱效率為35％，車內空調器的工作性能系數為3，求每從車內排除1kJ熱量消耗燃油的能量。

解：由題意可知，設汽車發動機輸出循環凈功為W

則有

所以

1-19  據統計資料，某地各發電廠平均發1kW·h的電耗標煤372g，若標煤的熱值是29308kJ/kg，試求電廠平均熱效率η_t是多少？

解:由題意可知，

1-20  某空調器輸入功率1.5kW需向環境介質輸出熱量5.1kW,求空調器的制冷系數。

解：由題意可得，制冷量Φ₂＝Φ₁－P_c＝5.1－1.5＝3.6kW

所以得制冷系數

1-21  某房間冬季通過墻壁和窗子向外散熱70000kJ/h，房內有兩只40W電燈照明，其他家電耗電約100W，為維持房內溫度不變，房主購買供暖系數為5的熱泵，求熱泵最小功率。

解：由題意可知，熱泵產生的熱量Q，等于向外散熱量70000kJ/h與燈泡和其他家電產熱量之差

由供暖系數ε＇＝5可知，熱泵最小功率

即

1-22  一所房子利用供暖系數為2.1的熱泵供暖維持20℃，據估算，室外大氣溫度每低于房內溫度1℃，房子向外散熱為0.8kW，若室外溫度為－10℃，求驅動熱泵所需的功率。

解：由題意可知，為利用供暖系數為2.1的熱泵供暖維持溫為20℃，必須使熱泵供暖的熱量

Q₁＝0.8kW/℃×[25－（－10）]℃＝24kW

由

1-23  若某種氣體的狀態方程為pv＝R_gT，現取質量1kg的該種氣體分別作兩次循環，如圖1-5中循環1-2-3-1和循環4-5-6-4所示，設過程1-2和過程4-5中溫度不變，都等于T_a，過程2-3和5-6中壓力不變，過程3-1和4-6中體積不變。又設狀態3和狀態6溫度相等，都等于T_b。試證明兩個循環中，1kg氣體對外界所做的循環凈功相同。

圖1-5

解：由題意可知，過程3-1和4-6中體積不變

所以有W_3-1＝W_4-6＝0J

過程2-3和5-6中壓力不變

所以有

故W_2-3＝W_5-6＝R_g（T_b－T_a）

過程1-2和4-5中溫度不變，即Pv＝R_gT_a

所以有

因此有，即

循環1-2-3-1的循環凈功

循環4-5-6-4的循環凈功

因此兩個循環由1kg氣體對外所做的循環凈功相同。